《概率论与数理统计》（第3版） 习题详解ppt-（第2章） 随机变量.ppt

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1、第二章第二章 随机变量随机变量第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第三节连续型随机变量及其分布第四节随机变量函数的分布第四节随机变量函数的分布 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的性的，为了更方便有力的研究随机现象为了更方便有力的研究随机现象，就要用就要用高等数学的方法来研究高等数学的方法来研究， 因此为了便于数学上的因此为了便于数学上的推导和计算推导和计算，就需将任意的随机事件数量化就需将任意的随机事件数量化当当把一些非数量表示的随机事件用数字来

2、表示时把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念就建立起了随机变量的概念1. 为什么引入随机变量为什么引入随机变量?一、随机变量的引入2. 随机变量的引入随机变量的引入实例实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色观察摸出球的颜色.S=红色、白色红色、白色 非数量非数量将将 S 数量化数量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S红色红色 白色白色)(eXR10即即有有 X (红色红色)=1 , ., 0, 1)(白色白色红色红色eeeXX (白色白色)=0.这样便将非数量的这样便将非数量的 S=红色，白色红色，白色 数

3、量化了数量化了.实例实例2 抛掷骰子抛掷骰子,观察出现的点数观察出现的点数., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 ( XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX).6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1(,61 iiXPS=1，2，3，4，5，6样本点本身就是数量样本点本身就是数量恒等恒等变换变换且有且有eeX )(则有则有.)(),(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对于每一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eXeXSeXSe

4、eSE 二、随机变量的概念1.定义定义随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是

5、实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示

6、掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变量可得随机变量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeee

7、X实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中任抽从中任抽3个个,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个随机变量是一个随机变量.实例实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 则则,)(射中目标的次数射中目标的次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:, 0, 1. 2且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, , 3, 2, 1, 0实例实例7 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向

8、目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:., 3, 2, 1 实例实例8 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 03.随机变量的分类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个

9、或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量

10、X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围为三、小结2. 随机变量的分类随机变量的分类: 离散型离散型、连续型连续型.1

11、. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的律性的，因此为了方便有力的研究随机现象因此为了方便有力的研究随机现象， 就就需将随机事件数量化需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机把一些非数量表示的随机事件用数字表示时事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概就建立起了随机变量的概念念 因此因此随机变量是定义在样本空间上的一种特随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数殊的函数 .)(),(,)(,. , 为随机变量为随机变量称称上的单值实值函数上的单值实值函数这样就得到一个定义在这样就得到一个定义在与之对应与之对应有一个实数有一个实数果对于每一个果对于每

12、一个如如它的样本空间是它的样本空间是是随机试验是随机试验设设eXeXSeXSeeSE 二、随机变量的概念1.定义定义随机变量随着试验的结果不同而取不同的值随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因因此随机变量的取值也有一定的概率规律此随机变量的取值也有一定的概率规律.(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量是一个函数随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有但它与普通的函数有着本质的差别着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的普通函数是定义在实数轴上的,而而随机变量是定义在

13、样本空间上的随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元样本空间的元素不一定是实数素不一定是实数).2.说明说明(1)随机变量与普通的函数不同随机变量与普通的函数不同随机事件包容在随机变量这个范围更广的概随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内念之内.或者说或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机事件是从静态的观点来研究随机现象随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象机现象.(3)随机变量与随机事件的关系随机变量与随机事件的关系实例实例3 掷一个硬币掷一个硬币, 观察出现的面观察出现的面 , 共有两个共有两个结果结果:),(1反面朝上反面朝上

14、 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示掷一个硬币出现正面的次数表示掷一个硬币出现正面的次数, 则有则有)(eX)(1反面朝上反面朝上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一个随机变量是一个随机变量.实例实例4 在有两个孩子的家庭中在有两个孩子的家庭中,考虑考虑其性别其性别 , 共有共有 4 个样本点个样本点:).,(),(, ),(),(4321女女女女男男女女女女男男男男男男 eeee若用若用 X 表示该家女孩子的个数时表示该家女孩子的个数时 , 则有则有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得随机变

15、量可得随机变量 X(e), ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX实例实例5 设盒中有设盒中有5个球个球 (2白白3黑黑), 从中任抽从中任抽3个个,则则,)(抽得的白球数抽得的白球数 eX是一个随机变量是一个随机变量.实例实例6 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次, 则则,)(射中目标的次数射中目标的次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:, 0, 1. 2且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, , 3, 2, 1, 0实例实例7 设某射手

