第8章 相量法-精品文档资料整理.ppt

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1、一、一、 复数的表示形式复数的表示形式) 1(j为为虚虚数数单单位位8.1 8.1 复数复数jFab+1+jOFab+1+jOFab2、三角形式、三角形式模模辐角辐角(cossin )FFj22Fabarctanba |cos | |sinaF bF5 /-53.1 3、指数形式、指数形式根据欧拉公式根据欧拉公式4、极坐标形式、极坐标形式F =|F| /3+j4= 5 /53.1-3+j4=5 /126.9 10 /30 =10(cos30 + jsin30 ) =8.66+j5cossinjej(cossin )FFjjFF e用用代数形式代数形式进行，进行，设设111jbaF222jbaF

2、)()(221121jbajbaFF+1+jO1F2F21FF )()(2121bbjaa几何意义几何意义二、二、 复数的运算方法复数的运算方法（1）加法）加法（2）减法）减法用用代数形式代数形式进行，进行，设设111jbaF222jbaF)()(221121jbajbaFF+1+jO1F2F2F21FF 21FF )()(2121bbjaa几何意义几何意义3、乘法、乘法用用指数形式指数形式比较方便比较方便设设111| FF222| FF221121FFFF2121/FF4、除法、除法21FF11|F22|F2121/FF三、旋转因子三、旋转因子是一个模等于1，辐角为的复数。等于把复数F逆时针

3、旋转一个角度，而F的模值不变。因此，因此，“j”和和“-1”都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。任意复数F乘以e j1je 2jej2jej 1jej2sinj2cos ,22jej)2sin(j)2cos(,22je1)sin(j)cos(,jej称为旋转90因子。特殊特殊旋转因子旋转因子+1+j0FFjFjF注意把下列复数化为指数形式和极坐标形式把下列复数化为指数形式和极坐标形式。3040. 1jA26. 565. 9. 2jA解：解：9 .36e509 .36503040. 1jjA4 .151e99.104 .15199.1026. 565. 9. 2jjA例例把下列复数化为代数形

4、式把下列复数化为代数形式。解：解：例例1.0.8 30A2102.100jAe1.0.8 300.8cos300.8sin300.6930.4Ajj2102.100100cos210100sin21086.850jAejj 例例?2510475解解例例?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 解解(3.41j3.657)(9.063j4.226)原式12.47j0.56912.482.6119.24 27.97.211 56.3180.2j126.220.62 14.04原式180.2j126.26.728 70.16180.2j126.22.238j6.329182.5j132.5

5、225.5 368.2 8.2 正弦量正弦量一、正弦量一、正弦量电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。电路中按正弦规律变化的电压或电流，统称为正弦量。对正弦量的描述，可以用对正弦量的描述，可以用sine，也可以用，也可以用cosine。用相量法分析时，不要两者同时用相量法分析时，不要两者同时混用混用。本书用。本书用cosine。二、正弦量的三要素二、正弦量的三要素i+- -u)cos(imtIi瞬时值瞬时值表达式：表达式：瞬时值瞬时值最大值最大值初相位初相位最大值最大值角频率角频率初相位初相位 i = Imcos(t +)角频率角频率ImOit正弦交流电的正弦交流电的三要素三要素周期

6、周期 T ：变化一次所需要的时间（变化一次所需要的时间（s） 频率频率 f ：单位时间内内变化的周期数（单位时间内内变化的周期数（Hz） 角频率角频率 ： 每秒内正弦量转过的弧度。每秒内正弦量转过的弧度。T1f = =2(rad/s)T（变化快慢变化快慢） = 2fi2OtT如果热效应相当如果热效应相当 Wd = Wa 则则 I 是是 i 的有效值。的有效值。I =Im2U =Um2E =Em2正弦电量的有效值：正弦电量的有效值：RIRiWd = RI 2TWa = R i 2 dtT0e、i、uEm、Im、UmE、I、U瞬时值瞬时值tRiTRITd022 TtiTI02d1（变化大小变化大小

