§2.4 隐函数与参数方程的导数.ppt

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1、12.4 隐函数及由参数方程所确隐函数及由参数方程所确定的函数的导数定的函数的导数 相关变化率相关变化率第二章第二章 导数与微分导数与微分隐函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数相关变化率相关变化率小结小结 思考题思考题 作业作业2定义定义由二元方程由二元方程)(xfy 0),( yxF)(xfy 1. 隐函数的定义隐函数的定义)(xyy 所确定的函数所确定的函数0),( yxF一、隐函数的导数一、隐函数的导数称为称为隐函数隐函数(implicit function).的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的013 yx可确定显函数可确定显函数

2、;13xy 例例),10(sin yxy开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒( (J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家德国数学家, ,天文学家天文学家. .xy关于关于的隐函数客观存在的隐函数客观存在, ,但无法将但无法将yx表达成表达成的的显式显式表达式表达式. .显化显化. .32. 隐函数求导法隐函数求导法隐函数求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化如何求导如何求导4例例解解0 yxeexy设想把设想把

3、.,00 xyxyyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,)(xyy 所确定的函数所确定的函数0 yxeexy将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得xxy)( xxe )( xye )( )0( 因为因为y是是x的函数的函数, 是是x的复合函数的复合函数,所以所以ye求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,yyx xe ye y 0 xeyeyyx 0, 0 yx0 x0 y0 x0 y. 1 5 虽然隐函数没解出来虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来但它的导数求出来了了,当然结果中仍含有变量当然结果

4、中仍含有变量y.允许在允许在 的表达式中含有变量的表达式中含有变量y.y y 一般来说一般来说,隐函数隐函数求导求导, 求求隐函数的导数时隐函数的导数时,只要记住只要记住x是自变量是自变量,将方程两边同时对将方程两边同时对x求导求导,就得到一个含有导数就得到一个含有导数从中解出即可从中解出即可.于是于是y的函数便是的函数便是x的复合函数的复合函数,的方程的方程.y是是x的函数的函数,6例例解解, 0sin yxey设设.xy 求求法一法一利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将方程两边对将方程两边对x求导求导,得得ycosxy ye 1yex xy 0 yyxxeyey cos解出解出,xy 得得

5、法二法二 从原方程中解出从原方程中解出,x得得 yeyxsinyeysin 7yeeyxyysinsin 先求先求x对对y的导数的导数,得得 yx)sin(cosyyey yeyysincos 再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得yxxy 1yyxeye coscossin)1(yeyeyy 8例例.,23,23,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对x23xxyxyy 22. 1 切线方程切线方程)23(23 xy. 03 yx即即2323

6、xy, xy 即即23y y3 yx 3y 法线方程法线方程通过原点通过原点. 23,23 23,239例例2222,lnarctandxyddxdyyxxy求求设设 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy 10 yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 11例例.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解得得求导求导方程两边对方程两边对,x3

7、4xy 得得求求导导,x212x.161 34y y yx y 0 y y yx yyy 21234y y 0 )1 , 0(41 将上面方程两边再对将上面方程两边再对y )1 , 0(010101014141414112.)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 或解或解得得求导求导方程两边对方程两边对,x04433 yyyxyx解得解得xyxyy 3344得得求导求导两边再对两边再对将将,4433xxyxyy yy )4(3xy )12(2xy )4(3xy ;41 )1 ,0(y )1 ,0(.161 23)4(xy )112(2 yy13例例 求证抛物线求证抛物线

8、ayx 上任一点的切线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于在两坐标轴上的截距之和等于a证证求导得求导得两边对两边对方程方程xayx 02121 dxdyyxxydxdy 故曲线上任一点故曲线上任一点),(00yx处切线的斜率为处切线的斜率为0 xxdxdyk 00 xy 140 xxdxdyk 00 xy 切线方程为切线方程为)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在两坐标轴上的截距之和为故在两坐标轴上的截距之和为)(0000yxayaxa a 15016)(2 xxyexyyy由方程由方程已知函数已知函数 )0(

