2022年飞行目标的多雷达探测及攻击问题 .pdf

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1、1 飞行目标的多雷达探测及攻击问题摘要本题为典型的微分方程模型。问题一，通过分析得出多基雷达定位方程组，讨论当雷达数目分别为1，2，3 时的各种不同情况，得出至少需要三个雷达才能定位飞行物。问题二，利用控制变量法分别讨论坐标误差和距离误差对定位精度的影响，可知当雷达间距离很近，雷达距目标较远以及雷达间距离比较远，同时和目标的距离又比较近时，误差比较大。问题三，将问题一中所得三元方程组简化为二元方程组，两次利用最小二乘法得出飞行物的坐标分别为甲（-4.23，1317.26， 10997.6） ， 乙 （50844.97， -5.55，10883.2） ， 丙（44.17，106865.6，146

2、90.13） 。由计算过程可知，尽量使同一组雷达的排列不再同一条直线上，以及最大限度的利用雷达所测数据，都是提高雷达定位精度的方法之一。问题四，由题意得出 型导弹追踪乙机轨迹图，由此得出微分方程，即导弹追踪敌机轨迹方程。当导弹击中乙机时，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 31 页 - - - - - - - - - 2 有xx乙,此时2yC，则导弹飞行距离为2Cy乙。因此导弹击中乙机的条件为2MCy乙。由数据得出敌机被击中的时刻为98.44s之后，位置为（

3、50844.97，33464.55，10883） 。问题五，经分析，导弹轨迹位于斜平面内，通过坐标转换，得出 型地对空导弹追踪敌机的轨迹，经计算，得出在2yC时乙机被击毁，其被击毁的条件为2CM。问题六，计算机编程的算法及相关程序见附录。经计算，得出敌机在 197.22s 之后于（ 50844.97，67054.78，10883.4）处被击中，并给出了型导弹的轨迹图。问题七，当敌机不变速时，由题意得出型导弹轨迹方程，从而得出丙机在126.53s 之后于（ 28119.3，106865.6，14690.1）处被击中。当敌机做俯冲逃离时，利用问题六中所建斜平面建立微分方程求得敌机和导弹间的距离，再

4、利用坐标转换，可求得敌机在126.21s之后于(28167.96,104234.91,10347.50)处被击中。关键词：微分方程模型最小二乘法图文结合坐标变换名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 31 页 - - - - - - - - - 3 1 问题重述.在我防空指挥部的上空发现有一可疑的飞行物，需要对其进行精确定位。常用的定位方法是基于多基雷达的测量方法。每个雷达都可以测量自身的坐标(,)iiix y z以及它到飞行物距离ir(1,)in，其中n为雷达的

5、总数。但存在测量误差，给精确定位带来了困难。通过一组雷达位置坐标和飞行物到各雷达的距离测量，我们可以确定目标的空间飞行物的坐标( , , )s x y z。现在，我防空指挥部多部雷达发现有一架来路不明的飞机乙（第二组数据） ，经分析确认是一架敌机后，即命令正处于同一高度进行巡逻的我方飞机甲（第一组数据） 发射 I 型空对空追踪导弹将其击毁（追踪导弹可针对目标随时自动调节追踪方向）。假定雷达发现敌机时，该机正位于我防空指挥部正东 N 公里高空处，并欲在同一高度上向位于其正北方向M公里处的安全区逃窜（由于电子干扰的作用,敌机一旦进入安全区后 .导弹将失去追踪目标，无法将其击毁）。 （如果没有明确给

6、出数值，可假定敌机速度v = 1 马赫数， 导弹 u = 2 马赫数） 。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 31 页 - - - - - - - - - 4 设距离误差服从正态分布2(0,)tN， 坐标误差服从正态分布2(0,)rN。在这个假定下完成以下工作。一、至少需要几个雷达才能定位飞行物？二、在最少雷达的条件下，分析并比较距离误差和坐标误差对定位精度影响。三、在实际情况中，往往使用更多雷达进行精确定位，试设计一种定位算法。对三组雷达得到的测量数据，计算

