72 偏导数资料整理-精品文档.ppt

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1、返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五1第二节第二节 偏导数偏导数 第七章第七章 (Partial Derivative)一、偏导数的定义及其计算方法一、偏导数的定义及其计算方法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小结与思考练习三、小结与思考练习返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五2一、偏导数定义及其计算方法一、偏导数定义及其计算方法 在一元函数中曾从研究函数的变化率引入了导数的概念， 对于多元函数也常常需要研究它的变化率. 由于多元函数的自变量不止一个， 变化率也就会出现也就会出现各种不同的情况； 就二元函数z = f (x, y)而言， 当点(x, y

2、)沿各种不同的方向变动趋向于(x0, y0)时一般有不同的变化率. 我们讨论当沿着平行于x 轴或y轴方向变动 （即一个自变量变化，而另一个自变量固定不变）时函数的变化率. 此时，它们就是一元函数的变化率. 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五3),(yxfz 在点), (), (lim000yfyfx存在,00( , )(,)xzf x yxy在点对的偏导数，记为;),(00yxxz),(00yx的某邻域内;),(00yxxfxx00 x则称此极限为函数极限设函数)(0 xf)()(00 xfxxfx0limxx; ),(00yxfx;),(00yxxz0ddxxxy.

3、),(001yxf xyxfyxxfx),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx),(00yxfx注意注意:定义定义1返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五40),(dd0yyyxfy lim0y),(00yxfy若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x,xzxfxz则该偏导数称为偏导函数, 也简称为偏导数偏导数 ,),(, ),(1yxfyxfx),(, ),(2yxfyxfy) ,(0 xf),(0 xfy记为yy00y或 y 偏导数存在 ,yzyfyz同样可定义对 y 的偏导数返回返回上页上页下页下页目录目

4、录2022年7月15日星期五5223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例1 求返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五6),(zyxfx例如例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为(请自己写出请自己写出)偏

5、导数的概念可以推广到二元以上的函数 .返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五7偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求设设例例如如 有关偏导数的几点说明：有关偏导数的几点说明：、 求分界点、不连续点处的偏导数要用求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；定义求；解解xxfxx0|0|lim)0 , 0(00 ).0 , 0(yf 返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五800),(dd00 xxyxfxxfxxyy0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxf

6、yyfxxyy是曲线0),(xxyxfzyTM0在点 M0 处的切线对 x 轴的斜率.在点M0 处的切线斜率.是曲线yxz0 xyToxT0y0M对 y 轴的二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五9函数在某点各偏导数都存在,显然例如例如, ,0,00,),(222222yxyxyxyxyxfz0)0,(dd)0, 0(xxfxfx0), 0(dd)0, 0(yyfyfy00但在该点不一定连续不一定连续.在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!注意：注意：返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日

7、星期五10,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五11不能不能.,),(22yxyxf 在在)0 , 0(处处连连续续,但但 )0 , 0()0 , 0(yxff 不存在不存在.例如例如,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五12223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx

8、 yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz例例1 求返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五13解解:所以2111dd(1,0)( ,0)(ln )(2 ln)1ddxxxxff xxxxxxxx2111dd(1,0)( ,0)(ln )(2 ln)1ddxxxxff xxxxxxxx2111dd(1,0)( ,0)(ln )(2 ln)1ddxxxxff xxxxxxxx返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五14例例3 求222zyxr的偏导数. 解解:xryr2222zyx

9、x2rxrzzr,ry例例4 设，）且1, 0(xxxzy求证zyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 yyxx yz,1yxyxxylnz2返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五15偏导数记号是一个求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作分子与分母的商 !此例表明,整体记号,例例5 已知理想气体的状态方程返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五16二、高阶偏导数二、高阶偏导数设 z = f (x , y)在域 D 内存在偏

10、导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx若这两个偏导数仍存在偏导数，)(xz)(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导22xz);,(yxfxxyxz2),(yxfyx);,(2yxfxyzxyx数:返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五17例如，例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于 x 的 n 1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶) (yyxznn1偏导数为11nnxz类似可以定义更

11、高阶的偏导数.返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五18yxe22yxez2.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立.yxe2yxe22yxe2yxe22yxe22yxe24的二阶偏导数及 （补充题）（补充题）例例6 求函数返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五190,)(4222224224yxyxyyxxxyfyfxxy)0, 0(), 0(lim0),(yxfy),(yxfx)0 , 0(yxfxfxffyyxxy)0, 0()0,(lim)

12、0 , 0(0二者不等二者不等yyy0lim1xxx0lim1),(yxf0, 022 yx0,)(4222224224yxyxyyxxy0,022 yx0,222222yxyxyxyx0, 022 yx例如例如,返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五20,),()()(00连续都在点和若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx则例如例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyy

13、zx当三阶混合偏导数在点 (x , y , z) 连续连续时, 有(证明略证明略) 定理定理返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五21222,1zyxrru满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性 , 有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0例例6 证明函数返回返回上页上页下页下页目录目录2022年7月15日星期五22内容小结内容小结1. 偏导数的概念及有关结论偏导数的概念及有关结论 定义; 记号; 几何意义 函数在一点偏导数存在函数在此点连续 混合偏导数连续与求导顺序无关2. 偏导数的计算方法偏导数的计算方法 求一点处偏导数的方法先代后求先求后代利用定义 求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)