02 平面问题的基本理论(1-3).pptx

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1、第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答第五章第五章 用差分法和变分法解平面问题用差分法和变分法解平面问题目目 录录第二章第二章 平面平面问题的基本理论问题的基本理论平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平衡微分方程平衡微分方程平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态几何方程几何方程 刚体位移刚体位移物理方程物理方程边界条件边界条件圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用按位移求解平面问题按位移求解平面问题按应力求解平面问题按应力求

2、解平面问题 相容方程相容方程常体力情况下的简化常体力情况下的简化 应力函数应力函数第二章第二章 平面平面问题的基本理论问题的基本理论第二章第二章 平面平面问题的基本理论问题的基本理论平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平衡微分方程平衡微分方程平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态几何方程几何方程 刚体位移刚体位移物理方程物理方程2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题1. 平面应力问题平面应力问题如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题1. 平面应力

3、问题平面应力问题xyyztba(1) 几何特征几何特征一个方向的尺寸比另两个一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。方向的尺寸小得多。 平板平板btat ,(2) 受力特征受力特征外力外力（体力、面力）和（体力、面力）和约束约束，仅，仅平行于板面作用平行于板面作用，沿沿 z 方向不变化。方向不变化。2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题xyyztba(3) 应力特征应力特征如图选取坐标系，以板的中如图选取坐标系，以板的中面为面为xy 平面，垂直于中面的任平面，垂直于中面的任一直线为一直线为 z 轴。轴。由于板面上不受力，有由于板面上不受力，有02tzz02tzzx 02t

4、zzy因板很薄，且外力因板很薄，且外力沿沿 z 轴方向不变。轴方向不变。0z0zx可认为可认为整个薄板整个薄板的各点的各点都有：都有：0zy由剪应力互等定理，有由剪应力互等定理，有0yzzy0 xzzx结论：结论： 平面应力问题只有三个应力分量：平面应力问题只有三个应力分量：),( yxxyyxxy),( yxxx),( yxyyxyxyxyxyxyyxxy应变分量、位移分量也仅为应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与的函数，与 z 无关。无关。2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题2. 平面应变问题平面应变问题(1) 几何特征几何特征一个方向的尺寸比另两个一个方向

5、的尺寸比另两个方向的尺寸方向的尺寸大得多大得多，且，且沿长度沿长度方向几何形状和尺寸不变化方向几何形状和尺寸不变化。水坝水坝滚柱滚柱厚壁圆筒厚壁圆筒 近似认为无限长近似认为无限长2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题(2) 外力特征外力特征外力外力（体力、面力）（体力、面力）平行于横截面作用平行于横截面作用，且，且沿长度沿长度 z 方向方向不变化不变化。约束约束 沿长度沿长度 z 方向不变化。方向不变化。(3) 变形特征变形特征 如图建立坐标系：以任一横截面为如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为面，任一纵线为 z 轴。轴。 设设 z方向为无限方向为无限长，

6、长，则则水坝水坝, u,x,x沿沿 z 方向都不变化，方向都不变化，仅为仅为 x，y 的函数。的函数。 任一横截面均可视为任一横截面均可视为对称面。对称面。2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题水坝水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有因为任一横截面均可视为对称面，则有0w所有各点的位移矢量都平行于所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。平面。 平面位移问题平面位移问题0z0yzzy0 xzzx),(yxyy),(yxxx),(yxxyyxxy 平面应变问题平面应变问题注：注：(1)平面应变问题中平面应变问题中0z但是，但是，0z()zxy (2)平面应变问题中应力分量

7、：平面应变问题中应力分量：) 0(,zyzxxyzyx 仅为仅为 x y 的函数。的函数。可近似为平面应变问题的例子：可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题如图所示三种情形，是否都属如图所示三种情形，是否都属平面问平面问题题？是？是平面应力问题平面应力问题还是还是平面应变问题平面应变问题？平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题非平面问题非平面问题2-1 平面应力平面应力问题与平面应变问题问题与平面应变问题3. 平面问题的求解平面问题的求解问题：问题