7、飞行物的坐标。并给出控制雷达定位精度的建议。（数据见附录）四、在适当的假设下， 确定导弹追踪敌机的轨迹及发射I 型空对空导弹击毁敌机的条件。并且利用给出数据，计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。五、若当时命令设在防空指挥部的地面导弹基地发射II 型地对空追踪导弹截击敌机，假定敌机始终距地面高度为h 公里飞行，其他假定同上一问中所述，重新确定此时II 型地对空导弹追踪敌机的轨迹及击毁敌机的条件。并且利用给出数据，计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。六、若敌机的飞行速度v 、其位置N 和追踪导弹速度u 均为给定的常数；针对情况1 中敌机被导弹击中的条件下，给名师资料总结 -

8、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 31 页 - - - - - - - - - 5 出一个计算机编程的算法及相关程序，以计算出敌机被击中的时刻以及当时敌机的位置。据此，在 v = 1 马赫数， N = 100 公里 , u = 2 马赫数时，利用上述的程序算出具体敌机被击中的时刻以及当时敌机被击毁的位置。七、若在发现飞机乙的同时接指挥部通知：又发现一架敌方的飞机丙（第三组数据）以速度800km/h 向东水平飞行。该飞机甲立即发射III 型空对空导弹， 导弹速度 3200km

9、/h，方向指向敌机。（1）若敌机不变速，则何时何地击中？（2）当导弹离敌机约25km 时，敌机发现遭受攻击，立即以 30 度俯角俯冲，速度1000km/h，方向与 III 型空对空导弹垂直，何时何地击中。2 问题分析问题一，在不考虑各种误差的情况下，由多基雷达定位目标方程组出发，我们讨论了当雷达数目为1，2，3 时的不同情况，通过讨论得出了至少需要三个雷达才能定位飞行物的结论。问题二，由题意列出相关表达式，利用控制变量法，分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共

10、31 页 - - - - - - - - - 6 别讨论距离误差和测量误差对定位精度的影响。问题三，由三元多基雷达定位方程组，可以得到二元一次超静定方程组，利用最小二乘法求出其近似最优解，最后再反带回多基雷达定位方程组，再次利用最小二乘法得出z值，至此，得出飞行物的坐标。由分析过程可以总结出控制雷达定位精度的方法。问题四，根据题意得出导弹追踪乙机轨迹图，由图及约束条件出发，得出导弹追踪乙机轨迹模型，由导弹发射瞬间的函数关系得出导弹击毁敌机的条件，由问题三所得数据算出参数，并计算出敌机被击中时刻及被击毁位置。问题五，由题意可知，导弹轨迹位于空间斜平面内，通过坐标转换，得出导弹追踪敌机轨迹方程，经

11、过求解得出敌机被击中时刻及被击中位置。问题六，由题意得出计算机编程的算法及相关程序，代入数据得出敌机被击中的时刻及当时敌机的位置。问题七，当敌机不变速时，经坐标转换可以得到型导弹轨迹方程，从而计算出敌机被击中时刻及位置。当敌机做俯冲逃离时，利用问题六中所建斜平面建立微分方程，求得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 31 页 - - - - - - - - - 7 飞机和导弹间的距离时。再利用坐标转换，即可求得敌机被击中的时刻及位置。3 模型假设1 距离误差服从

12、正态分布2(0,)tN，坐标误差服从正态分布2(0,)rN；2 敌机始终在距离地面高度为H 公里出飞行；3 导弹和敌机的速度一经确定即为匀速飞行；4 不考虑天气等自然因素的影响；5 假设每次导弹发射时刻均为0。4 符号说明N：定位需要雷达数目；ir：雷达到目标的测量距离；iS：雷达的自身测量坐标(,)iiix y z；S甲：甲飞机初始时刻位置甲甲甲（x ,y,z ）；S乙：乙飞机初始时刻位置乙乙乙（x ,y,z ）; S丙：丙飞机初始时刻位置丙丙丙（x ,y,z ）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