16、每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打中目标的概率是0.8,现该射手不断向目标射击现该射手不断向目标射击 , 直到击中目标为止直到击中目标为止,则则,)(所需射击次数所需射击次数 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可能取值为的所有可能取值为:., 3, 2, 1 实例实例8 某公共汽车站每隔某公共汽车站每隔 5 分钟有一辆汽车通分钟有一辆汽车通过过, 如果某人到达该车站的时刻是随机的如果某人到达该车站的时刻是随机的, 则则,)(此人的等车时间此人的等车时间 eX是一个随机变量是一个随机变量.且且 X(e) 的所有可的所有可能取值为能取值为:.5 , 03.随机变量的分

17、类随机变量的分类离散型离散型(1)离散型离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个无限可列个, 叫做离散型随机变量叫做离散型随机变量. 观察掷一个骰子出现的点数观察掷一个骰子出现的点数.随机变量随机变量 X 的可能值是的可能值是 :随机变量随机变量连续型连续型实例实例11, 2, 3, 4, 5, 6.非离散型非离散型其它其它实例实例2 若随机变量若随机变量 X 记为记为 “连续射击连续射击, 直至命直至命中时的射击次数中时的射击次数”, 则则 X 的可能值是的可能值是: ., 3, 2, 1实例实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是设某射手每次射击打

18、中目标的概率是0.8,现该射手射了现该射手射了30次次,则随机变量则随机变量 X 记为记为“击中目标击中目标的次数的次数”, 则则 X 的所有可能取值为的所有可能取值为:.30, 3, 2, 1, 0实例实例2 随机变量随机变量 X 为为“测量某零件尺寸时的测量测量某零件尺寸时的测量误差误差”.则则 X 的取值范围为的取值范围为 (a, b) .实例实例1 随机变量随机变量 X 为为“灯泡的寿命灯泡的寿命”.)., 0 (2)连续型连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充随机变量所取的可能值可以连续地充满某个区间满某个区间,叫做连续型随机变量叫做连续型随机变量.则则 X 的取值范围为的取值范围

19、为对于随机变量对于随机变量X, 我们不仅要知道我们不仅要知道X 取哪些值取哪些值, 要知道要知道 X 取这些值的概率取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限区间在任意有限区间(a,b)内取值的概率内取值的概率.21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函数函数 ).()(12xFxF ?第一节第一节 随机变量及其分布函数随机变量及其分布函数例如例如.,(21内的概率内的概率落在区间落在区间求随机变量求随机变量xxX1.概念的概念的引入引入2.分布函数的定义分布函数的定义说明说明(1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值分

20、布函数主要研究随机变量在某一区间内取值的概率情况的概率情况.)(,的分布函数的分布函数称为称为函数函数是任意实数是任意实数是一个随机变量是一个随机变量设设定义定义XxXPxFxX .)()2(的一个普通实函数的一个普通实函数是是分布函数分布函数xxF实例实例 抛掷均匀硬币抛掷均匀硬币, 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求求随机变量随机变量 X 的分布函数的分布函数.解解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x;0 0)( xXPxF 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1,

21、10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 二、分布函数的性质, 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx.21概概率率还还能能算算出出其其它它各各事事件件的的的的概概率率，计计算算事事件件利利用用分分布布函函数数，不不仅仅能能xXx 0 0 0 1 :1221 xFxXPxFxFxXxPxFxFxXPxFxXP例例如如上一页上一页下一页下一页返回返回 第二节第二节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布分布律常用表格分布律常用表格形式表示如下

22、：形式表示如下：X x1x2xkpkp1p2pk 如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无如果随机变量所有的可能取值为有限个或可列无限多个，则称这种随机变量为限多个，则称这种随机变量为离散型随机变量离散型随机变量。,.2 , 1 kpxXPkk 设离散型随机变量设离散型随机变量X的可能取值为的可能取值为xk (k=1,2,),事事件件 发生的概率为发生的概率为pk ,即即称为称为随机变量随机变量X的概率或分布律的概率或分布律。kxX 上一页上一页下一页下一页返回返回内的概率为内的概率为区间区间落入落入离散型随机变量离散型随机变量为实轴上一区间，那么为实轴上一区间，那么设设IXI IxiipI