9、y则则解解ye确定确定,y yx 6y6 x2 0 yexyxy 662 y )6(yex )62(y )6(yey )62(yx 2)6(yex 00, 0 x00000 y000000000 y02 16.)()2()(xvxu幂指函数幂指函数3. 对数求导法对数求导法作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍介绍(1) 许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.,)4(1)1(23xexxxy 如如对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.sinxxy 适用于适用于

10、方方 法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数, -对数求导法对数求导法 然后利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.17有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便. .例如例如, ,)1,0,0( babaaxxbbaybax两边取对数两边取对数 yln两边对两边对x求导求导 yybalnxa xbxabaaxxbbaybaxln baxln lnlnxbalnlnaxb xb 18例例解解 yln求导得求导得上式两边对上式两边对 xy1.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设142)1(3111 xxxy 等式两边取对数得等式两边取对数得 142)1(

11、3111)4(1)1(23 xxxexxxyx)1ln( xx )1ln(31 x)4ln(2 x 隐函数隐函数19例例dxdyaxaxaxynanaa求求设设)()()(2121 解解两边取对数得两边取对数得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 两边对两边对 x 求导得求导得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 20)(xu)()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 两边对两边对x求导得求导得)(xf :幂指函数幂指函数 )(xf)(xv)0)( xu等式两边取对数得等式两

12、边取对数得)()()(xuxuxv )(xf )(ln)(xuxv. . 21例例解解.),0(sinyxxyx 求求设设xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 等式两边取对数得等式两边取对数得22注注复合函数复合函数)0)()()( xuxuyxv改写成改写成)(ln)(xuxvey .),0(sinyxxyx 求求如上例如上例),0(sin xxyx将将则则xxeylnsinxx ln(cos )sinxx 只要将只要将,lnsinxxey 改写成改写成幂指函数也可

13、以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,23.,1. 12sinyxxyx 求求设设.,. 2yyxxy 求求设设24.,1. 12sinyxxyx 求求设设解答解答求导得求导得上式两边对上式两边对x)1ln(lnln2sinxxyx )1ln(lnsin2xxx 212sinlncosxxxxxxyy )12sinln(cos2xxxxxxyy 等式两边取对数等式两边取对数25.,. 2yyxxy 求求设设解答解答,lnlnyxxy ,lnlnyyxyxyxy .lnln22xxxyyyxyy 26二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 )(

14、)(tytx 若参数方程若参数方程如如 ,22tytx2xt 2ty42x xy21 t 称此为由称此为由参数方程所确定的函数参数方程所确定的函数.22 x 消参数困难或无法消参数消参数困难或无法消参数 如何求导如何求导.消去参数消去参数,间的函数关系间的函数关系与与确定确定xy27,)(),(都都可可导导再再设设函函数数tytx xyddtydd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在方程在方程 tytx 具有具有设函数设函数)(tx 所以所以,tyddxtdd ),(1xt 单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得t

15、xdd1 , 0)( t 且且 y)(1x 28的星形线 323232ayx)2, 0( sincos33ttaytax.ddxy求Oxytaa参数方程为 星形线是一种圆内摆线例例4dd小大29)cos()sin(dd33tataxyttattasincos3cossin322ttan),2(Znnt解解30例例解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2cos12sindd2 txy. 1 .方程方程处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax,2时时当当 t 所求切线方程为所求切线方程为),12( ax. ay )12( axa

16、y)22( axy即即31若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程)( rr 给出给出, ,利用利用因此曲线因此曲线 y sin)( r cos)( r cos)(r ddy ddx)( rr 切线的斜率为切线的斜率为 oAM r,cos)( rx sin)(ry sin)( r 可化为极角可化为极角 参数方程参数方程, , 32例例.42sin处处的的法法线线方方程程在在求求曲曲线线 ar解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成 cos)( rx cos2sina sin)( ry sin2sina )( 为参数为参数 则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为xydd cos2sins

