《概率论与数理统计》（第3版） 习题详解ppt-（第9章） 方差分析.ppt

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1、第九章第九章 方差分析方差分析第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析第三节第三节 正交试验设计及其方差分析正交试验设计及其方差分析第一节第一节 单因素试验的方差分析单因素试验的方差分析把考察事物的结果称为把考察事物的结果称为试验结果试验结果，也称为，也称为试验指标试验指标。影响试验指标的条件称为影响试验指标的条件称为因素因素。因素可分为两类因素可分为两类:一类是人们可以控制的，称为一类是人们可以控制的，称为可控因素可控因素；另一类是人们不能控制的，称为另一类是人们不能控制的，称为不可控因素不可控因素。为了考虑某个因素为了考虑

2、某个因素A对所考察的随机变量对所考察的随机变量X的影响，的影响，可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素可以在实验时让其他因素保持不变，而仅让因素A改变，这样的试验称为改变，这样的试验称为单因素试验单因素试验，因素，因素A所处的所处的状态称为状态称为水平水平。上一页上一页下一页下一页返回返回1.数学模型数学模型 设在单因素试验中设在单因素试验中,所考察的因素为所考察的因素为A,A有有s个水平个水平 ,在在Ai下进行下进行nj(nj 2)次独立试验次独立试验,得到结果得到结果:sAAAA,3211A1 A2 As x11 x12 x1s x21 x22 x2s T.1 T.2 T.s 12s1

3、x2xsx11nx22nxsn sx上一页上一页下一页下一页返回返回 .,.,2 , 1,.,2 , 1,),.,2 , 1(:2且相互独立且相互独立下的样本下的样本各水平各水平假定假定sjnixsjAjjijj 22,1,2,.,1,2,., (0,),.ijjijjijijjijjijijjxxxinjsN故可看成随机误差,记则各相互独立其中与均为未知参数 上式称为单因素试验方差分析的数学模型上一页上一页下一页下一页返回返回 不不全全相相等等即即检检验验假假设设的的均均值值是是否否相相等等个个总总体体检检验验sssHHNNNs ,: :,.,2112102222111211,.sjjjss

4、jjnnnn采用记号表示的加权平均称为总平均 其中称为总平均.), 2 , 1(均均的的差差异异下下的的总总体体平平均均值值与与总总平平表表示示水水平平jjjjAsj 上一页上一页下一页下一页返回返回 不不全全为为零零ssHH ,:0: 211210ijjijx .), 0(), 2 , 1, 2 , 1(021独立独立各各，ijijjsjjjNsjnin 上一页上一页下一页下一页返回返回2、平方和的分解、平方和的分解 jniijjjxnx11总的样本均值总的样本均值 11111jnssijjjjijxxn xnn全体样本全体样本xij对总的样本均值对总的样本均值 的偏差平方和，称的偏差平方和

5、，称为总偏差平方和，简称为总平方和，记作为总偏差平方和，简称为总平方和，记作ST，即，即x 211 sinjijTixxS), 2 , 1(lixi 设第设第i组样本的样本均值为组样本的样本均值为 ，即，即把把ST分解如下：分解如下： 211jnsTjijjijSxxxx22111111()2jjjnnnsssjijjiijjijijijxxxxxxxx上一页上一页下一页下一页返回返回22111jnssjjjijixxnxx、因为，111111()0jjjnnssjijjjijjjijinsjijjjjixxxxxxxxxxxn x其中其中 21)( sjjjAxxnS表示各组样本均值表示各组

6、样本均值 对总的样本均值对总的样本均值 的偏差平方和，的偏差平方和，称为因素称为因素A的效应平方和（或组内平方和）。的效应平方和（或组内平方和）。ixx22111jnssTjjijjABjjiSnxxxxSS所以上一页上一页下一页下一页返回返回 sjnijijEjxxS112)( 效应平方和效应平方和SA反映由于因素反映由于因素A的不同水平所引起的的不同水平所引起的系统误差，即各组样本之间的差异程度；误差平方和系统误差，即各组样本之间的差异程度；误差平方和SE 则反映了试验过程中各种随机因素所引起的随机误差。则反映了试验过程中各种随机因素所引起的随机误差。 表示各个样本表示各个样本xij对本组