13、- - - - - - - 第 7 页，共 31 页 - - - - - - - - - 8 5 模型的建立与求解5.1 问题一，最少雷达数目求解在不考虑各种误差的情况下，本问题多基雷达定位目标的方程如下所示 ; 222211122222222222()()()().(1)()()0nnnrxxyyzrxxyyzrxxyyzz其中n代表雷达数目。显然当1n时雷达只是定位目标在距离雷达自身半径为r的球面上，因此无法定位。为了阐述方便我们定义这样的球面为定位球面。当2n时， 由于目标的客观存在， 两个定位球面必然相交。目标就在该相交线上。当且仅当目标位于两雷达之间时两定位球面才可相交于一点（下图一

14、），否则相交部分为一圆（下图二） 。如下图所示：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 31 页 - - - - - - - - - 9 当3n时，存在两种情况。 三个雷达共线时其定位球面仍然相交于一个圆（下图三） ，当三个不共线时三个定位球面必然相交于一个点，此点正是目标所在点（下图四）。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 31

15、 页 - - - - - - - - - 10 综上，至少需要三个不共线的雷达才能定位目标。5.2 问题二的建立与求解5.2.1 误差模型的建立在有 3 个雷达测量定位情况下分析并比较距离误差和坐标误差对精度的影响，记3 个雷达的测量值为 错误！未找到引用源。，距离为ir，1,2,3i错误！未找到引用源。定位目标飞行物的坐标为 错误！未找到引用源。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 31 页 - - - - - - - - - 11 则有错误！未找到引用源。

16、错误！未找到引用源。从而可解得123123123123123123123123123123123123(, ,)(, ,)(,)xx x xxyyyz z zr rryy x xxyyyz zz r rrzz xxxyyyz zz r rr则目标飞行物的坐标（x，y，z）的误差可表示如下：123123123123123123123123xxxxxxxxxxyyyxxxyyyxxxxxxzzzzrrzzzrrr123123123123123123123123yyyyyyyxxxyyyxxxyyyyyyyyyzzzzrrzzzrrr123123123123123123123123zzzzzzzxx

17、xyyyxxxyyyzzzzzzzzzzrrzzzrrr下面分析各因素的影响。（1）分析坐标(,)iiix y z误差对定位精度的影响此时可作如下假设：（a）所测得的距离是精准的，即错误！未找到引用源。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 31 页 - - - - - - - - - 12 0,(1,2,3)iri（b）所测得的,iiy z是精准的， 即0,0iiyz且有0,(1,2,3)izi. （可类似讨论,iiy z对精度的影响，下文将不对,iiy z错

18、误！未找到引用源。 作进一步讨论分析）不妨令 错误！未找到引用源。 ，由上式解出x值为：2222122121()2()rrxxxxx考虑到123,x x x错误！未找到引用源。 的平等性， 可令错误！未找到引用源。 ，从而由 错误！未找到引用源。的变化对x的影响来讨论坐标误差对定位精度的影响，则由错误！未找到引用源。由题意：1111(0,),xxxxND则1222212121)2()2xxrrDxx同理可讨论1x对,yz精度的影响，此处省略不写。（2）分析距离误差ir变化对x精度的影响此时可作如下假设：1222212121(0,)2()2xrrxNxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

19、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 31 页 - - - - - - - - - 13 所测得的(,)iiix y z是精准的，即 错误！未找到引用源。且有 错误！未找到引用源。 ，1,2,3i. 由1, 23,r r r错误！未找到引用源。的平等性，可令230,0rr，同样不妨令 错误！未找到引用源。 ，由上式解出x值2222122121()2()rrxxxxx则111212rxxrrrxx由题意2221(0,),rrrrND则错误！未找到引用源。, 22212xrrDxx同理可讨论 错误！未找到

20、引用源。对,yz错误！未找到引用源。 精度的影响5.2.2 误差分析根据 a 式和 b 式可知：1.当雷达间距离很近时，误差比较大；2.当雷达距目标太远时，误差也比较大；3.当雷达间距离比较远，同时和目标的距离又比较相近时，误差比较小。、名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 31 页 - - - - - - - - - 14 5.3 问题三，飞机空间位置的求解根据所得方程组（ 1） ，用方程组（ 1）的第一个方程分别与后面方程相减。得到以下二元一次方程组（2）

