2022年选修4-4坐标系与参数方程知识点总结及同步练习---副本 .pdf

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1、学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：坐标系与参数方程知识点1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点 P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换(0):(0)xxyy的作用下 , 点P(x,y) 对应到点(,)P xy, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换. 2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如下图, 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox,叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位( 通常取弧度) 及其正方向( 通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何

2、背景 ; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系. (2) 极坐标设 M是平面内一点,极点O与点 M的距离 |OM|叫做点M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边 ,射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对( , )叫做点 M的极坐标 ,记作( ,)M. 一般地 , 不作特殊说明时, 我们认为0,可取任意实数 . 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为 (0,)(R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示. 如果规定0,02, 那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(, )表示 ;

3、 同时 ,极坐标( , )表示的点也是唯一确定的. 3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 :把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如下图 : 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：(2) 互 化 公 式 : 设M是 坐 标 平 面 内 任 意 一 点 , 它 的 直 角 坐 标 是( ,)x y, 极 坐 标 是(, )(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M直角坐标( ,)x y极坐标( , )互化公式cossinx

4、y222tan(0)xyyxx在一般情况下,由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角. 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点, 半径为r的圆(02 )r圆心为( ,0)r, 半径为r的圆2 cos ()22r圆 心 为( ,)2r, 半径为r的圆2 sin(0)r过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：过点( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a过 点( ,)2a, 与 极轴平行的直线si

5、n(0)a注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(, ),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程,点(,)4 4M可 以 表 示 为5(,2 )(,2 ),444444或或(-)等多种形式, 其中 , 只有(,)44的极坐标满足方程. 二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标, x y都是某个变数t的函数( )( )xf tyg t, 并且对于t的每一个允许值,

6、由方程组所确定的点( , )Mx y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程, 联系变数,x y的变数t叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. (2) 如果知道变数, x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t, 把它代入普通方程, 求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：出另一个

7、变数与参数的关系( )yg t, 那么( )( )xf tyg t就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致. 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同， 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数如下图，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设( , )Mx y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是222

8、()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4椭圆的参数方程以坐标原点O为中心， 焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角； 焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0 ，2 。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外即在0到2的范围内 ，在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时

9、，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：数方程为sec()tanxayb为参数，其中30, 2 ),.22且焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是22221(0,0),yxabab其 参 数 方 程 为cot(0,2 ).cscxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程以 坐 标 原 点 为

10、 顶 点 ， 开 口 向 右 的 抛 物 线22(0)ypx p的 参 数 方 程 为22().2xpttypt为参数7直线的参数方程经过点000(,)Mxy， 倾斜角为()2的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点( , )M x y为终点的有向线段0M M的数量， 当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与

11、0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。选修 4-4 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、选择题1假设直线的参数方程为12()23xttyt为参数，则直线的斜率为A23B2

12、3C32D322以下在曲线sin2()cossinxy为参数上的点是A1(,2)2B3 1(,)4 2C(2,3)D(1, 3)3将参数方程222sin()sinxy为参数化为普通方程为A2yxB2yxC2(23)yxxD2(01)yxy4化极坐标方程2cos0为直角坐标方程为A201yy2x或B1xC201y2x或xD1y5点M的直角坐标是( 1, 3)，则点M的极坐标为A(2,)3B(2,)3C2(2,)3D(2,2),()3kkZ6极坐标方程cos2sin 2表示的曲线为A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆二、填空题1直线34()45xttyt为参数的斜率为 _。精选学

13、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：2参数方程()2()ttttxeetyee为参数的普通方程为_。3已知直线11 3:()24xtltyt为参数与直线2: 245lxy相交于点B，又点(1,2)A，则AB_。4直线122()112xttyt为参数被圆224xy截得的弦长为_。5直线cossin0 xy的极坐标方程为_。三、解答题1已知点( ,)P x y是圆222xyy上的动点，1求2xy的取值范围；2假设0 xya恒成立，求实数a的取值范围。2求直线11:()53xtltyt为参数和直线