23、XP的的分分布布函函数数的的计计算算公公式式量量由由此此可可得得离离散散型型随随机机变变X xxiipxXPxF 。跳跳跃跃的的高高度度为为处处的的在在的的第第一一类类间间断断点点，而而且且是是，值值的的可可能能，的的分分布布函函数数是是阶阶梯梯函函数数离离散散型型随随机机变变量量iipxxFxFxxXX21分布律的两条分布律的两条基本性质基本性质： 11)2(kkp0)1( kp, 2 , 1 k上一页上一页下一页下一页返回返回 下面哪一个符合概率分布(分布律）的要求(1,2,3)6xp Xxx(1,2,3)4xp Xxx(A)(B)(1,1,3)3xp Xxx 2(1,1,3)8xp Xx

24、x(C)(D)XX210123P2a3aa2aaaaXX例已知离散型随机变量 的分布为求 的值，并求出P(1)及P(1):解：概率之和应为112a+3a+a+2a+a+a =10a故 a=0.1概率表应为X210123P0 20 30 1 0 20 1 0 1.P X10 20 30 1 0 2().P X10 30 1 0 2().=0.8=0.6例例 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的

25、时间相等号灯显示的时间相等. 以以X表示该汽车首次遇到表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数红灯前已通过的路口的个数，求，求X的分布律的分布律.解解: 依题意依题意, X可取值可取值0, 1, 2, 3. P(X=0)=P(A1)=1/2, Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设路口路口3路口路口2路口路口1P(X=1)=P( )21AA2121= 1/4321AAA P(X=2)=P( )212121=1/8X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数路口路口3路口路口2路口路口1路口路口3路口路口2路口路口1Ai=第第i个路

26、口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设321AAA=1/8P(X=3)= P( )212121路口路口3路口路口2路口路口1818141213210X即即不难看到不难看到301)(iiXPX表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数Ai=第第i个路口遇红灯个路口遇红灯, i=1,2,3设设 ,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 因此分布律为因此分布律为818383813210pX解解则则.31,5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函数的分布律及分布函数求求”出现的次数出现的次数表示“三次中正

27、面表示“三次中正面将一枚硬币连掷三次将一枚硬币连掷三次例例 ,反面反面正面正面设设 TH三、例题讲解三、例题讲解;218381 ,0时时当当 x,10时时当当 x求分布函数求分布函数)(xXPxF x o 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,21时时当当 x,32时时当当 x;87838381 ,3时时当当 x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPx o 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP) 1 () 3(FF 81841 . 3 , 1,

28、32 ,87, 21 ,84, 10 ,81, 0 , 0)(xxxxxxF所所以以3 XP.83 5 . 5 XP5 . 51 XP31 XP 13 XPXP) 1 () 3(FF 5 . 55 . 51 XPXP011 . 0 841 .21 的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量 XXkp321 412141解解,)(, 03, 2, 1xXPxFxX 且且处概率不为处概率不为仅在仅在由于由于例例.32,2523,21, XPXPXPX并求并求的分布函数的分布函数求求 . 3, 1, 32,21, 21,1, 1, 0)(xxXPXPxXPxxF得得 . 3, 1, 32,43, 21

29、,41, 1, 0)(xxxxxF即即, )(xXPxF 由由,41 )23()25(2523FFXP ,214143 2)2()3(32 XPFFXP21431 .43 )21(21FXP 得得的分布律为的分布律为设随机变量设随机变量例例X:3（）确定常数（）确定常数a的值的值;（）求（）求的分布函数的分布函数因此因此61 aa 31211解：（）由分布律的性质知解：（）由分布律的性质知机机变变量量的的分分布布情情况况。随随布布函函数数都都能能描描述述离离散散型型分分布布律律。用用分分布布律律和和分分的的的的分分布布函函数数，也也能能确确定定已已知知离离散散型型随随机机变变量量XX p31a

30、21上一页上一页下一页下一页返回返回（2 2）由分布函数计算公式易得的分布函数为：）由分布函数计算公式易得的分布函数为： 1 1 21 65 10 21 0 0 xxxxxF上一页上一页下一页下一页返回返回 作业P56 21.两点分布两点分布 若在一次试验中若在一次试验中X只可能取只可能取x1 或或x2 两值两值(x1x2),它的概率分布是它的概率分布是则称则称X服从两点分布。服从两点分布。 ,1),(0 121pxXPppxXP 当规定当规定x1=0,x2=1时两点分布称为（时两点分布称为（01）分布。）分布。简记为简记为X(0-1)分布。分布。X 0 1pk 1-p p上一页上一页下一页下