21、 ：2222222121122121222222313113313122222211111111112()2()2()2().2()2()nnnnnxxxyyyrrxxyyxxxyyyrrxxyyxx xyy yrrxxyy令12222221112()2()1,2.1iiiiiiiiAxxByxinCrryyxx则以上二元一次方程组退化为：111222111.nnnA xB yCA xB yCAxBC对于这样的超静定方程没有精确解，我们利用最小二乘法求解其近似最优解。令111222111.nnnABCABCxabXyABC方程组可以表示为aXb，其近似最优解为1()ttXa aa b；但是这样

22、只能求得xy和，无法求得z.在求解时我们将求得的名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 31 页 - - - - - - - - - 15 xy和代入方程组（ 1）的每一个方程中，分别得到不同的iz，然后求其平均值inzzn。至此我们可以求得飞机甲，乙，丙的空间位置。如下表所示：表一 飞机空间坐标结果飞机编号空间坐标x y z 甲-4.23 1317.26 10997.6 乙50844.97 -5.55 10883.2 丙44.17 106865.6 14690

23、.13 由上述建模过程可以得知，尽量使同一组雷达的排列不再同一条直线上，以及最大限度的利用雷达所测数据，例如用最小二乘法，都可以提高雷达定位的精度。5.4 问题四， I 型导弹轨迹模型的建立和求解5.4.1 模型的建立导弹追击乙机轨迹图如下：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 31 页 - - - - - - - - - 16 图五由于导弹时刻对准飞机，则有：-Vtyydydxxx乙乙由二者的轨迹长度关系，我们得到：21()xxdyUdxVtdxV甲由以上两

24、个方程联立求解，得导弹轨迹的模型如下所示：2-1()xxVtyydydxxxdyUdxVtdxV甲乙乙5.4.2 模型的求解由以上两个式子消去Vt得到：21()(- )+xxVdydydxxxyyUdxdx甲乙乙令VU，等式两边同时对x求导：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 31 页 - - - - - - - - - 17 222(- )1()d ydyxxdxdx乙令dywdx，则以上方程降为如下一阶微分方程，分离变量得：21-1dwdxxxw乙同时积

25、分得到：20ln(1)ln()wwxxC乙211()wwCxx乙（1）将dywdx代入（ 1）式，进一步求得其解析解如下：11121()()2(1)2(1)xxC xxyCC乙乙（2）导弹发射瞬间有0yywxx乙甲乙甲，将初始值代入（1）式，则有：20011()wwCxx乙甲将导弹发射时刻位置坐标代入（2）式得到：11121()()2(1)2(1)xxC xxCyC乙乙甲甲甲导弹击中乙飞机时， 有xx乙,此时2yC，导弹飞行距离为2Cy乙。则能够击中乙飞机的条件为2MCy乙。将问题三所得数据代入方程得到12219.7086,33464.545961CC。 此 时 空 间 坐 标 为 （ 508

26、44.97，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 31 页 - - - - - - - - - 18 33464.55， 10883） ， 假设导弹发射时刻时间0t， 此时98.44ts。5.5 问题五， II 导弹轨迹模型的建立与求解图中给出 II 型导弹击毁乙机的大致轨迹：图六 II 型飞机轨迹示意图5.5.1 模型的建立由图我们可以看出导弹轨迹处于xo y平面内，所以我们建立在该平面内求解轨迹方程的模型后再将坐标转换回原坐标系，即可得到空间内导弹轨迹方程

27、。具体做法如下：我们建立如图新坐标系，模型同问题四相似，如下所示：20-1()xdyVt ydxxxdyUdxVtdxV乙名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 31 页 - - - - - - - - - 19 5.5.2 模型的求解以上模型的求解同问题四中求解方法相同，结果如下所示： 1 1121()()2(1)2(1)xxCxxyCC乙乙(3) 其中2221()CxNx乙乙112221122211211+(+)2(1)2(1)22(1)xNC xxCxNC