14、2:2 30lxy的交点P的坐标， 及点P与(1, 5)Q的距离。3在椭圆2211612xy上找一点，使这一点到直线2120 xy的距离的最小值。数学选修 4-4 坐标系与参数方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生： 综合训练 B组 一、选择题1 直线l的参数方程为()xattybt为参数，l上的点1P对应的参数是1t， 则点1P与( , )P a b之间的距离是A1tB12 tC12 tD122t2参数方程为1()2xttty为参数表示的曲线是A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线

15、3直线112()33 32xttyt为参数和圆2216xy交于,A B两点，则AB的中点坐标为A(3, 3)B(3,3)C( 3, 3)D(3,3)4圆5cos5 3sin的圆心坐标是A4( 5,)3B( 5,)3C(5,)3D5( 5,)35与参数方程为()2 1xttyt为参数等价的普通方程为A214y2xB21(01)4yx2xC21(02)4yy2xD21(01,02)4yxy2x6直线2()1xttyt为参数被圆22(3)(1)25xy所截得的弦长为A98B1404C82D934 3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，

16、共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：二、填空题1 曲线的参数方程是211()1xttyt为参数 ,t0， 则它的普通方程为_。2直线3()14xattyt为参数过定点 _。3点P(x,y)是椭圆222312xy上的一个动点，则2xy的最大值为 _。4曲线的极坐标方程为1tancos，则曲线的直角坐标方程为_。5设()ytx t为参数则圆2240 xyy的参数方程为_。三、解答题1参数方程cos (sincos )()sin (sincos )xy为参数表示什么曲线？2点P在椭圆221169xy上，求点P到直线3424xy的最大距离和最小距离。3已知直线l经过点(1,1)P, 倾斜角6，

17、1写出直线l的参数方程。2设l与圆422yx相交与两点,A B，求点P到,A B两点的距离之积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：数学选修 4-4 坐标系与参数方程 . 提高训练 C组 一、选择题1把方程1xy化为以t参数的参数方程是A1212xtytBsin1sinxtytCcos1cosxtytDtan1tanxtyt2曲线25()12xttyt为参数与坐标轴的交点是A21(0,) (,0)52、B11(0,) (,0)52、C(0,4) (8,0)、D5(0,) (8,0)9、

18、3直线12()2xttyt为参数被圆229xy截得的弦长为A125B1255C955D91054假设点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则PF等于A2B3C4D55极坐标方程cos20表示的曲线为A极点B极轴C一条直线D两条相交直线6在极坐标系中与圆4sin相切的一条直线的方程为Acos2Bsin2C4sin()3D4sin()3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：二、填空题1已知曲线22()2xpttpypt为参数 , 为正常数上的两点,M N对应的参

19、数分别为12,tt和，120tt且，那么MN=_。2直线22()32xttyt为参数上与点( 2,3)A的距离等于2的点的坐标是_。3圆的参数方程为3sin4cos()4sin3cosxy为参数，则此圆的半径为_。4极坐标方程分别为cos与sin的两个圆的圆心距为_。5直线cossinxtyt与圆42cos2sinxy相切，则_。三、解答题1分别在以下两种情况下，把参数方程1()cos21()sin2ttttxeeyee化为普通方程：1为参数，t为常数；2t为参数，为常数；2过点10(,0)2P作倾斜角为的直线与曲线22121xy交于点,M N，求PMPN的值及相应的的值。精选学习资料 - -

20、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 基础训练 A组 一、选择题1D 233122ytkxt2B 转化为普通方程：21yx，当34x时，12y3C 转化为普通方程：2yx，但是2,3,0,1xy4C 22(cos1)0,0,cos1xyx或5C 2(2,2),()3kkZ都是极坐标6C 2cos4sincos ,cos0,4sin,4sin或即则,2k或224xyy二、填空题154455344ytkxt2221,(2)416xyx22()(

21、)422222ttttttyxexeeyyxxyyeexe352将1324xtyt代入245xy得12t，则5(,0)2B，而(1,2)A，得52AB414直线为10 xy， 圆心 到直 线的距离1222d，弦 长的一半为222142()22，得弦长为1452coscossinsin0,cos()0，取2三、解答题1解：1设圆的参数方程为cos1 sinxy，22cossin15sin()1xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：51251xy2cossin10 xyaa(cossi

