高数必不挂-第五讲 定积分内容提要与典型例题.ppt

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1、第五讲第五讲 定积分定积分内容提要与典型例题内容提要与典型例题一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分的性质的性质牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 定积分的定积分的计算法计算法二、内容提要 1 定积分的定义定积分的定义定义的实质定义的实质 几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个可积的两个条件条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(可加

2、性可加性 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(若若0)( xf， 则则0)( dxxfba )(ba 非负性非负性比较定理比较定理 若若)()(xgxf ， 则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 估值定理估值定理 )(xf在在区区间间, ba 上上的的最最大大值值及及最最小小值值， )()()(abMdxxfabmba . 积分中值定理积分中值定理如如果果函函数数)(xf在在闭闭区区间间, ba上上连连续续， 使使dxxfba )()(abf )(ba 积分中值公式积分中值公式若若M 和和 m 是是积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 如如果果)(xf在在,b

3、a上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有导导数数，且且它它的的导导数数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数. .)()(babaxFdxxf 牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法（1）换元法）换元法 dtttfdxxfba )()()(换元积分公式换元积分公式（2）分部积分法）分部积分法 bababavduuvudv分部积分公式分部积分公式微积分基本

4、公式微积分基本公式 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分 badxxf)( badxxf )(lim0 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)( cadxxf)(lim0 bcdxxf )(lim0三、典型例题三、典型例题例例求极限（求极限（1）111lim12nnnnn解解1111lim12111nInnnnnnninin111lim1 1010)1l

5、n(11xdxx 2ln 解解)21ln(1limnnnnnIn nninin1)ln(lim1 101lnxdxnnnn!lnlim)2( 练习练习: 求极限).21(lim22222nnnnnnnn解：解： 原式nn1limnini12)(11xxd111024如果能把数列的通项写成如果能把数列的通项写成)1(1)(111 nininifnnifn或的形式，的形式，就可以利用就可以利用)(1lim1 ninnifn或或)1(1lim1 ninnifn把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 10( )f x dx的计算问题的计算问题.与数列的极限有着密切联系。与数列的极限有着密

6、切联系。由以上两例可见，连续函数由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分的定积分例例 证明.2d222042exeexx证证: 令,)(2xxexf则xxexxf2) 12()(令,0)( xf得,21x, 1)0(f,1)(421ef2)2(ef,1)(min42,0exf22,0)(maxexf故22042d22exeexx例解 . d)1 (arcsin 43 41 xxxx计算 dcossin2d sin arcsin 2，则令tttxtxtx 3 6 : 43 41 : ，故时，且tx )sin1 (sin dcossin2 d)1 (arcsin 3 6 2243 41

7、ttttttxxxx3 6 d 2tt362 t12 2例例. 求.d12ln02xex解解: 令,sintex则,sinlntx,dsincosdtttx原式ttttdsincoscos62tttdsinsin1262tttd)sin(csc26coscotcsclnttt6223)32(ln例例. 求.d2sin120 xxI解解:xxxId)cos(sin202xxxdcossin20 xxxd)sin(cos40 xxxd)cos(sin24cossinxx04sincosxx42) 12(22yox4xsinxcos.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxx

8、xx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例 例例. 设,d)(022yexfxyy解解: .d)() 1(102xxfx求xxfxd)() 1(102013)() 1(31xfxxxfxd)() 1(31103xexxxd) 1(31102322101) 1(2) 1d() 1(612xexx) 1(2 xu令10d6ueueu01) 1(6ueue)2(61e例例设设 0)0(, 0)0(,)( ffxf连连续续求求20200( )( )limxxxf t dtxf t dt解解 xxxfxdttfxxxfI0220)()(

