1121三角形的内角 (4).ppt

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1、11.2 与三角形有关的角11.2.1 三角形的内角1.1.了解三角形的内角和的验证及证明过程了解三角形的内角和的验证及证明过程；2.2.熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的熟练利用三角形的内角和及直角三角形两锐角的 关系解决问题；关系解决问题；3.3.知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法知道添加辅助线是帮助解决数学问题的方法. . 在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结弟非常团结. .可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你

2、一样你凭什么度数最大，我也要和你一样大！大！”“”“不行啊！不行啊！”老大说：老大说：“这是不可能的，否则，我这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了们这个家就再也围不起来了”“”“为什么？为什么？” ” 老二很老二很纳闷纳闷. . 同学们，你们知道其中的道理吗？同学们，你们知道其中的道理吗？内角三兄弟之争内角三兄弟之争三角形的三个内角和是多少三角形的三个内角和是多少? ?把三个角拼在一起试试看把三个角拼在一起试试看你有什么办法可以验证呢你有什么办法可以验证呢? ?从刚才拼角的过程你从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗能想出证明的办法吗? ?CBA三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于

3、三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180180已知，求证：已知，求证：A+B+C=180A+B+C=180证法：证法：过过A A作作EFBCEFBC，B=2,B=2,( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) ) C=1.C=1.( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) ) 又又2+1+BAC=1802+1+BAC=180, ,B+C+BAC=180B+C+BAC=180. .F F2 21 1E EC CB BA A证法证法：延长延长BCBC到到D D，过，过C C作作CEBACEBA， A=1,(A=1,(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) )B

4、=2.(B=2.(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等) )又又1+2+ACB=1801+2+ACB=180, ,A+B+ACB=180A+B+ACB=180. .21EDCBA证法证法3 3：过过A A作作AEBCAEBC，B=BAE,B=BAE, ( (两直线平行两直线平行, ,内错角相等内错角相等) )EAB+BAC+C=180EAB+BAC+C=180, ,( (两直线平行两直线平行, ,同旁内角互补同旁内角互补) )B+C+BAC=180B+C+BAC=180. .C CB BE EA A 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加的在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添加

5、的线叫做线叫做辅助线辅助线. .在平面几何里，辅助线通常画成在平面几何里，辅助线通常画成虚线虚线. . 为了证明三个角的和为为了证明三个角的和为180180, ,转化为一个平角或同旁转化为一个平角或同旁内角互补内角互补, ,这种这种转化思想转化思想是数学中的常用方法是数学中的常用方法. .【例例1 1】在在ABCABC中，中， A :B:C=2:2:4,A :B:C=2:2:4,求求A,A,B, B, CC的度数的度数. .解：解：设每一份角为设每一份角为x x，则，则A A2x2x,B=2x,B=2x, , C=4xC=4x ，由三角形内角和定理，可得：，由三角形内角和定理，可得： 2x+2

6、x+4x=180,2x+2x+4x=180,解得解得 x=22.5,x=22.5,2x=22x=222.5=45, 4x=422.5=45, 4x=422.5=90.22.5=90.答：答： A A 为为4545，B B为为4545, C, C为为9090. .【例题例题】（1 1）在）在ABCABC中，中，A=55A=55， B=43B=43, ,则则ACB=ACB= ，ACDACD_._.（2 2）在）在ABCABC中中,A=80,A=80, ,B=C , B=C , 则则C C_. . 8282C CB BA A98985050 【跟踪训练跟踪训练】1.1.如图，在直角三角形如图，在直角

7、三角形ABCABC中，中，C=90C=90，由三角形内角，由三角形内角和定理，得和定理，得A+A+B+B+C= C= ，即即 A+A+B+90B+90= = ，所以所以 A+A+B= B= . . A AB BC C1801801801809090【合作探究合作探究】直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余. . 直角三角形可以用符号直角三角形可以用符号“RtRt”表示，如直角三角形表示，如直角三角形ABCABC可以写成可以写成RtRtABC.ABC.2.2.如图，在如图，在ABCABC中，中，A+A+B=90B=90，由三角形内角和定理，由三角形内角和定理，得得A+A+B+B+C=

8、C= ，即即 C +90C +90= = ，所以所以 C = C = ， 所以所以ABCABC是是_三角形三角形. . A AB BC C1801801801809090有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形. .直角直角【例例2 2】如图如图C=D=90C=D=90,AD,AD，BCBC相交于点相交于点E.E.CAECAE与与DBEDBE有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？解：解：在在RtRtACEACE中，中，CAE=90CAE=90- -AEC.AEC.在在RtRtBDEBDE中，中，DBE=90DBE=90- -BED.BED.AEC=AEC=BEDBED