22、n)12 sin()1421aa2解：将153xtyt代入2 30 xy得2 3t，得(12 3,1)P，而(1, 5)Q，得22(23)64 3PQ3解：设椭圆的参数方程为4cos2 3 sinxy，4cos4 3sin125d4 54 5cos3sin32cos()3553当cos()13时，min4 55d，此时所求点为(2,3)。新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 综合训练 B组 一、选择题1C 距离为221112ttt2D 2y表示一条平行于x轴的直线，而2,2xx或，所以表示两条射线3D 2213(1)( 3 3)1622tt，得2880tt，1212

23、8,42tttt中点为11432333 342xxyy4A 圆心为55 3(,)225D 22222,11,1,0,011,0244yyxttxxtty而得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：6C 2222212122xtxtytyt，把直线21xtyt代入22(3)(1)25xy得222( 5)(2)25,720tttt212121 2()441ttttt t，弦长为12282tt二、填空题12(2)(1)(1)x xyxx111,1xttx而21yt，即221(2)1()(1)1

24、(1)x xyxxx2(3, 1)143yxa，(1)4120yax对于任何a都成立，则3,1xy且322椭圆为22164xy，设( 6 cos ,2sin)P，26 cos4sin22sin()22xy42xy22221sintan,cossin,cossin,coscos即2xy52224141txttyt22()40 xtxtx，当0 x时，0y；当0 x时，241txt；而ytx，即2241tyt，得2224141txttyt三、解答题1解：显然tanyx，则222222111,coscos1yyxx2222112tancossincossin 2coscos221tanx精选学习资料

25、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：即222222222111, (1)12111yyyyxxxxyyyxxxxx得21yyxxx，即220 xyxy2解：设(4cos,3sin)P，则12cos12sin245d即12 2 cos()2445d，当cos()14时，max12(22)5d；当cos()14时，min12(22)5d。3解：1直线的参数方程为1cos61sin6xtyt，即312112xtyt2把直线312112xtyt代入422yx得22231(1)(1)4,(31)2022t

26、ttt1 22t t，则点P到,A B两点的距离之积为2新课程高中数学训练题组参考答案数学选修 4-4 坐标系与参数方程 提高训练 C组 一、选择题1D 1xy，x取非零实数，而A，B，C 中的x的范围有各自的限制2B 当0 x时，25t，而12yt，即15y，得与y轴的交点为1(0,)5；当0y时，12t，而25xt，即12x，得与x轴的交点为1(,0)2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：3B 21512521155xtxtytyt，把直线122xtyt代入229xy得222(1

27、 2 )(2)9,5840tttt2212121 281612()4()555ttttt t，弦长为1212555tt4C 抛物线为24yx，准线为1x，PF为(3,)Pm到准线1x的距离， 即为45D cos20,cos 20,4k，为两条相交直线6A 4sin的普通方程为22(2)4xy，cos2的普通方程为2x圆22(2)4xy与直线2x显然相切二、填空题114p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，121222MNp ttpt2( 3,4),或( 1,2)222212(2 )( 2 )( 2) ,22tttt35由3sin4cos4sin3cosxy得2225xy422圆心分别

28、为1(,0)2和1(0,)256，或56直线为tanyx，圆为22(4)4xy，作出图形，相切时，易知倾斜角为6，或56三、解答题1解：1当0t时，0,cosyx，即1,0 xy且；当0t时，cos,sin11()()22ttttxyeeee而221xy，即2222111()()44ttttxyeeee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 17 页学而通黄冈教育教师：赵映雄学生：2当,kkZ时，0y，1()2ttxee，即1,0 xy且；当,2kkZ时，0 x，1()2ttyee，即0 x；当,2kkZ时，得2cos2sinttttxeeyee，即222cossin222cossinttxyexye得222222()()cossincossinttxyxyee即22221cossinxy。2解：设直线为10cos()2sinxttyt为参数，代入曲线并整理得223(1sin)( 10cos)02tt则1 22321 sinPMPNt t所以当2sin1时，即2，PMPN的最小值为34，此时2。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 17 页