31、一页返回返回贝贝努里试验模型努里试验模型.,).10(, 重重贝贝努努里里试试验验称称为为验验试试验验总总起起来来看看成成一一个个试试次次独独立立重重复复把把这这均均为为概概率率保保持持不不变变出出现现的的每每次次试试验验中中结结果果次次独独立立地地重重复复进进行行在在相相同同条条件件下下将将为为一一贝贝努努里里试试验验设设nnppAnEE 定义定义:.)4(.)3(.)2(.：) 1 ( 次共进行各次试验相互独立率均为在每次试验中出现的概结果及结果每次试验只有两个可能个约定：重贝努里试验有下面四npAAAn上一页上一页下一页下一页返返 回回pqnkqpCkPknAnknkknn 1, 1 ,

32、 0)( , 次次的的概概率率为为出出现现次次试试验验中中在在事事件件重重贝贝努努里里试试验验对对于于定理定理knkknkqpppknkAn )1( ,:为为次次试试验验中中不不出出现现的的概概率率而而在在其其余余出出现现次次试试验验中中在在指指定定的的重重贝贝努努里里试试验验由由证证明明.,个个事事件件是是互互不不相相容容的的种种排排列列所所对对应应的的而而这这种种共共有有顺顺序序的的发发生生可可以以有有各各种种排排列列结结果果knknknCCCA.)( 也也称称为为二二项项概概率率公公式式由由概概率率加加法法公公式式得得到到knkknnqpCkP 上一页上一页下一页下一页返返 回回 , 1

33、 , 0)1(nkppCkXPknkkn 若离散型随机变量若离散型随机变量X的分布律为的分布律为2.二项分布二项分布其中其中0p0为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的泊松分布，记的泊松分布，记为为X ( )。上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2.1 （泊松定理）（泊松定理） 设设 0是一常数，是一常数，n是任意整数，是任意整数，设设npn=，则对任意一固定的非负整数则对任意一固定的非负整数k，有有 ekppCkknnknknn!1limknknnkknnn 1!)1()1(时时，当当对对于于固固定定的的 nk证明证明knknnnknnk 111121111!11111121n

34、111 knnennkn 有有由由npn knnknknppC 1上一页上一页下一页下一页返回返回定理的条件定理的条件npn=，意味着意味着n很大时候很大时候pn必定很小。必定很小。因此当因此当n很大，很大，p很小时有近似公式很小时有近似公式 ekppCkknkkn!1其中其中=np。 ekk!在实际计算中，当在实际计算中，当 时用时用 （=np）作为作为 的近似值效果很好。的近似值效果很好。而当而当 时效果更佳。时效果更佳。 05. 020n p， knnknknppC 110np100n ， ekk!的值有表的值有表2-5可查。可查。 ekppCkknnknknn!1lim从而从而上一页上

35、一页下一页下一页返回返回上面我们提到上面我们提到单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二项二项分布分布 泊松分布泊松分布)(nnp 设设1000 辆车通过辆车通过,出事故的次数为出事故的次数为 X , 则则可利用泊松定理计算可利用泊松定理计算, 1 . 00001. 01000 所求概率为所求概率为99910009999.00001.0110009999.01 .0047. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 解解2 XP1012 XPXPXP),0001.0,1000( bX例例 有一繁忙的汽车站有一繁忙的汽车站, 每天有大量汽车通过每天有大量汽车通过,

36、设每辆汽车设每辆汽车,在一天的某段时间内出事故的概率在一天的某段时间内出事故的概率为为0.0001,在每天的该段时间内有在每天的该段时间内有1000 辆汽车通辆汽车通过过,问出事故的次数不小于问出事故的次数不小于2的概率是多少的概率是多少?例例 . .设某国每对夫妇的子女数设某国每对夫妇的子女数X X服从参数为服从参数为 的泊松分的泊松分布布, ,且知一对夫妇有不超过且知一对夫妇有不超过1 1个孩子的概率为个孩子的概率为3e3e-2-2. .求求任选一对夫妇任选一对夫妇, ,至少有至少有3 3个孩子的概率个孩子的概率。23 101),(eXPXPXPpX且21013XPXPXPXP323. 0

