D1-7无穷小的比较.ppt

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1、1无穷小的比较无穷小的比较利用等价无穷小替换求极限利用等价无穷小替换求极限小结小结 思考题思考题 作业作业第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较2如如, ,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx,0时时当当 x;0302要快得多要快得多比比xx;00sin快慢相仿快慢相仿与与 xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 观察各极限观察各极限是无穷小是无穷小., x,2x,sin xxx1sin2一、无穷小的比较一、无穷小的比较不存在不存在.极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不同程度不同.30.10.010.20.020

2、.010.00010.0010.000001x2x2x3x例例 考察考察 时，时， 趋于零的快慢趋于零的快慢0 x23, 2 ,xx xx可见可见 最快，最快， 次之次之3x2x3200limlim0 xxxxx即即32xxx0 x时，时，是无穷小是无穷小23xxx所以所以 比比 趋于零快趋于零快3x2x4定义定义,lim)2( 如果如果),0(lim)3( CC 如果如果, 0lim)1( 如如果果,1,时时当当特别特别 C 是是比比就就说说);( o 记作记作是是与与就说就说 是是与与则称则称 . 记作记作 infinitesimal equivalence是同一过程中的两个无穷小是同一过

3、程中的两个无穷小,高阶的无穷小高阶的无穷小;低阶的无穷小低阶的无穷小;同阶无穷小同阶无穷小;等价无穷小等价无穷小, ,设设. 0 且且 是比是比就说就说5Ck lim)4(如如果果的的是是关关于于就就说说 ),0, 0( kC如如,时时 n;112 non的的是是nn112高阶无穷小高阶无穷小,时时 x的的是是xx1001同阶无穷小同阶无穷小.因为因为20cos1limxxx 的的是是xxcos1 ,0时时所以当所以当x二阶无穷小二阶无穷小.2,21 21 k 阶无穷小阶无穷小.6v 阶的比较举例阶的比较举例所以所以 当当x0时时 3x2是比是比x高阶的无穷小高阶的无穷小 即即 3x2 o(x

4、)(x0) 所以当所以当x3时时 x2 9与与x 3是同阶无穷小是同阶无穷小 所以当 n时 n1是比21n低阶的无穷小 因为211limnnn 例例 例例 3 因为639lim23xxx 例例 例例 1 因为03lim20 xxx 例例 7 所以所以 当当x0时时 1 cos x 是关于是关于x 的二阶无穷小的二阶无穷小 所以所以 当当x0时时 sin x 与与x是等价无穷小是等价无穷小 即即 sin xx(x0) 例例 4 因为21cos1lim20 xxx 例例 例例 5 因为1sinlim0 xxx 例例 v 阶的比较举例阶的比较举例8例例解解.tan4 ,0:3的的四四阶阶无无穷穷小小

5、为为时时当当证证明明xxxx xxx30tan4lim30)tan(lim4xxx , 4 .tan4 ,03的的四四阶阶无无穷穷小小为为时时故故当当xxxx 例例.sintan,0的的阶阶数数关关于于求求时时当当xxxx 解解xxxsintanlim0 xxxtan(lim0,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 4x?x3x)cos12xx 21cos1lim20 xxx9例例. 证明证明: 当当0 x时时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn1,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb111t0t0110,0limlim(1)11 1

6、1nnnnnnnxtxtntntttC tCt 令 ，则原式 10将常用的等阶无穷小列举如下: xx sinxx tan2cos12xxxx )1ln( mxxm11211xx nxxn1)1 (xex1axaxln12sintan3xxx xx arcsinxx arctan 当 x 0 时 , , , 0 .mnNa其中11定理定理1 1证证, lim 1lim lim ,0 ).( o 即即),( o lim. )(limo )(1limo, 1 因此因此设设则则1 因此因此 ),( o设设则则 二、利用等价无穷小替换求极限二、利用等价无穷小替换求极限).( o 12例例 xsin xc

7、os1,0时时当当 x,sinxx,tanxx,21cos12xx 所以所以时有时有当当0 x xtan所以所以时有时有当当0 x所以所以时有时有当当0 x),(xox ),(xox ).(2122xox 所以所以时有时有当当0 x,arcsinxx xarcsin),(xox 13定理定理2 2, 设设证证 lim lim( lim).(lim 或或A ),(lim 或或且且A lim则则 ) lim lim ).(lim 或或A ( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )14例例.5sin2tanlim0 xxx求求解解,0时时当当 x 原式原式等价无穷小替换定理说明等价无穷小替换定

8、理说明, , 两个无穷小之两个无穷小之比的极限比的极限, ,可由它们的等价无穷小之比的极限可由它们的等价无穷小之比的极限代替代替. .给给 型未定式的极限运算带来方便型未定式的极限运算带来方便. .00,22tanxx,55sinxx xxx52lim0.5215231x221x.1cos1)1 (lim3120 xxx解解: :,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32例例 求求163221lnlimxxx02limxx3221lnlimxxx求322limxxx例例解17例例.) cos1(2sin lim20 xxarcx 求求解解 ) cos1(2sin

9、 lim20 xxarcx ) cos1(2lim20 sin arcxxxxx ) cos)(1 cos1(2lim0 xxxx xxxxx cos11lim) cos1(2lim00 ) cos1lim(1lim020 x cos1221xxxxxx 18xxxxtansin21lnlim0 xxx21lim0 xxxxtansin21lnlim0求xxxtan)1ln(21lim0 xxxtansin2lim0 xxx2lim0212例例解19000coslim11 coslimlimxxxxxexxexxx0coslimxxexx求1例例解20例例.cos12tanlim20 xxx

10、求求解解,0时时当当 x 原原式式. 8 加、减项加、减项的无穷小不要用等价无的无穷小不要用等价无穷小代换穷小代换.注注,21cos12xx .22tanxx22021)2(limxxx21例例xxxx2sinsintanlim30 求求解解 原式原式. 0 解解,0时时当当 x xxsintan,213x,22sinxx 原式原式.161 错错 ,0时时当当 x,tanxx,sinxx30)2(limxxxx )cos1(tanxx 330)2(21limxxx221. 无穷小的比较无穷小的比较2. 等价无穷小的替换等价无穷小的替换 求极限的又一种方法求极限的又一种方法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 同阶同阶(等价等价)无穷小无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.三、小结三、小结 反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.快慢快慢,23思考题思考题解 . ),cos1 (1)1 ( , 0 312axaxx求常数时已知 ,2cos1 ;1 , 0 2得时由xxnxxxn ,322 3 limcos11)1 (lim12203120axaxxaxxx.23 a故24作业作业习题习题1-7 (591-7 (59页页) )3. 4.