7、样本均值对本组样本均值 的偏差平方和的总的偏差平方和的总和，称为误差平方和（或组内平方和）和，称为误差平方和（或组内平方和）(residual sum of squares)jx 上一页上一页下一页下一页返回返回为为随随机机误误差差的的总总平平均均 sjniijjn111 jniijjjn11 sjnijijsjnijijEjjxxS112112)()( 2121)()( sjjjjsjjjAnxxnS 于是于是上一页上一页下一页下一页返回返回若原假设若原假设H0正确，则所有样本正确，则所有样本xij均可看作来自同一正态均可看作来自同一正态总体总体 且相互独立。于是有且相互独立。于是有 ， ,

8、3、假设检验问题的拒绝域、假设检验问题的拒绝域)(22snSE )1(22 sSA ), 1()() 1(snsFsnSsSFEA ), 1(), 1( ),10(snsFFsnsFFP 得得检检验验问问题题的的拒拒绝绝域域为为由由于于对对于于给给定定的的显显著著性性水水平平上一页上一页下一页下一页返回返回若由样本观测值计算得到统计量若由样本观测值计算得到统计量F的值大于的值大于F ,则则在显著性水平在显著性水平 下拒绝原假设下拒绝原假设H0，即认为因素，即认为因素A的的不同水平对总体有显著影响；若不同水平对总体有显著影响；若F的值不大于的值不大于F ，则接受则接受H0，即认为因素，即认为因素

9、A的不同水平对总体无显的不同水平对总体无显著影响。著影响。.,), 1(.,), 1(01. 005. 0称称为为高高度度显显著著时时当当称称为为显显著著时时当当snsFFsnsFF 上一页上一页下一页下一页返回返回实际中实际中,ST ,SA及及SE可按以下公式计算：可按以下公式计算： sjniTjijxnxS1122 sjjjAxnxnS12ATESSS 上一页上一页下一页下一页返回返回例例 1 为了考察温度对某种化工产品的得率的影响，为了考察温度对某种化工产品的得率的影响，选了五种温度：选了五种温度：A1=60，A2=65，A3=70，A4=75，A5=80在在每种温度下各做三次试验，测得

10、其得率（每种温度下各做三次试验，测得其得率（%）如下：）如下：检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。检验温度对该化工产品的得率是否有显著影响。解解: 计算各个水平下的样本均值，得计算各个水平下的样本均值，得 ,84,85,90,87,8554321 xxxxx上一页上一页下一页下一页返回返回计算计算 ST=106.4, SA=68.4, SE =38.050. 4100 .3844 .68 F单因素试验的方差分析表：单因素试验的方差分析表：由表可知，温度对化工产品的得率有显著影响，因由表可知，温度对化工产品的得率有显著影响，因为为70时产品得率均值的估计值时产品得率均值的估计值%903 x

11、 最高，所以应选用最高，所以应选用70。上一页上一页下一页下一页返回返回第二节第二节 双因素试验的方差分析双因素试验的方差分析1 、双因素等重复试验的方差分析、双因素等重复试验的方差分析在多因素方差分析中在多因素方差分析中,通常把因素通常把因素A与因素与因素B的交互作用的交互作用设想为影响试验结果的另一因素设想为影响试验结果的另一因素,记作记作AB,或简记作或简记作I。由于要考虑交互作用的影响由于要考虑交互作用的影响,因此对于因素因此对于因素A与因素与因素B的的各个水平的每一种配合各个水平的每一种配合(Ai,Bj) (i=1,2,r;j=1,2,s)就需就需要进行不止一次重复试验。要进行不止一

12、次重复试验。对上述各种水平组合分别进行对上述各种水平组合分别进行t 2次重复试验次重复试验,即共进即共进行行n=rst次试验次试验,这种试验称为双因素等重复试验这种试验称为双因素等重复试验,假定假定所有的实验是相互独立的。所有的实验是相互独立的。上一页上一页下一页下一页返回返回设得到样本观测值设得到样本观测值xijk(k=1,2,t)如下表如下表:txx11111 txx12121 stsxx111 txx21211 txx22221 stsxx212 trrxx111 trrxx221 srtrsxx 1 上一页上一页下一页下一页返回返回因为在水平因为在水平(Ai，Bj)下的样本与总体下的样