28、CC乙乙乙乙（1-）由坐标转换公式我们得到以下坐标转换式：cosarctan()xNxxzNyyy乙乙乙代入（ 3）式得到原坐标系中的方程：221221121+costan()costan()2(1)2(1)xNxxNxxNCxNzzarcarcNNyCC乙乙乙乙乙乙新平面坐标在原空间坐标系中的方程为：Nzzxzx乙乙乙将两式联立即可得到II 型导弹轨迹方程：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 31 页 - - - - - - - - - 20 221221

29、121+costan()costan()2(1)2(1)xNxxNxxNCxNzzarcarcNNyCCNzzxzx乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙机被击中的时刻为：2yC，则只有满足条件2CM时，才能击毁乙飞机。5.6 问题六的求解计算机编程的算法及相关程序【见附录】。当在1v马赫数，100N公里，2U马赫数时，运用 Matlab可解得敌机被击中的位置为( , , )(50844.97,67054.78,10883.4)x y x。击中时刻67060.335.55197.22340tsII 型导弹实际轨迹图如下图七：图七II 型导弹轨迹图名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - -

30、- - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 31 页 - - - - - - - - - 21 5.7 问题七的求解5.7.1 敌机不变速情况下被击中时间和地点的求解。由问题三所得数据，我们能够判断出甲丙飞机的空间相对位置，从而很容易作出下图六：图六III 型导弹击中丙飞机轨迹示意图由图我们可以看出导弹轨迹处于x o y平面内，所以求解本问题和问题四相同。在新坐标下的轨迹方程为：11121()()2(1)2(1)yyCyyxCC丙丙（4）其中2()(yzzy甲甲丙丙丙（5）222()() )Cyzzyy1甲甲丙丙丙将起始时刻数据代

31、入（4）式得到：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 31 页 - - - - - - - - - 22 111212(1)2(1)C yyCC丙丙由坐标变换公式得到以下坐标关系式：yy=cos(arctan)xxxyzzyy甲甲甲丙甲丙将其代入（ 4）式得到在原坐标系下的方程为：11121yyyy)()cos(arctan)cos(arctan)+2(1)2(1)yCyzzzzyyyyxCxC甲甲丙丙甲甲丙丙甲甲丙丙甲（新平面坐标系在原空间坐标系的方程为：z

32、zzzzyzyyyyy甲甲丙丙甲甲甲甲丙丙将两式联立即可得到II 型导弹轨迹方程：1112122yyyy)()cos(arctan)cos(arctan)+2(1)2(1)()()yCyzzzzyyyyxCxCzzzzzyzyyyyyyzzyy甲甲丙丙甲甲丙丙甲甲丙丙甲甲甲丙丙甲甲甲甲丙丙甲甲丙丙丙（其中将初始数据代入方程得到，丙飞机被击毁时其空间坐标为：( , , )(28119.3,106865.6,14690.1)x y z名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22

33、页，共 31 页 - - - - - - - - - 23 击中时刻为：(28163.4444.13)3600126.53800000tsIII 型导弹实际轨迹图如下图八：图八 III 型导弹实际轨迹图5.7.2 在距离敌机25km时敌机做俯冲逃离情况下被击中时间地点的求解该问题我们分为丙机俯冲前后两个部分来求解。（1）俯冲前我们在上一问题中建立的x o y斜平面内建立如下微分方程：1122122()()()()IIIIIIVtxdxUdtVtxyyyxdyUdtVtxyy丙丙丙丙丙丙利用MATLAB程序【见附录】求解该方程数值解，并且搜索得到飞机和导弹间的距离为122()()25RVtxyy

34、km丙丙名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 31 页 - - - - - - - - - 24 时的坐标(,)ooxy以及时间1t。利用上一问题已经得到的坐标转换公式即可得到在原坐标系中的作标(,)oooxyz。（2）图九 III 型导弹追击敌机示意图如图我们以(,)oooxyz为坐标原点，导弹追击轨迹和飞机逃离轨迹构成的平面建立坐标系x o y。设1t时刻丙飞机坐标为(,)bbbxy z则坐标轴o y方向在空间内单位向量：222(,)()()()bobob