17、in2cos2aa 1 所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为 4 4 ,224ax ay224 sin2sincos2cos2aa 故法线方程为故法线方程为axay2222 即即0 yx, 1参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.33例例.3222,11ydxydyxdxdytytx 证明证明设设证证dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y

18、 )2(22 yx34,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即35如如: 33ddxy注注求二阶导数不必死套公式求二阶导数不必死套公式,只要理解其含义只要理解其含义,这样对求更高阶的导数也容易处理这样对求更高阶的导数也容易处理. 22ddddxyxtxydddd22 dtxtxyddddd22 xtdd 36例例解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxtxtyxydd

19、dddd )sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 37)(, )(tyytxx 为两可导函数为两可导函数yx ,之间有联系之间有联系tytxdd,dd之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率三、相关变化率三、相关变化率相关变化率相关变化率0),( yxFtytxdddd和和之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻

20、的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)38例例解解,秒后秒后设气球上升设气球上升t500tanh 求求导导得得两两边边对对t 2sec 0),( hF (1)(2)?,500./140,500多少多少员视线的仰角增加率是员视线的仰角增加率是观察观察米时米时当气球高度为当气球高度为秒秒米米其速率为其速率为米处离地面铅直上升米处离地面铅直上升一气球从离开观察员一气球从离开观察员),(th其高度为其高度为则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线),(t tdd 5001 thdd ,/140dd秒秒米米 th tdd 仰角增加率仰角增加率(3)2sec2 14050

21、0121 )/(14. 0分分弧度弧度 h 22tan1sec 500, 1tan,500 时时当当h39四、小结四、小结隐函数求导法则隐函数求导法则工具工具: :复合函数复合函数链导法则链导法则;对数求导法对数求导法对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导按隐函数的求导法则求导.参数方程求导参数方程求导注意注意: :变量变量y是是x的函数的函数.将方程两边对将方程两边对x求导求导.工具工具: :复合函数复合函数链导法则链导法则、反函数的求导法则、反函数的求导法则.相关变化率相关变化率 通过函数关系确定两个变化率通过函数关系确定两个变化率之间的之间的解法解法: : 三个步骤三个

22、步骤. .关系关系,从其中一个变化率从其中一个变化率( (已知已知) )求出一个变化率求出一个变化率;40思考与练习思考与练习求其反函数的导数求其反函数的导数 .,xexy1.1. 设设)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , , )0(y 求求. )0(y 2. 设设3. ,cossin11 23232yxxxxxy求设 4. 已知已知 ，求，求32ttxeye 22d ydx41思考与练习思考与练习求其反函数的导数求其反函数的导数 .,xexy解解: :xyddyxdd方法方法1 11xe1yxe11方法方法2 2 等式两边同时对等式两边同时对 求导求导y1ddxyxeddxyy

23、xddxe111.1. 设设42)(xyy 由方程由方程eyxey确定确定 , , , )0(y解解: : 方程两边对方程两边对 x x 求导求导, ,得得0yxyyey再求导再求导, , 得得2yey yxey)(02 y当当0 x时时, , 1y故由故由 得得ey1)0(再代入再代入 得得21)0(ey 求求. )0(y 2.设设43. ,cossin11 23232yxxxxxy求设运用取对数求导法两边关于 x 求导：xxxxxycosln2sinln3)1ln()1ln(ln32ln2解解xyy132x11212xxxxsincos3xxcossin2 3.44xxxxxy23232cossin11 tan2cot3121132 2xxxxxx整理得45 4. 已知已知 ，求，求32ttxeye 22d ydx解：解：2(2 )2(3)3( 1)23tttttdydtedxdyeedxeedt22222232233222433(3)3( 1)9tttttttdedydded ydxdtdxdxdxddteeeeex46作业作业习题习题2-4 (1102-4 (110页页) ) 1.(1)(3) 2. 3.(1)(3) 4.(1) (3) 5.(1) 6. 7.(2) 8. (2) (4)