13、本与总体Xij服从相同的分服从相同的分布，所以有布，所以有),(2 ijijkNx., 2 , 1;, 2 , 1;, 2 , 1tksjri 其其中中 ., 2 , 1), 0(, 2 , 1;, 2 , 12独独立立各各，ijkijkijkijijktkNsjrix sjrisjrrisrsjjiiriijjsjijirisjij, 2 , 1, 2 , 1, 2 , 1,1 , 2 , 1,1,1 1111 ，记记上一页上一页下一页下一页返回返回ijjiij jiijijjjiisjri, 2 , 1, 2 , 1, ，), 2 , 1( , 0 ), 2 , 1( , 00 , 011

14、11risjsjijriijsjjrii .,的的交交互互效效应应和和水水平平为为水水平平的的效效应应为为水水平平的的效效应应为为水水平平为为总总平平均均称称jiijjjiiBABA 上一页上一页下一页下一页返回返回 0, 0, 0 , 0., 2 , 1, 2 , 1;, 2 , 1 ), 0(11112sjijriijsjjriiijkijkijkijjiijktksjriNx 独独立立各各上一页上一页下一页下一页返回返回要要检检验验的的原原假假设设是是都都应应等等于于零零则则所所有有著著对对试试验验结结果果的的影影响响不不显显的的交交互互作作用用与与若若因因素素,ijIBA 不不全全为为

15、零零不不全全为为零零不不全全为为零零rsijrsijssrrHHHHHH ,:0:,:0:,:0:111311032112210221112101上一页上一页下一页下一页返回返回sjrixtxtkijkij, 2 , 1;, 2 , 1,11 rixstxsjtkijki, 2 , 1,111 risjtkijkxrstx1111sjxrtxritkijkj, 2 , 1,111 risjtkijkTxxS1112)(上一页上一页下一页下一页返回返回BABAETSSSSS sjjBxxrtS12)(因素因素A的效应平方和的效应平方和因素因素B的效应平方和的效应平方和21)(xxstSiriA

16、risjtkijijkExxS1112误差平方和误差平方和 risjjiijBAxxxxtS112)(因素因素A与因素与因素B的交互效应平方和的交互效应平方和上一页上一页下一页下一页返回返回)1(),1)(1()1(, 1()1(, 1(,030201 trsrsFFtrssFFtrsrFFHHHBABA 的的拒拒绝绝域域为为假假设设后后当当给给定定的的显显著著性性水水平平)1(, 1()1()1(01 trsrFtrsSrSFHEA为为真真时时：当当)1(, 1()1()1(02 trssFtrsSsSFHEB为为真真时时：当当)1(),1)(1()1()1)(1( 03 trsrsFtrs

17、SrsSFHEBABA为为真真时时：当当上一页上一页下一页下一页返回返回实际可用下列简便公式计算实际可用下列简便公式计算ST,SA,SB ,SAB及及SE risjtkijkTxxS1112)( riiAxxstS12.)( sjjBxxrtS12)( BArisjjiijBASSxxxxtS 112BABATESSSSS 上一页上一页下一页下一页返回返回2 、双因素无重复试验的方差分析、双因素无重复试验的方差分析在双因素试验中在双因素试验中,对每一对水平组合只做一次试对每一对水平组合只做一次试验验,即不重复实验即不重复实验,得到得到上一页上一页下一页下一页返回返回 , 0 , 0., 2 ,

18、 1;, 2 , 1), 0(112sjjriiijijijjiijsjriNx 独独立立各各 不不全全为为零零不不全全为为零零要要检检验验的的原原假假设设是是ssrrHHHH ,:0:,:0:2112210221112101上一页上一页下一页下一页返回返回 sjijixsx11 risjijxrsx111 riijjxrx11 risjijTxxS112)(BAETSSSS sjjBxxS12)(因素因素A的效应平方和的效应平方和因素因素B的效应平方和的效应平方和21)(xxSiriA risjjiijExxxxS112误差平方和误差平方和总平方和总平方和上一页上一页下一页下一页返回返回)1