37、51! 22! 121222212eeee解解:由题意由题意,232eee例例5： 有同类设备有同类设备300台，各台工作状态相互独立。已台，各台工作状态相互独立。已知每台设备发生故障的概率为知每台设备发生故障的概率为0.01，若一台设备发生故，若一台设备发生故障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保障需要一人去处理，问至少需要配备多少工人，才能保证设备发生故障而不能及时修理的概率小于证设备发生故障而不能及时修理的概率小于0.01？ 130001. 0!3!1111NkkNkkNkknkknkekeppCNXPNXP 查表可知，满足上式最小的查表可知，满足上式最小的N是是8。至少需配备

38、至少需配备8个工人才能满足要求。个工人才能满足要求。 解：解： 设设X表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知表示同一时刻发生故障的设备台数，依题意知Xb(300,0.01)，若配备若配备N位维修人员，所需解决的问题位维修人员，所需解决的问题是确定最小的是确定最小的N，使得：使得：PXN0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 , 的正态分的正态分布或高斯分布布或高斯分布,记为记为XN( , 2).X的分布函数为的分布函数为 dtexFxt 222)(21)( 则则令令tx 122121)(22 dtedxxft上一页上一页下一页下一页返回返回（1） 最大值在最大值在x=处，最大值为处

39、，最大值为 ; 21（3）曲线）曲线y=f(x)在在 处有拐点；处有拐点； x正态分布的密度函数正态分布的密度函数f(x)的几何特征：的几何特征： hXPXhP （2） 曲线曲线y=f(x)关于直线关于直线x= 对称，于是对于任对称，于是对于任意意h0，有有x（4）当）当 时，曲线时，曲线y=f(x)以以x轴为渐近线轴为渐近线 上一页上一页下一页下一页返回返回当当 固定，改变固定，改变 的值，的值，y=f(x)的图形沿的图形沿Ox轴平移而不轴平移而不改变形状，故改变形状，故 又称为位置参数。若又称为位置参数。若 固定，改变固定，改变 的的值，值，y=f(x)的图形的形状随的图形的形状随 的增大

40、而变得平坦。的增大而变得平坦。 越小，越小，X落在落在 附近的概率越大。附近的概率越大。)(xfxO )(xfxO1h h 1 5 . 0 1 2 上一页上一页下一页下一页返回返回参数参数 =0， =1的正态分布称为标准正态分布，记为的正态分布称为标准正态分布，记为XN(0,1)。其概率密度函数和分布函数分别用其概率密度函数和分布函数分别用 和和 表示，即表示，即)(x )( x 2221)(xex dtexxt 2221)( 和和 的图形如图所示。的图形如图所示。 )(x )( x )(x xO)(x xO21aa 上一页上一页下一页下一页返回返回正态分布下的概率计算正态分布下的概率计算tx

41、Fxtde21)(222)( xXP ? 原函数不是原函数不是初等函数初等函数转化为标准正态分布查表计算转化为标准正态分布查表计算f(x)x01(1) (0),2xx)( x1( ) x标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).(2)()1( )xx (x) 的计算的计算(1) x 0 时, 查标准正态分布函数表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 则 P(|X|a) = P(aXa) = (a)(a) = (a) 1 (a) = 2(a)1 ).1 , 0(),(2NXZNX 则则若若引理引理证略证略若 X

42、 N(, 2), 则 P(Xa) = a1a1212()xXxP xXxP21xx例例2： 设设X(0,1),求求P1X2,P .54.1 X 1359. 08413. 09772. 0)1()2(21: XP解解 8764. 019382. 021)54. 1(2)54. 1()54. 1(54. 154. 154. 1 XPXP例例3： 某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的某仪器需安装一个电子元件，要求电子元件的使用寿命不低于使用寿命不低于1000小时即可。现有甲乙两厂的电子小时即可。现有甲乙两厂的电子元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命服从正态元件可供选择，甲厂生产的电子元件的寿命

43、服从正态分布分布N(1100,502), 乙厂生产的电子元件的寿命分布服从乙厂生产的电子元件的寿命分布服从正态分布正态分布N(1150,802)。问应选择哪个厂生产的产品呢？问应选择哪个厂生产的产品呢？若要求元件的寿命不低于若要求元件的寿命不低于1050小时，又如何？小时，又如何？上一页上一页下一页下一页返回返回9772. 0)2()2(150110010001100011000 XPXP比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。比较两个概率的大小就知应选甲厂的产品。 解解 ：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为：设甲、乙两厂的电子元件的寿命分别为X和和Y，则则X N(1100,502)，Y N(1

