§4-3__分部积分法.ppt

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1、14.3 分部积分法分部积分法分部积分公式分部积分公式例例 题题小结小结 作业作业integration by parts第四章第四章 不定积分不定积分2 xxexd解决思路解决思路 利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.vuvuuv )(vuuvvu )( xvu d vud分部积分公式分部积分公式 xxdarcsin特点特点 被积函数是两个不同函数的乘积被积函数是两个不同函数的乘积)()(xvvxuu 及及设函数设函数具有连续导数具有连续导数.uv xvu d uvuvd 两边积分两边积分一、一、分部积分公式分部积分公式 xxxdln3 恰当选取恰当选取u和和dv是一个关键

2、是一个关键,v要易求要易求;uvuvvudd 分部积分公式分部积分公式选取选取u和和dv的一般原则是的一般原则是: uvd(1)(2) vud比比易求易求.分部积分法分部积分法4,cos xu 例例 求求.dcos xxx解解 xxxdcos xxcos22显然显然,vu d,xu xxvdcosd xxxdcosxxsin Cxxx cossin法一法一法二法二,ddxxv 二、例二、例 题题,22xv ,ddxu xvsin xxdsin xxxdsin22选择不当选择不当, 积分更难进行积分更难进行.,dsindxxu uvuvvudd 5例例 求求.d2 xexx解解,2xu xevx

3、dd xexxd2 xex2Cexeexxxx )(22（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）, xu xevxdd ,d2dxxu xev xxexd2uvuvvudd 分部积分法分部积分法6例例 求求.darctan xxx解解,arctanxu 22xv xxxdarctan xxarctan22 xxarctan22Cxxxx )arctan(21arctan22,d11d2xxu xxvdd xxxd11222 xxd)111(212 ,xu xxvdarctand ,ddxu vuvuvvudd 7例例 求求.dln3 xxx解解,ln xu xxvdd3 xxxdln3 x

4、x ln414Cxxx 44161ln4144xv xxud1d 化简型化简型 xx d413分部积分法分部积分法uvuvvudd 8例例 求求.dcoscosln2xxx解解: 令令,coslnxu xv2cos1, 则则,tan xuxvtan原式原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan9例例 求求.dsin xxex解解 xxexdsin xexdsin xexsin xxexexxdcossin xxexxedcossin xexsin xxexxexxdsin)cos(sin xxexdsinCxxe

5、x )cos(sin2注意循环形式注意循环形式uudv )(sindxexu )cosdcos(xexexxudv 应用分部积分法时应用分部积分法时,可不明显地写出如何选可不明显地写出如何选取取u、dv,而直接套用公式而直接套用公式.(对较简单的情况对较简单的情况)10,d)cos(,d)sin(xbaxexbaxekxkx 均为常数均为常数其中其中bak,的选取可随意的选取可随意vu d,注意前后几次所选的注意前后几次所选的 应为同类型函数应为同类型函数.u分部积分法分部积分法11 例例 例例 例 4 dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222Cxxxxdxxx22241ln

6、2121ln21dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222dxxxxxxdxxdxx121ln21ln21ln222 Cxxxxdxxx22241ln2121ln21 例 5 xxdxxxdxarccosarccosarccosdxxxxx211arccos )1 ()1 (21arccos2212xdxxx Cxxx21arccos xxdxxxdxarccosarccosarccosxxdxxxdxarccosarccosarccos uvuvvudd 问：如何求 ？ ln xdx12 使用分部积分法的关键是正确地选

7、取使用分部积分法的关键是正确地选取 (因为因为“幂指三幂指三”好积好积, 分部积分法分部积分法把被积函数视为两个函数的乘积把被积函数视为两个函数的乘积, ,按按“反对幂指三反对幂指三”的顺序的顺序, ,前者为前者为 ,u.dv后者为后者为常用的方法常用的方法:自己简单自己简单.)小结小结,u.dv “反对反对”的导数比它的导数比它13有时在用分部积分之前有时在用分部积分之前, 须先变形须先变形.例例 求求 xxxdtan2解解xxxxdxxd )1(sectan22 xxxxxddsec2 xxxxdtand xxxxxxddtantanCxxxx 2coslntan2uvd14 解解 因为因