9、2)(2lim xxxxfdttfxf020)()(2)(2lim)()(3)(4lim20 xfxxfxfxx )(0)0()(3)(4lim20 xfxfxfxfx 1)0()0(3)0(4 fff1sinlim020 xbxdttatxx这是这是 型未定式的极限型未定式的极限解解由由LHospital法则法则1)cos(lim20 xaxbxIx0lim20 xx0)cos(lim0 xaxbx0) 1( ab00a = 0 或或 b =1将将 a = 0 代入知不合题意代入知不合题意, 故故 b =1.4, 12)cos1(lim20 aaxaxxx例例 试确定试确定 a , b 的值

10、使的值使19例例已知两曲线已知两曲线 0d)(2teyxfyt与与在点在点)0 , 0(处的切线相同处的切线相同,写出此切线方程写出此切线方程,并求极限并求极限).2(limnnfn 解解0 x, 1 故所求切线方程为故所求切线方程为.xy )2(limnnfn nlim)2(nf0)0( f)0(f n22)0(2 f . 2 )(xfxarctane21x 2)(arctan x 0例例设( )f x在0,1上是单调递减的连续函数， 试证1 ,0q都有不等式100( )d( )dqf xxqf xx证明证明：显然1,0qq时结论成立.(用积分中值定理)0( )dqf xx10( )dqf

11、xx0(1)( )dqqf xx1( )dqqf xx(1)q)(1fqq)()1 (2fq 10, q2 ,1q10 q当时,12(1) ( )()qqff0故所给不等式成立 .明对于任何例例 设设 f ( x ) 在在 0,1 上连续，且满足条件上连续，且满足条件120(1)2( )fxf x dx(0,1),( )( )0ff证明：存在使得 110( )( ),(1)(1)2( )( )F xxf xFfxf x dxF提示：设有 例例 设设 f ( x ) 在在 a,b 上连续，且上连续，且 0f x 证明：方程证明：方程 10 xxabf x dxdxf x有且只有一个根。有且只有一

12、个根。 1( )xxabF xf x dxdxf x提示：设例例 设设 f ( x ) , g ( x ) 在在 a , b 上连续，证明上连续，证明 badxxfgdxxgfba )()()()(),(使使证证关键在于作出辅助函数关键在于作出辅助函数 F(x)x换成换成将将 bxxadttfxgdttgxf)()()()( bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(如如令令则则 F(a)、F(b) 的符号不易判别，得不出结论的符号不易判别，得不出结论 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(令令故故( )( )( )xbaxF xf t dtg t dt故则则

13、F ( x ) 在在 a , b 上连续，在上连续，在 ( a , b ) 内可导内可导且且F ( a ) = F ( b ) = 0由由 Rolle 定理知：定理知：0)(),( Fba使使 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(令令故故 bxxadttfxgdttgxfxF)()()()()(而而dxxfgdxxgfab )()()()( 辅助函数法辅助函数法证明定积分等式证明定积分等式主主要适用于证明在积分限中至少存在一点要适用于证明在积分限中至少存在一点 使等式成立的命题。使等式成立的命题。cx 或或或或0 xcx换成换成或或或或将将0 移项使一端为移项使一端为 0另

14、一端即为另一端即为)()(xFxF 或或验证验证 F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理 注：注： 例例. 设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 . 0)( xf:,)2(lim证明存在若axaxfax(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 )(2d)(22fxxfabba证证: (1) ,)2(lim存在axaxfax,0)2(limaxfax由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. ，又0)( xf所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 ),(, 0)()(bax

15、afxf)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa即 )(2d)(22fttfabba(2) 设)(d)()(,)(2bxaxxfxgxxFxa, 0)()(xfxg则)(),(xgxF故满足柯西中值定理条件, 于是存在 使),(baaabattfttfabagbgaFbFd)(d)()()()()(22xxattfxd)()(2)(xf例例. 设, ,)(baCxf证证: 设且试证 :,0)(xf2)()(dd)(abxfxxxfbabattfxFxad)()(xatft)(d则)(xF)(1xf)(2axxa)(tf)(tftd2ttfxftfxfxad)()()()(20)(,xfax0故 F(x) 单调不减 ,0)()(aFbF即原等式成立.)(xf)(xfxattfd)(xatft)(d2)(ax