高数同济六版bai-D1_5极限运算法则.ppt

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1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节极限运算法则目录 上页 下页 返回 结束 时, 有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当100 xx时 , 有2, 02当200 xx时 , 有2取则当00 xx22因此.0)(lim0 xx这说明当0 xx 时,为无穷小量 .目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限

2、个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，1211lim222nnnnnn1( P57 题 4 (2) )解答见课件第二节解答见课件第二节 例例5类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设, ),(10 xUxMu 又设,0lim0 xx即,0,02当),(20 xUx时, 有M取,min21则当),(0 xUx时 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .目录 上

3、页 下页 返回 结束 例例1. 求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxx说明说明 : y = 0 是xxysin的渐近线 .Oxyxxysin目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf则有BxgAxf)(,)(其中,为无穷小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是无穷小, 再利用极限与无穷小BA的关系定理 , 知定理结论成立 .定理定理 3 .

4、若目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA( P46 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 4 . 若,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .说明说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .nnxfxf

5、)(lim)(lim( n 为正整数 )例例2. 设 n 次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小(详见书详见书P44)B2B1)(1xg)(0 xUx定理定理 5 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因,)(lim,)(limBxgAxf有,)(,)(BxgAxf其中,设BAxgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA由极限与无穷小关

6、系定理 , 得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(因此 为无穷小, 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6 . 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多项式 ,0)(0 xQ试证: . )()(lim00

7、xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时,3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: ,分子时x.分母22111125934limxxxx

8、x分子分母同除以,2x则54“ 抓大头抓大头”原式目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数 )nmba,0(00mn 当( 如如 P47 例例5 )( 如如 P47 例例6 )( 如如 P47 例例7 )mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当目录 上页 下页 返回 结束 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当au0时,

9、 有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当200 xx时, 有ax)(对上述取,min21则当00 xx时ax )(au 故0Axf)(Auf)(,因此式成立.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 设,)(lim0axxx且 x 满足100 xx时,)(ax 又,)(limAufau则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求解解: 令.93lim23xxx932xxu, 仿照例4ux3lim6131lim3xx 原式 =uu61l

10、im6166( 见见P34 例例5 )例4目录 上页 下页 返回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 要求分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分

11、子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问目录 上页 下页 返回 结束 3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21

12、解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数 a 使.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此目录 上页 下页 返回 结束 432lim23xkxxx5. 若.432lim23xkxxx解解 :43a4)(lim3)(3(lim33axxaxxxx故1a因此求K的值。3k目录 上页 下页 返回 结束 6. 若.0)11(lim2baxxxx解解 :0, 01baa01)1 ()()1 (lim2xbxbaxax故1a因此求a,b的值。1b0)11(lim2baxxxx目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P49 1 (5)，(7)，(9)，(12)，(14) 2 (1)，(3) 3 (1) 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim230 xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23