7、）最大值最大值有效值有效值任意瞬间的值任意瞬间的值瞬时值之中的最大值瞬时值之中的最大值注意注意: 的关系只适用正弦量的关系只适用正弦量IIm2 i = 10 cos（1 000 t +30）Au = 311sin（314 t45）V相位相位: t +相位相位初相位初相位（变化进程变化进程）相位差相位差: 同频率同频率的正弦电量的初相位之差。的正弦电量的初相位之差。 i = 100 cos（314 t + 30 ）A u = 311cos（314 t60 ）V =u i = 60 30 =90 初相位的取值范围是初相位的取值范围是: :00180180 初相位初相位: i = 30比较相位，要注

8、意比较相位，要注意: （1 1）同频率同频率（2 2）同函数同函数（3 3）同符号）同符号 ti O ti O ti O ti O 0 180180 0 = 0 = 180uuuuu 与与 i 同相位同相位u 超前于超前于 iu 滞后于滞后于 iu 与与 i 反相反相例例8-2 已知正弦电压的振幅为已知正弦电压的振幅为10伏伏,周期为周期为100ms,初相为初相为 /6。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。试写出正弦电压的函数表达式和画出波形图。rad/s 62.82010100223T解：先计算正弦电压的角频率解：先计算正弦电压的角频率 正弦电压的函数表达式为正弦电压的函数表达式为 V

9、)30 10cos(62.8)V6 20cos(10 ) cos()(umtttUtu 正弦电压波形如图所示。正弦电压波形如图所示。例例8-3 已知正弦电压已知正弦电压u(t)和电流和电流i1(t)，i2(t)的瞬时值表达式的瞬时值表达式 为为 A )60cos(10)(A )45cos(5)(V )180cos(311)(21ttittittu 试求电压试求电压u(t)与电流与电流i1(t)和和i2(t)的相位差。的相位差。135)45() 180( 电压电压 u(t)与电流与电流i2(t)的相位差为的相位差为 24060)180( 习惯上将相位差的范围控制在习惯上将相位差的范围控制在 -1

10、80到到+180之间，之间，我们不说电压我们不说电压u(t)与电流与电流i2(t)的相位差为的相位差为-240 ，而说电压，而说电压u(t)与电流与电流i2(t)的相位差为的相位差为(360 -240 )=120 。 解：电压解：电压u(t)与电流与电流i1(t)的相位差为的相位差为 A )60cos(10)(A )45cos(5)(V )180cos(311)(21ttittittu例例8-4：i = 10 sin(314t+30) A u= 5 cos(314t-150) V求电压和电流的相位差。求电压和电流的相位差。180)150(30i = 10 sin(314t+30) = 10 c

11、os(314t+30-90) = 10 cos(314t-60)90)150(60解：解：1. 1. 问题的提出问题的提出电路方程是微分方程：电路方程是微分方程：1SdiRiLidtudtCRLC+-uCiuS+-8.3 8.3 相量法的基础相量法的基础设：12 cos( )2 sin( )2 sin( )2cos( )iiiSuRItLItItCUt2cos( )SSuuUt2 cos( )iiIt则特解：结论（3 3）处于这种稳定状态的电路称为处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态正弦稳态电路，又可称电路，又可称正正弦电流电路弦电流电路。 （1 1）在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支

12、路在线性电路中，如果激励是正弦量，则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是的电压和电流的稳态响应将是同频同频正弦量。正弦量。 （2）如果电路有如果电路有多个激励多个激励且都是且都是同一频率同一频率的正弦量，则根的正弦量，则根据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应都将是据线性电路的叠加性质，电路全部稳态响应都将是同一频率同一频率的正弦量。的正弦量。（4）同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，）同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只需确定初相位和有效值。因此采用只需确定初相位和有效值。因此采用正弦量正弦量复数复数变换的思想变换的思想设一个复函数设一个复函数对对 F(t) 取实部取实部 任

13、意一个正弦时间函数都有唯一与其对应任意一个正弦时间函数都有唯一与其对应的复数函数。的复数函数。j( )2 cos( ) ( )2t iItF tIe2. 2. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示结论j( )( )2t F tIe2 cos( )j 2 sin( )ItItRe ( )2 cos( )( )F tIti tF(t) 包含了三要素包含了三要素：I、 、，复常数包含了两个要素：复常数包含了两个要素：I , 。F(t) 还可以写成还可以写成tteIeIetFjj22)(j复常数复常数正弦量对正弦量对应的相量应的相量 ) cos(2)(IItIti相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦

14、量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位注意正弦量的正弦量的振幅相量振幅相量imjmmIeIIi/（2）相量图）相量图+1+jOIi（1）定义：）定义：ijIIeIi/正弦量的正弦量的有效值相量有效值相量 ( )2 cos()jiiIIeIi tIt 令称为正弦量所对应的相量 2)tcos(I) t ( i II 2)tcos(U) t (u UU 在同一个电路中的正弦量形式要一致在同一个电路中的正弦量形式要一致如为余弦函数：如为余弦函数：如函数用最大值表示：如函数用最大值表示：( )cos()mi tIt )tcos(U) t (um mmII mmUU 由相量还原

15、正弦量时要注意是由相量还原正弦量时要注意是有效值有效值还是还是最大值最大值已知已知例例试用相量表示试用相量表示i, u 。解解例例试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解oo141.4cos(31430 )A311.1cos(314t60 )Vitu oo100 30 A, 22060 VIU 50 15 A, 50Hz .If已知，50 2cos(31415 ) Ait4. 4. 相量法的应用相量法的应用同频率正弦量的加减同频率正弦量的加减U21UUU相量关系为：相量关系为：结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。的加减运算。j 11

16、11j 2222( )2cos( )Re( 2)( )2cos( )Re( 2)ttu tUtU eu tUtU ejj1212jjj1212( ) ( )( )Re( 2)Re( 2) Re( 22)Re( 2()tttttu tu tu tU eU eU eU eUUe时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时域：在变量是时间函数条件下研究网络，以时间时间为为自自变量变量分析电路。分析电路。频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频域：在变量经过适当变换的条件下研究网络，以频率频率为为自变量自变量分析电路。分析电路。相量法：将正弦时间函数相量法：将正弦时间函数 “变换变换” 为相量后再

17、进行分析为相量后再进行分析, 属于属于频域频域分析。分析。i1 i2 = i33 2 1 III时域时域相量相量这实际上是一种这实际上是一种变换思想变换思想，由由时域量时域量变换到变换到相量相量“相量相量” 不同于不同于“向量向量”2、正弦量的微分、正弦量的微分)cos(2itIi设正弦电流设正弦电流对对 i 求导，有求导，有2RetjeIdtddtditjeIdtd2Redtdi)(2RetjeIj)(2Re)2/(itjIe)2/cos(2itI即表示即表示 di/dt 的相量为的相量为jI2/iI2、正弦量的微分、正弦量的微分)cos(2itIi设正弦电流设正弦电流对对 i 求导，有求导

18、，有2cos()2sin()iididItItdtdt 2cos()2iIt即表示即表示 di/dt 的相量为的相量为jI2/iI2 cos()iiIt2iII2=2=222iiiIIIIj3、正弦量的积分、正弦量的积分),cos(2itIi设则则idtdteItj2Re)2(RedteItj)(2RetjejI)2/cos(2itI即表示即表示 idt 的相量为的相量为jI2/iI例：例：已知已知A)3/314cos(2101tiA)6/5314cos(2222ti求：求：21ii 解：设解：设)cos(221itIiii其相量为其相量为iII/21III=10 /60 + 22 /-150

19、 =(5 + j8.66) + ( -19.05 - j11)= -14.05 - j2.34= 14.24 /-170.54 Ai = 14.24 cos(314t - 170.54 )A21. KCL：0)(1tiknk0)cos(21ikknktI01knkI时域时域:频域频域: 对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出对于任一集中参数电路，在任一时刻，流出（或流入）（或流入）任一节点的电流代数和等于零。任一节点的电流代数和等于零。以相量表示正弦量，有以相量表示正弦量，有 在正弦稳态电路中，在正弦稳态电路中，对于任一节点，流出（或流入）该对于任一节点，流出（或流入）该节点的电流相量代数和等

20、于零。节点的电流相量代数和等于零。8.4 8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式一一. 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式2、KVL：时域时域:0)(1tukmk0)cos(21ukkmktU频域频域:01kmkU 对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按对于任一集中参数电路，在任一时刻，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。一定绕行方向，其电压降的代数和等于零。以相量表示正弦量，有以相量表示正弦量，有 在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，在正弦稳态电路中，对任一回路，按一定绕行方向，其电压降相量的代数和等于零。其电压降相量的代数和等于零。1.