44、150,802).(1)依题意要比较概率依题意要比较概率 的大的大小小,10001000 YPXP和和两个概率如下：两个概率如下：9700. 0)875. 1()875. 1(180115010001100011000 YPYP上一页上一页下一页下一页返回返回1050 110501050 110011( 1)50(1)0.8413P XP X 比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。比较两个概率的大小就知应选乙厂的产品。 (2)依题意要比较概率依题意要比较概率 的大小的大小,10501050P XP Y和两个概率如下：两个概率如下：1050 110501050 115011( 1.25)80(1

45、.25)0.8944P YP Y 上一页上一页下一页下一页返回返回作业 P58 19 44 20 23第四节第四节 随机变量函数的分布随机变量函数的分布 设设X是离散型随机变量，是离散型随机变量，Y是是X的函数的函数Y=g(X)。那那么么Y也是离散型随机变量。也是离散型随机变量。 设设y=g(x)为一个通常的连续函数，为一个通常的连续函数，X为定义在概率为定义在概率空间上的随机变量，令空间上的随机变量，令Y=g(X)，那么那么Y也是一个定义在也是一个定义在概率空间上的随机变量。概率空间上的随机变量。上一页上一页下一页下一页返回返回(2) Y=-2X2分布律为分布律为Y -18 -8 -2 0

46、P 0.3 0.3 0.3 0.1例例1： 设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为X -1 0 1 2 3P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3求：（求：（1）Y=X-1； (2) Y=-2X2的分布律。的分布律。 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 X -1 0 1 2 3 X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18解：由解：由X的分的分布律可得布律可得由上表易得由上表易得Y的的 分布律分布律（1）Y=X-1的分布律为的分布律为Y -2 -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3上一页上一页下一页下一页返回返回离散型随机

47、变量的函数的分布离散型随机变量的函数的分布的分布律为的分布律为若若也是离散型随机变量也是离散型随机变量其函数其函数是离散型随机变量是离散型随机变量如果如果XXgYX.)(, Xkpkxxx21kppp21的分布律为的分布律为则则)(XgY kp)(XgY kppp21)()()(21kxgxgxg.,)(合并合并应将相应的应将相应的中有值相同的中有值相同的若若kkpxg yxgXYdxxfyXgPyYPyF)()()()( 设设X为连续型随机变量，具有概率密度为连续型随机变量，具有概率密度fX(x)。又又Y=g(X)，在大部分情况下在大部分情况下Y也是连续型随机变量。为也是连续型随机变量。为了

48、求出了求出Y的概率密度的概率密度fY(y)，可以先求出可以先求出Y的分布函数的分布函数FY(y) yY 由由FY(y)便可求出便可求出Y的概率密度的概率密度fY(y)=FY(y)。计算的关键计算的关键是给出上式的积分区间。即将事件是给出上式的积分区间。即将事件 转化为用转化为用X表表示的事件示的事件 。其中。其中 。 yIX .)(yxgxIy 这种方法称之为这种方法称之为分布函数法分布函数法。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2: 设连续型随机变量设连续型随机变量X具有概率密度具有概率密度其他其他4008)( xxxfX求求Y=2X+1的概率密度的概率密度fY(y)。 2112)(yXPy

49、XPyYPyFY解解 : 先求出先求出Y的分布函数的分布函数FY(y) 9911164) 1(0)(221 yyyydxxfyX从而从而Y的概率密度为的概率密度为 其他其他910321)( yyyfY上一页上一页下一页下一页返回返回例例3 : 设随机变量设随机变量XN(0,1)，求求Y=X2的概率密度的概率密度fY(y)。当当y0时，时，FY(y)= PX2y dxedxexfyXyPxyxyyyyX2022221221)( 2221)(xXexf 解解: X的概率密度为的概率密度为记记Y的分布函数为的分布函数为FY(y)，那么那么FY(y)=PYy= PX2y当当y0时，时，FY(y)=0Y

50、的概率密度为的概率密度为其其他他0021)(2 yeyyfyY 上一页上一页下一页下一页返回返回其它其它, 0, 10,2)(xxxfXX练习练习 设随机变量设随机变量求求Y=3X+5的概率密度。的概率密度。解解 先求先求Y=3X+5的分布函数的分布函数FY(y)35()53()()(yXPyXPyYPyFY35)(yXdxxf. 8, 1, 85,)5(91, 5, 02yyyy35035022yyxxdx035y1350y135yY的概率密度函数为的概率密度函数为其它.其它., 0, 85),5(92)()(yyyFdydyfYY定理定理2.2 设随机变量设随机变量X具有概率密度具有概率密