112四种命题间的相互关系及反证法.ppt

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1、原命题原命题若若p则则q否命题否命题若若p则则q逆否命题逆否命题若若q则则p逆命题逆命题若若q则则p互互否否互逆互逆互逆互逆互互否否互为互为互为互为逆否逆否逆否逆否原命题：若原命题：若ab，则，则a+cb+c逆命题：若逆命题：若a+cb+c，则，则ab原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。原命题：若原命题：若ab，则，则ac2bc2逆命题：若逆命题：若ac2bc2，则，则ab原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。原命题：若四边形对

2、角线相等，则四边形是平行四边形。逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。真真真真真真假假假假真真假假假假*判断下列命题的判断下列命题的真真假假，并总结规律。，并总结规律。结结 论论 1原原命题的真假和命题的真假和逆逆命题命题 的的真假没有关系真假没有关系 原命题：若原命题：若ab，则，则a+cb+c否命题：若否命题：若ab，则，则a+cb+c原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。

3、原命题：若原命题：若ab，则，则ac2bc2否命题：若否命题：若ab，则，则ac2bc2原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行形否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行形。真真真真真真假假假假真真假假假假*判断下列判断下列否否命题的命题的真真假假，并总结规律。，并总结规律。结结 论论 2原原命题的真假和命题的真假和否否命题命题 的的真假没有关系真假没有关系原命题：若原命题：若ab，则，则a+cb+c逆否命题：若逆否命题：若a+cb+c，则，则ab原命题：若四边形是正方形，则四边形两

4、对角线垂直原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。原命题：若原命题：若ab，则，则ac2bc2逆否命题：若逆否命题：若ac2bc2，则，则ab原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。真真真真真真真真假假假假假假假假*判断下列判断下列逆否逆否命题的命题的真真假假，并总结规律。，并总结规律。结结 论论 3原原命题和命题

5、和逆否逆否题题 总是总是同真同假同真同假否命题：若否命题：若ab，则，则a+cb+c逆命题：若逆命题：若a+cb+c，则，则ab否命题：若四边形否命题：若四边形不不是正方形，则四边形两对角线不垂直是正方形，则四边形两对角线不垂直。逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。否命题：若否命题：若ab，则，则ac2bc2逆命题：若逆命题：若ac2bc2，则，则ab否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等逆命题：若四边形是平行四边形，则

6、四边形对角线相等。真真真真假假假假真真真真假假假假*观察下列命题的观察下列命题的真真假假，并总结规律。，并总结规律。结结 论论 4逆逆命题和命题和否否命题命题 总是总是同真同假同真同假例例2 若若m0或或n0，则，则m+n0。写出其逆命题、否。写出其逆命题、否命题、逆否命题，并分别指出其真假。命题、逆否命题，并分别指出其真假。分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意分析：搞清四种命题的定义及其关系，注意“且且” “或或”的的否定为否定为“或或” “且且”。解：逆命题：若解：逆命题：若m+n0，则，则m0或或n0。否命题：若否命题：若m0且且n0, 则则m+n0.逆否命题：若逆否命题：若m+n0,

7、 则则m0且且n0.（真）（真）（真）（真）（假）（假）小结：在判断四种命题的真假时，只需判断小结：在判断四种命题的真假时，只需判断两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假两种命题的真假。因为逆命题与否命题真假等价，逆否命题与原命题真假等价。等价，逆否命题与原命题真假等价。练习练习 1.如果一个命题的逆命题是真命题如果一个命题的逆命题是真命题,那么这个命题的否命题是那么这个命题的否命题是( ) A. 真命题真命题 C. 不一定是真命题不一定是真命题 B. 假命题假命题 D. 不一定是假命题不一定是假命题.2. 命题命题“a,b都是奇数都是奇数,则则a+b是偶数是偶数”的逆否命题是的逆否命题是(

8、) A. a,b都不是奇数都不是奇数,则则a+b是偶数是偶数 B. a+b是偶数是偶数 ,则则a,b都是奇数都是奇数 C. a+b是偶数是偶数 ,则则a,b都不是奇数都不是奇数 D. a+b不是偶数不是偶数,则则a,b不都是奇数不都是奇数;AD3.下列说法中错误的一项是下列说法中错误的一项是( )A. 一个命题的原命题为真一个命题的原命题为真,它的逆命题不一定为真它的逆命题不一定为真;B. 一个命题的原命题为假一个命题的原命题为假,它的否命题不一定为真它的否命题不一定为真;C. 一个命题的否命题为真一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为假它的逆命题一定为假;D. 一个命题的原命题为真一个命题的

9、原命题为真,它的逆否命题一定为真它的逆否命题一定为真.C4.下列说法下列说法 (1)四种命题中真命题的个数一定是偶数四种命题中真命题的个数一定是偶数; (2) 若一个命题的逆命题是真命题若一个命题的逆命题是真命题,则它的否命题不一定是真命题则它的否命题不一定是真命题 (3) 逆命题与否命题之间是互为逆否关系逆命题与否命题之间是互为逆否关系; (4) 若一个命题的逆否命题是假命题若一个命题的逆否命题是假命题,则它的逆命题与否命题都则它的逆命题与否命题都 是假命题是假命题. 其中正确的个数有其中正确的个数有( ) A. 1个个 B. 2个个 C. 3个个 D. 4个个 B5.下列命题下列命题: “

