黄冈名师2020版高考数学大一轮复习核心素养提升练二十五5.1平面向量的概念及其线性运算理含解析新人教A版.doc

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1、核心素养提升练二十五平面向量的概念及其线性运算(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.在ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC的中点,则=()A.+B.+C.+D.+【解析】选D.如图,因为=,又因为=+,所以=+.【变式备选】如图,向量a-b等于()A.-4e1-2e2B.-2e1-4e2C.e1-3e2D.3e1-e2【解析】选C.由题图可知a-b=e1-3e2.2.下列说法正确的是()A.方向相同或相反的向量是平行向量B.零向量是0C.长度相等的向量叫做相等向量D.共线向量是在一条直线上的向量【解析】选B.对于选项A,因为方向相同或相反的非零向量是平行向量,所以该说法

2、错误;对于选项B,因为零向量就是0,所以该说法正确;对于选项C,方向相同且长度相等的向量叫相等向量,所以该说法错误;对于选项D,共线向量所在直线可能重合,也可能平行,所以该说法错误.3.在ABC中,点D满足=3,则()A.=- B.=+C.=-D.=+【解析】选D.因为点D满足=3,因为=+=+=+(-)=+.【变式备选】 已知向量a,b不共线, c=ka+b(kR), d =a-b,如果cd,那么()A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.由题意可设c=d,即ka+b=(a-b),(-k)a=(+1)b.因为a,b不共线,所

3、以所以k=-1,所以c与d反向.4.设平行四边形ABCD的对角线交于点P,则下列命题中正确的个数是()=+;=(+);=-;=.A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为由向量加法的平行四边形法则,知=+,=(+)都是正确的,由向量减法的三角形法则,知=-是正确的,因为,的大小相同,方向相反,所以=是错误的.【变式备选】 在四边形OABC中,=,若=a,=b,则=()A.a-bB.a-bC.a+bD.-a+b【解析】选D.=-,=+=b+a,所以=b+a-a=b-a.5.如图所示,在ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则m+n的值为()

4、 A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由O是BC中点,可得=+,由题意知=m+n,因为O,M,N三点共线,所以m+n=1,则m+n=2.6.已知a,b是两个非零向量,且|a+b|=|a|+|b|,则下列说法正确的是()A.a+b=0B.a=bC.a与b共线反向D.存在正实数,使a=b【解析】选D.由已知得,向量a与b为同向向量,即存在正实数,使a=b.【变式备选】(2018山师大附中模拟)已知平面内一点P及ABC,若+=,则点P与ABC的位置关系是()A.点P在线段AB上B.点P在线段BC上C.点P在线段AC上D.点P在ABC外部【解析】选C.由+=得+=-=,即=-=2,所以点P在线段AC

5、上.7.设O在ABC的内部,D为AB的中点,且+2=0,则ABC的面积和AOC的面积的比值为()A.3B.4C.5D.6【解析】选B.因为D为AB的中点,则=(+),又+2=0,所以=-,所以O为CD的中点,又因为D为AB的中点,所以SAOC=SADC=SABC,则=4.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2018衡阳模拟)在如图所示的方格纸中,向量a,b,c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上,若c与xa+yb(x,y为非零实数)共线,则的值为_.【解析】设e1,e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量,则向量c=e1-2e2,a=2e1+e2,b=-2e1-2e2,由c

6、与xa+yb共线,得c=(xa+yb),所以e1-2e2=2(x-y)e1+(x-2y)e2,所以所以则的值为.答案:【变式备选】在平行四边形ABCD中,=e1,=e2,=,=,则=_.(用e1,e2表示)【解析】如图所示,=-=+2=+=-+(-)=-e2+(e2-e1)=-e1+e2.答案:-e1+e29.直线l上有不同的三点A,B,C,O是直线l外一点,对于向量=(1-cos )+ sin (是锐角)总成立,则=_.【解析】因为直线l上有不同的三点A,B,C,所以存在实数,使得=,所以-=(-),即=+,所以所以sin =cos ,因为是锐角,所以=45.答案:4510.在梯形ABCD中

7、,已知ABCD,AB=2CD,M,N分别为CD,BC的中点,若=+,则+=_.【解析】由=+,得=(+)+(+),则+=0,得+=0,得+=0.又因为,不共线,所以解得所以+=.【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决.连接MN并延长交AB的延长线于点T,由已知易得AB=AT,所以=+,即=+,因为T,M,N三点共线,所以+=1,所以+=.答案:(20分钟40分)1.(5分)在ABC中,设三边AB,BC,CA的中点分别为E,F,D,则+=()A.B.C.D.【解析】选A.如图,=(+),=(+),所以+=.2.(5分)如图,在ABC中,点D在线段BC上,且满足BD=DC,过点D的直线分别交直线

8、AB,AC于不同的两点M,N,若=m,=n,则()A.m+n是定值,定值为2B.2m+n是定值,定值为3C.+是定值,定值为2D.+是定值,定值为3【解析】选D.如图,过点C作CE平行于MN交AB于点E.由=n可得=,所以=,由BD=DC可得=,所以=,因为=m,所以m=,整理可得+=3.【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:选D.因为M,D,N三点共线,所以=+(1-).又=m,=n,所以=m+(1-)n.又=,所以-=-,所以=+.比较系数知m=,(1-)n=,所以+=3.3.(5分)若|=|=|-|=2,则|+|=_.【解析】因为|=|=|-|=2,所以ABC是边长为2的正三角形,

9、所以|+|为ABC的边BC上的高的2倍,所以|+|=2.答案:24.(12分)设e1,e2是两个不共线的向量,已知=2e1-8e2,=e1+3e2,=2e1-e2.(1)求证:A,B,D三点共线.(2)若=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,求k的值.【解析】(1)由已知得=-=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2,因为=2e1-8e2,所以=2.又因为与有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)由(1)可知=e1-4e2,因为=3e1-ke2,且B,D,F三点共线,所以=(R),即3e1-ke2=e1-4e2,得解得k=12.【变式备选】平行四边形OADB的对角线交点为C,=,=,=a,=b,用a,b表示,.【解析】=a-b,=a-b,=+=a+b,=a+b,=a+b,=-=a-b.5.(13分)经过OAB的重心G的直线与OA,OB分别交于点P,Q,设=m,=n,m,nR+,求m+n的最小值.【解析】设=a,=b,由题意知=(+)=(a+b),=-=nb-ma,=-=a+b,由P,G,Q三点共线得,存在实数,使得=,即nb-ma=a+b,从而消去得+=3.于是m+n=(m+n)=(2+2)=.当且仅当m=n=时,m+n取得最小值.