8、： 已知：外力（体力、面力）、边界条件，已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：求：xyyx,xyyx,vu, 仅为仅为 x y 的函数的函数需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：（2）几何学关系：）几何学关系：（3）物理学关系：）物理学关系：形变与应力间的关系。形变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应力与体力、面力间的关系；形变与位移间的关系；形变与位移间的关系；建立边界条件：建立边界条件： 平衡微分方程平衡微分方程 几何方程几何方程 物理方程物理方程（1）应力边界条件；）应力边界条件；（2）位移边界条件；）位移边界条件；第二章第二章 平面平面问

9、题的基本理论问题的基本理论平面应力问题与平面应变问题平面应力问题与平面应变问题平衡微分方程平衡微分方程平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态几何方程几何方程 刚体位移刚体位移物理方程物理方程2-2 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyO取微元体取微元体PABC（P点附近），点附近），xPA dyPB dDfxfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyydZ 方向取单位长度。方向取单位长度。设设P点应力已知：点应力已知：yxxyyx,体力：体力：fx ， fyAC面：面：222)(d! 21dxxxxxxxyyyxyxd222)(d! 21dxxxxxyxyxyxxx

10、xdBC面：面：xxxyxydyyyyd 注注: 这里这里用了小变形假定，以变形前用了小变形假定，以变形前的尺寸代替变形后尺寸。的尺寸代替变形后尺寸。2-2 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyODfxfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyd由微元体由微元体PABC平衡，得平衡，得0DM2d1d2d1d)d(xyxyxxxyxyxy02d1d2d1d)d(yxyxyyyxyxyx整理得：整理得：yyxxyxyxxyxyd21d21当当0, 0 dydx时，有时，有yxxy 剪应力互等定理剪应力互等定理2-2 平衡微分方程平衡微分方程0 xFxyxyxyPBACxyODf

11、xfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyd1d1d)d(yyxxxxx1d1d)d(xxyyyxyxyx01ddyxfx两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0 xyxxfyx0yF1d)d(1d1d)d(xyxxxyyxyxyyyy01dd1dyxfyyxy两边同除以两边同除以dx dy，并整理得：，并整理得：0yxyyfxy2-2 平衡微分方程平衡微分方程xyxyxyPBACxyODfxfyyyyxyxdxxxyxydxxxxdyyyyd平面问题的平衡微分方程：平面问题的平衡微分方程：00yyxyxyxxfyxfyx（2-2）说明：说明：（1）两个平衡微分方程，

12、三个未知量：）两个平衡微分方程，三个未知量：yxxyyx, 超静定问题，需找补充方程才能求解。超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，方向的平衡方程相同，z方向自成平方向自成平衡，上述方程衡，上述方程两类平面问题均适用两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关方程与材料性质无关（钢、石料、混（钢、石料、混凝土等）；凝土等）；（4）平衡方程对）平衡方程对整个弹性体内都满足整个弹性体内都满足，包括边界。，包括边界。第二章第二章 平面平面问题的基本理论问题的基本理论平面应力问题与平面应变问题平面应力

13、问题与平面应变问题平衡微分方程平衡微分方程平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态几何方程几何方程 刚体位移刚体位移物理方程物理方程2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态1. 斜面上的应力斜面上的应力（1）斜面上应力在坐标方向的）斜面上应力在坐标方向的分量分量px，pyxyOdxdydsPABspxpynyxxyxy设设P点的应力分量已知：点的应力分量已知：yxxyyx,斜面斜面AB上的应力矢量上的应力矢量: s 斜面斜面外法线外法线N的的关于坐标轴的方向余弦：关于坐标轴的方向余弦： myN,coslxN,coslsyddmsxdd由微元体平衡：由微元体平衡： , 0

14、 xF02dd1d1d1dsmslfspyxyyxyy02dd1d1d1dsmslfspxyxxyxx整理得：整理得： xyyylmp01d1d1dspmslsxyxxyxxxmlp, 0yF整理得：整理得： 外法线外法线 fxfy01d1d1dsplsmsyxyy2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态xyOdxdydsPABspxpynyxxyxy外法线外法线 fxfy（2）斜面上的正应力与剪应力）斜面上的正应力与剪应力xyyyyxxxlmpmlpnnxynmplp yxnmplp xyyyxxnlmmmllxyyxnlmml222yxxxyynmlmlmlyxxynmll