9、，CAE=CAE=DBE.DBE.A AB BC CD DE E【例题例题】如图，如图，C=90C=90, , 1=1=2 2，ADEADE是直角三角形吗？为什是直角三角形吗？为什么？么？解：解：在在RtRtABCABC中，中，A+A+ 2 2 =90=90. . 1=1=2,2, A+A+1=901=90, ,ADEADE是直角三角形是直角三角形. .A AB BC CD DE E2 21 1【跟踪训练跟踪训练】1.1.（苏州（苏州中考）中考）ABCABC的内角和为（的内角和为（ ）A A180180 B B360360 C C540540 D D720720【解析解析】选选A.A.根据三角

10、形的内角和为根据三角形的内角和为180180，得，得ABCABC的内角和为的内角和为180180. .2.2.（济宁（济宁中考）若一个三角形三个内角度数的比为中考）若一个三角形三个内角度数的比为2 23 34 4，那么这个三角形是（，那么这个三角形是（ ）A.A.直角三角形直角三角形 B.B.锐角三角形锐角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.等边三角形等边三角形 【解析解析】选选B.B.设每一份角为设每一份角为x x，则三个角分别为，则三个角分别为2x2x,3x,3x,4x,4x ，由三角形内角和定理，可得：，由三角形内角和定理，可得：2x+3x+4x=1802x+3x+4x=180，

11、解得，解得 x=20.x=20.所以三个角的度数分所以三个角的度数分别为别为4040，6060, 80, 80，所以这个三角形为锐角三，所以这个三角形为锐角三角形角形. .3.3.在直角三角形在直角三角形ABCABC中中, ,一个锐角为一个锐角为4040, ,则另一个锐角则另一个锐角是是_. .【解析解析】直角三角形中有一直角为直角三角形中有一直角为9090，所以另，所以另外两锐角的和为外两锐角的和为9090 ，因为一个锐角为，因为一个锐角为4040, , 所以另一个锐角是所以另一个锐角是5050. .【答案答案】50504.4.如图，如图，A+B+C+D+E+F=A+B+C+D+E+F= .

12、 . ABCDEF【解析解析】 A A，C C，E E是是ACEACE的三个内角，的三个内角，其和为其和为180180， B B，D D，F F是是BDFBDF的三个内的三个内角，其和为角，其和为180180，所以六个角的和为，所以六个角的和为 360360. .【答案答案】3603605.5.（1 1）一个三角形中最多有一个三角形中最多有 个直角个直角. . （2 2）一个三角形中最多有）一个三角形中最多有 个钝角个钝角. . （3 3）一个三角形中至少有）一个三角形中至少有 个锐角个锐角. . （4 4）任意）任意 一个三角形中，最大的一个角的度数至少一个三角形中，最大的一个角的度数至少为

13、为 . .【提示提示】 根据三角形的内角和可得出结论根据三角形的内角和可得出结论. .【答案答案】（1 1）1 1 （2 2）1 1 （3 3）2 2 （4 4）60606.6.已知：如图，已知：如图，ABCDABCD，直线，直线EFEF分别交分别交ABAB，CDCD于点于点E E，F F，BEFBEF的平分线与的平分线与DFEDFE的平分线相交于点的平分线相交于点P P试求试求P P的度的度数数解：解：ABCDABCD，BEF+DFE=180BEF+DFE=180又又BEFBEF的平分线与的平分线与DFEDFE的平分线相交的平分线相交于点于点P P，PEF= BEFPEF= BEF，PFE=

14、 DFEPFE= DFE，PEF+PFE= PEF+PFE= （BEF+DFEBEF+DFE）=90=90PEF+PFE+P=180PEF+PFE+P=180，P=90P=90121212三角形的内三角形的内角和等于角和等于180180. .证法证法应用应用转化为一个平转化为一个平角或同旁内角角或同旁内角互补互补求角度求角度作平行线作平行线转化思想转化思想辅助线辅助线通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：性质：直角三角形的两个锐角互余性质：直角三角形的两个锐角互余. .判定：有两个角互余的三角形是直角三角形判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 伟人之所以伟大，是因为他与别人共处伟人之所以伟大，是因为他与别人共处逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现逆境时，别人失去了信心，他却下决心实现自己的目标自己的目标. .