21、电阻电阻)cos(2)( tIti已知)cos(2)()( tRItRituR则uR(t)i(t)R+- -相量形式：相量形式： RIUIIR有效值关系：有效值关系：UR = RI相位关系：相位关系：u , i 同相同相相量模型相量模型R+- -RUI相量关系相量关系IRUR IU相量图相量图二、电阻、电感和电容元件的二、电阻、电感和电容元件的VCR相量形式相量形式频域频域有效值关系有效值关系 U= L I相位关系相位关系u 超前超前 i 90ILU jo0 IIj L相量模型相量模型+- -UIUI相量图相量图2. 电感电感i(t)u (t)L+- -时域模型时域模型时域时域tIticos2

22、)(od ( )( )d2sin2cos(90 )i tu tLtL ItL It tu, iu i0波形图波形图 电感元件的时域模型如图电感元件的时域模型如图 (a)所示，反映电压电流瞬时所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图值关系的波形图如图 (b)所示。由此可以看出所示。由此可以看出电感电压超前电感电压超前于电感电流于电感电流90，当电感电流由负值增加经过零点时，其，当电感电流由负值增加经过零点时，其电压达到正最大值。电压达到正最大值。感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) 感抗和频率成正比。感抗和频率成正比。 XLXL= U/I = L

23、= 2 f L， 单位单位: 欧姆欧姆感抗感抗; , ,; , 0 ),(0开路开路短路短路直流直流LLXX U= L I(3) 由于由于感抗的存在使电流落后电压。感抗的存在使电流落后电压。iuL IUL 错误的写法错误的写法频域频域有效值关系有效值关系相位关系相位关系i 超前超前u 901jUIC o0 UU时域时域tUtucos2)(od ( )( )d2sin2cos(90 )u ti tCtCUtCUt tu, iu i0波形图波形图3. 电容电容时域模型时域模型i (t)u(t)C+- -UI相量图相量图相量模型相量模型IU+- -Cj 11UIC 电容元件的时域模型如图电容元件的时

24、域模型如图(a)所示，反映电压电流瞬时所示，反映电压电流瞬时值关系的波形图如图值关系的波形图如图(b)所示。由此图可以看出所示。由此图可以看出电容电流超电容电流超前于电容电压前于电容电压90，当电容电压由负值增加经过零点时，当电容电压由负值增加经过零点时，其电流达到正最大值。其电流达到正最大值。容抗的物理意义：容抗的物理意义：(1) 表示限制电流的能力；表示限制电流的能力；(2) 容抗的绝对值和频率成反比。容抗的绝对值和频率成反比。容抗容抗C0, , ( ;, 0, ;CXX 直流开路 隔直作用)高频短路（旁路作用）I= CU(3) 由于由于容抗的存在使电流领先电压。容抗的存在使电流领先电压。

25、iuC 1IUC 1错误的写法错误的写法CIU 1CXC 1定义定义 CX j . 5CCCIU例例试判断下列表达式的正、误。试判断下列表达式的正、误。Liu . 1005 cos5 . 2timm j . 3CUILLL . 4IUXLL j . 6ILUtiCudd . 7UImUmmIUIUCj1L如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，如果受控源（线性）的控制电压或电流是正弦量，则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量。kU0kIjIjU4、受控源、受控源ku0kijijujkigujkIgU三三. . 电路的相量模型电路的相量模型 : :

26、时域列写微分方程时域列写微分方程相量形式代数方程相量形式代数方程RCLiiiRCLIIISdddutiCtiLCL1tiCiRCRd1Sj1UICILjCL CRICIR j1相量模型：电压、电流用相量模型：电压、电流用相量相量；元件用；元件用复数阻抗复数阻抗或或导纳导纳。LCRuSiLiCiR+- -时域电路时域电路12j LSULICIRIR+- -相量模型相量模型12Cj 1例例1：正弦电流源的电流，其有效值正弦电流源的电流，其有效值IS=5A，角频率，角频率=103rad/s， R=3，L=1H，C=1F。求电压。求电压uad和和ubd。Siabcdi+- - - -RuLuCu解：画

27、出所示电路相对应的相量形式表示的电路图解：画出所示电路相对应的相量形式表示的电路图SIabc+- - - -RULUCUdIRjLCj1设电路的电流相量为参考相量设电路的电流相量为参考相量SIabc+- - - -RULUCUdIRjLCj10/5SII即令IRURILjULICjUC1= 15 /0 V= 5000 / 90V= 5000 / - 90 VCLbdUUU0/15bdRadUUU= 00bdu15adu)10cos(23tV例例2：如图正弦稳态电路，已知交流电压表：如图正弦稳态电路，已知交流电压表V1读数为读数为60V，V2读数为读数为80V，求，求V读数。读数。解解:（1）相