19、)(1(),1()1)(1(),1(,0201 srsFFsrrFFHHBA 的的拒拒绝绝域域为为假假设设后后当当给给定定的的显显著著性性水水平平)1)(1(),1()1(01 srrFSSsFHEAA为为真真时时：当当)1)(1(),1()1(02 srsFSSrFHEBB为为真真时时：当当上一页上一页下一页下一页返回返回1.正交试验设计的基本方法正交试验设计的基本方法: 正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种正交试验设计是研究和处理多因素试验的一种方法方法,利用正交表来安排实验利用正交表来安排实验,通过少量试验通过少量试验,获得满获得满意的试验结果意的试验结果. 正交试验设计包含两个内容

20、正交试验设计包含两个内容:.)2(;)1(如何分析试验结果如何分析试验结果怎样安排试验方案怎样安排试验方案第三节第三节 正交试验设计及其方差分析正交试验设计及其方差分析上一页上一页下一页下一页返回返回正交表是预先编制好的一种表格正交表是预先编制好的一种表格)2(34L. 2 , 12,34:)2(34个个反反映映水水平平的的数数码码表表中中出出现现列列行行有有表表的的结结构构L)2(34L行数行数列数列数水平数水平数上一页上一页下一页下一页返回返回.32,4:)2(34个个水水平平的的因因素素最最多多可可安安排排次次试试验验做做表表的的用用法法L)2(34L试验数试验数因素数因素数水平数水平数

21、.,48,82.23:)2(334效效率率是是高高的的次次来来做做试试验验次次试试验验中中选选出出使使用用正正交交表表只只需需从从次次它它的的全全面面试试验验数数为为水水平平的的因因素素个个表表的的效效率率 L)2(34L实际试验数实际试验数理论上的试验数理论上的试验数上一页上一页下一页下一页返回返回正交表的特点正交表的特点:.,)1(同同不同数字出现的次数相不同数字出现的次数相每一列中每一列中.,)2(出现次数相同出现次数相同其横向形成的有序数对其横向形成的有序数对任两列中任两列中1)1(,)( nmpnLmp中中一一般般正正交交表表上一页上一页下一页下一页返回返回2、试验结果的直观分析、试

22、验结果的直观分析 正交试验设计的直观分析就是要通过计算正交试验设计的直观分析就是要通过计算,将各将各因素、水平对试验结果指标的影响大小因素、水平对试验结果指标的影响大小,通过极差分通过极差分析析,综合比较综合比较,以确定最优化试验方案的方法以确定最优化试验方案的方法.有时也有时也称为极差分析法称为极差分析法.(1)极差计算极差计算.,.,称称为为极极差差中中最最大大值值与与最最小小值值之之差差列列的的为为第第之之和和对对应应的的各各次次试试验验结结果果与与水水平平列列中中为为表表中中的的第第定定义义ijjijTjRijT(2)极差分析极差分析次次主主素素的的主主次次顺顺序序由由极极差差大大小小

23、顺顺序序排排出出因因 :上一页上一页下一页下一页返回返回3、方差分析、方差分析 个个结结果果的的总总变变差差为为试试验验的的记记个个结结果果试试验验的的表表设设有有一一试试验验，使使用用正正交交pyySpTypyyTyyypnLsiiTpiipiipmp 121121 1, ,),(.,1 21212nprjpTTrpTrTrSsisiijjij 其其中中方方和和列列上上安安排排因因素素的的变变差差平平为为第第上一页上一页下一页下一页返回返回., 1方方和和之之和和即即总总变变差差为为各各列列变变差差平平 mjjTSS. 1, 1 nSpSjT的的自自由由度度为为的的自自由由度度为为.,为空列自由度之和为空列自由度之和其自由度其自由度平方和平方和之和就是误差的变差之和就是误差的变差所有空列所有空列当正交表中有空列时当正交表中有空列时eejfSS.,ejSS平方和平方和变差变差中的最小值作为误差的中的最小值作为误差的取取当正交表中无空列时当正交表中无空列时eejfSnSF1 选用的统计量为：选用的统计量为：), 1(efnFF 当因素作用不显著时：当因素作用不显著时：上一页上一页下一页下一页返回返回