15、m22yxxynxyyxnmllmlmml22222 任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态xyOdxdydsPABspxpynyxxyxy外法线外法线 fxfynnyxxynxyyxnmllmlmml22222 任意斜截面上应力计算公式任意斜截面上应力计算公式说明：说明：（1）运用了剪应力互等定理：）运用了剪应力互等定理：yxxy（2） 的正负号规定：的正负号规定：n 将将 N 转动转动90而到达而到达 的方向是顺时针的，的方向是顺时针的，则该则该 为正；反之为负。为正；反之为负。nn（3）若）若AB面为物体的边界面为物体的边

16、界S，则，则yyfp xxfp ysxysyxsxysxflmfml)()()()( 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件xyyyyxxxlmpmlp2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态xyOdxdydsPABspxpynyxxyxy外法线外法线 fxfynnxyyyyxxxlmpmlpxynyxnmplpmplp2. 一点的主应力与应力主向一点的主应力与应力主向(1) 主应力主应力 若某一斜面上若某一斜面上 ，则该斜面上，则该斜面上的正应力的正应力 称为该点称为该点一个主应力一个主应力 ；0nn当当 时时，有，有0nsnmplpyxmlmxyylmlyxx求解得：

17、求解得：yyxlmyxxlm0)()(22xyyxyx222122xyyxyx 平面应力状态平面应力状态主应力的计算公式主应力的计算公式2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态xyOdxdydsPABspxpynyxxyxy外法线外法线 fxfynnxyyyyxxxlmpmlpxynyxnmplpmplp222122xyyxyx由由上上式易得式易得：yx21I 平面应力状态应力平面应力状态应力第一不变量第一不变量（2）应力主向）应力主向主应力主应力 所在的平面所在的平面 称为称为主平面主平面；主应力主应力 所在所在平面的法线方向平面的法线方向 称为称为应力主向应力主向；2-3

18、平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态 设设1 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则，则yxxyyxlmlm1111111cos)90cos(cossintanlmxyx1)(1yxy或2222222cos)90cos(cossintanlm)(2yxy或xyx2 设设2 与与 x 轴的夹角为轴的夹角为2， 2与与坐标轴正向的方向余弦为坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则则2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态应力主向的计算公式：应力主向的计算公式：yxyxyx2211tan,tan 由由yx21得

19、得)(12xyxxy12tan1tantan21显然有显然有表明：表明：1与与 2互相互相垂直垂直。结论结论：任一点任一点P，一定存在，一定存在两互相两互相垂直的主应力垂直的主应力1、2 。2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态（3）n的的主应力表示主应力表示xyOsNN2dxdydsPABn1由由xyyxnlmml222xyxynmllm)()(222212mln)(12lmn2212)(l1与与 2分别分别为为最大和最小应力最大和最小应力。（4）最大、最小剪应力）最大、最小剪应力由由)(12lmn)1 (2lm122ml)(21411222ln)(1122lln)(124

20、2lln2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态xyOsNN2dxdydsPABn1（4）最大、最小剪应力）最大、最小剪应力由由)(12lmn)1 (2lm122ml)(21411222ln显然，当显然，当)21(0212ll时，时，n为为最大、最小值最大、最小值：221minmax由由21l得，得，max、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成）成45。2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态小结：小结：xyyyyxxxlmpmlpxyxynxyyxnmllmlmml)()(22222)()(1222122212lmlmlNn（1）斜面上的应力）斜面上的应力ysxysyxsxysxflmfml)()()()( 平面问题的应力边界条件平面问题的应力边界条件2-3 平面平面问题中一点的问题中一点的应力状态应力状态小结：小结：（2）一点的主应力、应力主向、最大最小应力）一点的主应力、应力主向、最大最小应力表明：表明：1 与与 2 互相互相垂直。垂直。222122xyyxyxyxyxyx2211tantan221minmaxmax、 min 的方向与的方向与1 （ 2 ）成）成45。