8、为 例例 例 8 求xdx3sec xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xdxxxx2tansectansec dxxxxx) 1(secsectansec2 xdxxdxxxsecsectansec3 xdxxxxx3sec|tansec|lntansec 所以 xdx3secCxxxx|)tansec|lntan(sec21 xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23xxdxdxxxdxtansecsecsecsec23 1515dvu 利用分部积分法可以得到一些递推公式利用分部积分法可以得到一些递推公式:例例 试证递推公式试证递推公式 nnnaxxnanax

9、xnaaxx)(d212)(21)(d222222122), 2 , 1( n 证证,d)(122xaxInn 设设由分部积分法得由分部积分法得xaxxnxaxxInnnd)(2)()(12222 1616xaxxnaxxInnnd)(2)(122222 xaxnaxxnnd)(2)(12222 naxx)(222x naxx)(22由此推出由此推出nnnInanaxxnaI22221212)(21 ）, 2 , 1( n nnI2122 nIna2a 2a xaxnnd)(1222xaxnand)(121222 1717 利用这个递推公式及公式利用这个递推公式及公式CaxaxaxI arct

10、an1d1221nnnInanaxxnaI22221212)(21 .nI就可以求出每个积分就可以求出每个积分xaxId)(12222 ）, 2 , 1( n 递推型递推型如如 22221axxaCaxa arctan2121 n递推型递推型xxxxnndcos,dsin 如如 递推公式递推公式,虽然积分没有具体求出来虽然积分没有具体求出来,但每但每用一次公式用一次公式n就降低一次至两次就降低一次至两次,连续应用连续应用.18)(sinNnxdxn 解解xdxxdxnncossinsin1 xdxnxxxnn221sin)1(coscossin xdxnxxnn21sin)1(cossin x

11、dxnnsin)1( xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sin若设若设 xdxInnsin则上述计算公式可表为则上述计算公式可表为211cossin1 nnnInnxxnI递推公式递推公式19例例dxeexx arctan解解:先换元再分部先换元再分部令令xeu dxeexx arctanduuuu 1arctan )1(arctanuudduuuuu2111arctan1 换元与分部的混合应用换元与分部的混合应用20 duuuuuu11arctan12Cuuuu )1ln(21lnarctan12Cexeexxx )1ln(21arctan2解二解二直接分部积分直接分部积

12、分dxeexx arctan xxdeearctandxeeeeexxxxx21arctan 21dxeeexxx 211arctan对对 dxex211分子分母同乘以分子分母同乘以xe dxex211dxeeexxx )1(2令令xeu duuu )1(12)1ln(21ln2uu 2222例例 求求xxId)ln(sin解解: 令令,lnxt 则则texexttdd,tteItdsinttetettdcossinIttet)cos(sinCtteIt)cos(sin21Cxxx)cos(ln)sin(ln21注注:此题直接进行分部求积也行。此题直接进行分部求积也行。2323 解法一解法一

13、于是于是 解法二解法二 例例 例 10 求dxex 令令 则则 x t2 dx 2tdt dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22xdexxdedxexxx2)(2xdeexdexxxx222CxeCeexxxx) 1(222dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22dxexCxeCtedttextt) 1(2) 1(22 xdexxdedxexxx2)(2xdexxdedxexxx2)(2 xdeexdexxxx222 CxeCeexxxx) 1(222 xt24解解分子分母同乘以分子分母同乘以xedxxe

14、xxx )1(1dxxexeexxxx )1()1(令令xxet dttt)1(1Ctt )1ln(lnCxexxx )1ln(ln例例dxxexxx )1(1分析分析需要将需要将xxe作为整体来考虑作为整体来考虑25例例 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 26dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx

15、21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 27解解 . 1 d xxexxe计算 1d2d ) 1ln( 1 22，故，则令uuuxuxeuxuuuuuuuuexxexxd) 1(ln 21d2) 1() 1ln( 1 d2222 , d)1ln() 1ln( 2uuu1d) 1ln(d) 1ln(uuuuuuuuuuuud11) 1() 1ln(, | 1|ln) 1ln(1Cuuuu例例 28类似地，有类似地，有 | 1|ln) 1ln(d) 1ln(2，CuuuuuuCuuuuuexxexx| 1| 1|ln24) 1ln(2 1 d 2故 . 11 11 ln21

16、)2(2Ceeexxxx2929xxxxdarctan122 xxxxdarctan122 解解xxxxdarctan11122 xxxxxdarctan11darctan2 xxxvxud1d,arctan22 或取或取试比较一下哪种做法简单试比较一下哪种做法简单.30注：注： 在后者中在后者中u(x)不是以不是以v(x)为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数 故用分故用分部积分法部积分法 在前者中在前者中f (x)是以是以 (x)为中间变量的复合函数为中间变量的复合函数 故用换故用换元积分法元积分法 第一步都是凑微分第一步都是凑微分第一换积分元法与分部积分法的比较第一换积分元法与分部积分

17、法的比较 )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令 )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令 )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu 31 第一步都是凑微分第一步都是凑微分第一换积分元法与分部积分法的比较第一换积分元法与分部积分法的比较 )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令 )()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu )( )( )()()()( duufuxxdxfdxxxf令 )

18、()()()()()()()( xduxvxvxuxdvxudxxvxu 2222 duedxedxxeuxx 2222 dxeexdexdxexxxxx提问：提问： 下列积分已经过凑微分下列积分已经过凑微分 下一步该用什么方法？下一步该用什么方法？ 2222 duedxedxxeuxx 2222 dxeexdexdxexxxxx 2222 duedxedxxeuxx 2222 dxeexdexdxexxxxx 提示：提示：32曾用换元积分做过曾用换元积分做过, 现可用分部积分做现可用分部积分做!例例xxad22 uxxaxxaxd22222 22xax 22xax.arcsin22d2222

19、2Caxaxaxxxa xxaaxad22222 xxad22axa arcsin2分部积分法分部积分法33分部积分公式分部积分公式uvvuvudd 1. 原则原则: :2. 经验经验:3. 题目题目类型类型 :化简型化简型; 循环型循环型; 递推型递推型.三、小结三、小结分部积分法分部积分法v要易求要易求; uvd vud比比易求易求.“反对幂指三反对幂指三”的顺序的顺序, ,前为前为 ,u.dv后为后为34 xxfxd)( )(dxfx Cexxfx2d)(22)(xxexf xxfxd)( xxfxxfd)()(222xex Cex 2两边同时对两边同时对x求导，求导，得得分部积分分部积

20、分解解思考题思考题,)(2xexf 的一个原函数为的一个原函数为已知已知 xxfxd)(求求 xxfxfxd)()(35综合题综合题1求不定积分求不定积分解：解：.d1xxxexe 方法方法1(先分部先分部 , 再换元再换元)d1xxxexe ) 1(d1xxeexx2) 1(dxe12xex21dxex令令1,xue则则22dd1uxuuuuud122212xex21 1u 12xex4414arctan1xxeeC 36方法方法2(先换元先换元,再分部再分部)令令1,xue则则2ln(1),xu故故d1xxxexeuuuuuud12)1ln()1 (222uud)1ln(22)1ln(22

21、uu224d1uuu1)1ln(22uuu4Cu arctan421xx e414arctan1xxeeC 122dd1uxuu37 2. 求求.d xI23)1 (2x解法解法1 先换元后分部先换元后分部令令,arctanxt 即即,tantx 则则teIt3secttdsec2ttetdcostetsinttetdsintetsinttetdcostetcos故故CettIt)cos(sin2121xearctantx121x21xx211xCexarctan38xeIxdarctan23)1 (2xxexIarctan2d11xxexxexarctan2arctan2d111)1 (11arctan2xexxICexxIxarctan2121解法解法2 用分部积分法用分部积分法xexarctan211xd 23)1 (2xxexarctan39作业作业习题习题4-3(2104-3(210页页) ) 偶数题偶数题分部积分法分部积分法