28、量法求解相量法求解RLi假设以电流为参考相量，即设：假设以电流为参考相量，即设：0 (A)II 12: 600 (V) 8090 (V)VV 则则12: 6008090 (V) 608010053.1 (V)KVLVVVj 由由相相量量形形式式有有: | 100(V)V 故故（2）相量图解法相量图解法V-+V1V2+-+I 1V 2V V 6080100相量图解法相量图解法RRIRULLILjUCCICjU1相量法的三个基本公式相量法的三个基本公式以上公式是在电压、电流以上公式是在电压、电流关联关联参考方向的条件参考方向的条件 下得到的；下得到的；如果为如果为非关联非关联参考方向，则以上各式要

29、变号。参考方向，则以上各式要变号。以上公式以上公式 既包含电压和电流的既包含电压和电流的大小大小关系，关系，又包含电压和电流的又包含电压和电流的相位相位关系。关系。四、相量法注意点：四、相量法注意点：1. 同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；同频率的正弦量才能表示在同一个相量图中；2. 正角度按逆时针计；正角度按逆时针计；3. 应选定一个参考相量应选定一个参考相量(设初相位为零。设初相位为零。)选选 R为参考相量为参考相量URICUURLICILUj L1/j CULICIRIR+- -RU+- -+- - -LUCU例例3 电路如图电路如图(a)所示，已知所示，已知 2rad/s ,A

30、cos2)(,H2,3SttiLR 试求电压试求电压u1(t), u2(t), u(t)及其有效值相量及其有效值相量。 解：根据图解：根据图(a)所示电路的时域模型，画出图所示电路的时域模型，画出图(b)所示的相量所示的相量 模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同，模型，图中各电压电流参考方向均与时域模型相同， 仅将时域模型中各电压电流符号仅将时域模型中各电压电流符号 用相应的相量符号用相应的相量符号 表示，根据相表示，根据相 量形式的量形式的KCL求出电流相量求出电流相量 uuuii、21SUUUII、21S1A A01SII 由相量形式的由相量形式的VCR方程求出电压方程求出电压 V

31、904V4 j 0122 jjjV03013S2S1ILILUIRIRU(b) 根据相量形式的根据相量形式的KVL方程式得到方程式得到 V1 .5354 j321UUU 得到相应电压的瞬时值表达式得到相应电压的瞬时值表达式 V )1 .532cos(25)(V )902cos(24)(V 2cos23)(21ttuttuttu 相量图如图相量图如图(c)所示。由此图可以看出电压所示。由此图可以看出电压u(t)超前于超前于电流电流i(t)的角度为的角度为53.1。此例中，。此例中，U=5 U1+U2=3+4=7(c)例例4 电路如图电路如图 (a)所示所示,已知已知5rad/s , Vcos21

32、0)(, F1 . 0,4SttuCR解：画出图解：画出图(a)相量模型如图相量模型如图(b)所示。根据所示。根据RLC元件相量形元件相量形 式的式的VCR方程计算出电流相量。方程计算出电流相量。 A5 . 205 . 24010S1RUI 试求电流试求电流i1(t), i2(t), i(t)及其有效值相量。及其有效值相量。A905j5Aj20100.151j010j12CUIs 根据相量形式的根据相量形式的KCL方程得到方程得到 A4 .6359. 5j55 . 221III 得到电流的瞬时值表达式得到电流的瞬时值表达式 A 5cos25 . 2)(1ttiA )905cos(25)(2tt

33、iA )4 .635cos(259. 5)(tti 根据所求得的各电压电流相量画出相量图。根据所求得的各电压电流相量画出相量图。 由此图可以看出电流由此图可以看出电流i(t)超前于电压超前于电压uS(t)的角度为的角度为63.4。 此例中，此例中，I=5.59 I1+I2=2.5+5=7.5,再次说明正弦电流电再次说明正弦电流电路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等路中流出任一结点的全部电流有效值的代数和并不一定等于零。于零。 小结小结 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数 线线性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。性微分方程的特解，即可用来分析正弦稳态电路。N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图