10、等边三角形的三内角均为等边三角形的三内角均为60o”的逆命题的逆命题; “若若k0,则方程则方程x2+2x-k=0有实根有实根”的逆否命题的逆否命题; “全等三角形的面积相等全等三角形的面积相等”的否命题的否命题; “若若ab0,则则a0”的否命题的否命题. 其中真命题的个数是其中真命题的个数是( ) A.0个个 B. 1个个 C. 2个个 D. 3个个C课 堂 小 结原命题若p则q逆命题若q则p否命题若 p则 q逆否命题若 q则p互为逆否 同真同假互为逆否 同真同假互逆命题 真假无关互逆命题 真假无关互否命题真假无关互否命题真假无关反证法反证法1.一般步骤一般步骤反设反设: 假设命题的结论不

11、成立假设命题的结论不成立, 即假设结论的反面成立即假设结论的反面成立; 归谬归谬: 从假设出发从假设出发, 经过推理论证经过推理论证, 得出矛盾得出矛盾; 结论结论: 由矛盾判定假设不正确由矛盾判定假设不正确, 从而肯定命题的结论正确从而肯定命题的结论正确. 2.结论特点结论特点结论本身以否定形式出现结论本身以否定形式出现;结论是结论是“至少至少”、“至多至多”、“唯一唯一”、“都是都是”等形式等形式; 结论涉及结论涉及“存在或不存在存在或不存在”，“有限或无限有限或无限”等等形式形式; 命题的逆否命题比原命题更具体或更易于证明命题的逆否命题比原命题更具体或更易于证明.3.特殊结论的反设特殊结

12、论的反设原结论词原结论词大于大于()小于小于()都是都是都不是都不是至少至少 n 个个至多至多 n 个个反设词反设词不大于不大于()不小于不小于()不都是不都是至少有一个是至少有一个是至多至多 n- -1 个个至少至少 n+1 个个原结论词原结论词有无穷多个有无穷多个存在唯一的存在唯一的对任意对任意 x, 使使恒成立恒成立反设词反设词只有有限多个只有有限多个不存在或至少存在两个不存在或至少存在两个至少有一个至少有一个 x, 使使不成立不成立4.引出矛盾的形式引出矛盾的形式由假设结论由假设结论 q 不成立不成立, 得到条件得到条件 p 不成立不成立; 由假设结论由假设结论 q 不成立不成立, 得

13、到结论得到结论 q 成立成立; 由假设结论由假设结论 q 不成立不成立, 得到一个恒假命题得到一个恒假命题; 分别由假设与条件推得的两个结论矛盾分别由假设与条件推得的两个结论矛盾. 例例1 用反证法证明：圆的两条不是直径的相交用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。弦不能互相平分。已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径。不是直径。求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分。平分。ABCDPO证明：假设弦证明：假设弦AB、CD被被P平分，平分，由于由于P点一定不是圆心点一定不是圆心O， 连结连结OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理

14、的推论，有 OPAB ，OPCD ，即过一点即过一点P有两条直线与有两条直线与OP垂直，垂直，这与垂线性质矛盾。这与垂线性质矛盾。所以，弦所以，弦AB、CD不被不被P平分。平分。(假设假设)（导致矛盾）（导致矛盾）（下结论）（下结论）推推理理证证: 假设这两个方程都没有实根假设这两个方程都没有实根, 则则 10 且且 20, 从从而有而有:1+20. 又又1+2=(p12- -4q1)+(p22- -4q2)=p12+p22- -4(q1+q2) =p12+p22- -2p1p2=(p1- -p2)20, 与与 1+20 矛盾矛盾. 即即 1+20,假设不成立假设不成立. 故这两个方程至少有一

15、个有实根故这两个方程至少有一个有实根.例例2 若若 p1p2=2(q1+q2), 证明关于证明关于 x 的方程的方程 x2+p1x+q1=0 与与 x2+p2x+ q2=0 中中, 至少有一个方程有实根至少有一个方程有实根. 设三个正数设三个正数 a, b, c 满足条件满足条件 + + =2, 求证求证: a, b, c 中至中至少有两个不小于少有两个不小于 1.b1a1c1a, b, c 三数均小于三数均小于 1, 证证: 假设假设 a, b, c 中至多有一个数不小于中至多有一个数不小于 1, 这包含两种情况这包含两种情况:即即 0a1, 0b1, 0c1, 1, 1, b1a1c1 + + 3,b1a1c1也与已知条件矛盾也与已知条件矛盾.a, b, c 中恰有两数小于中恰有两数小于 1, 不妨不妨设设 0a1, 0b1, 1, b1a1c1 + + 2+ 2, b1a1c1假设不成立假设不成立.a, b, c 中至少有两个不小于中至少有两个不小于 1.