35、oyboboboxxyyzzexxyyzz设o x轴与空间坐标内xoy平面相较于点11(,0)x y。则坐标轴o x方向在空间内单位向量：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 31 页 - - - - - - - - - 25 1122211(,)()()oooxoooxxyyzexxyyz由几何关系我们得到以下方程求解11(,0)xy。0 xye e222111sin30=2()()oooozxxyyz。在该平面内导弹轨迹以及击中时间地点的求解和问题六的求解

36、相同。设击中时刻丙飞机坐标(,)bbxy。求得丙飞机击中时在x o y坐标：(,)(8658,25000)bbxy。击中时刻231.17ts。由坐标转换公式我们得到该坐标系与原坐标系坐标转换式：( , , )(,)bxbyooox y zx ey exyz代入数据得到击中坐标( , , )(28167.96,104234.91,10347.50)x y z时间12(95.0431.17)126.21tttss6 模型的推广与改进在本题中，我们只根据题目要求给出了多基雷达测飞行目标及攻击模型，由于时间限制，并未对雷达的排列方式进行深入的讨论。若再加上雷达排列方式的模型限制，问题的名师资料总结 -

37、 - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 31 页 - - - - - - - - - 26 求解可能会更加精确。7 模型的评价7.1 优点1 问题一中确定定位飞行物的最少雷达数目时，我们通过讨论的方式论证了1 个，2 个及在同一条直线上的3 个雷达是不满足要求的。2 在本题中我们利用最小二乘法处理数据，使得所给数据得到了最大限度的利用，提高了求解的精确度。3 在求解过程中，我们通过图文结合的方式给出了解答，通俗易懂；4 在计算过程中，我们将空间曲线转化为平面曲线求解，使得计算过

38、程更加简便易行。7.2 缺点在处理数据时，我们采用了最小二乘法，使数据得到了最大限度的利用，但并没有考虑数据中的坏值。参考文献1 姜启源等 . 数学模型（第三版） M. 北京：高等教育出版社，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 31 页 - - - - - - - - - 27 2003 2 杨建军 . 地空导弹武器系统概论. 北京：国防工业出版社，2006 3 吴祈宗 . 运筹学 M. 北京：机械工业出版社，2002 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下

39、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 31 页 - - - - - - - - - 28 附录：程序：程序一：%I 型导弹击中乙机轨迹程序u=680;v=340; m=v/u; x0=-4.3;y0=1317.1; xe0=50844.97;ye0=-5.55; p0=(ye0-y0)/(xe0-x0); C1=(p0+sqrt(1+p02)/(xe0-x0)(-m); fprintf(C1=%fn,C1) C2=y0-(xe0-x0)(1+m)/(2*C1*(m+1)+C1*(xe0-x0)(1

40、-m)/(2*(1-m); fprintf(C2=%fn,C2) break ezplot(50844.97-x)1.5/659-219.7086*(50844.97-x)0.5+33464.545961,-4.3,51844.97) hold on y=-5.5:33464.545961 x=50844.97; plot(x,y,r) title(I 型导弹击中乙机轨迹) 程序二：%II 型导弹击中敌机轨迹方程N=100000; ye0=-5.55; ze0=10883.3832; 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

41、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 31 页 - - - - - - - - - 29 xe0=50844.97;%原坐标里的敌机初始x 坐标值xe=sqrt(N2+ze02);%转换后起始坐标值fprintf(xe=%fn,xe) m=0.5; c1=(N2+ze02)(1/4); fprintf(c1=%fn,c1) c2=c1*xe0.5-xe1.5/(3*c1); fprintf(c2+ye0)=%fn,c2+ye0) a=cos(atan(ze0/N); fprintf(a=%fn,a); x=-49156:100:50850; for i=1:1001

42、y(i)=(xe-(x(i)+N-xe0)/a)1.5/(3*c1)-c1*sqrt(xe-(x(i)+N-xe0)/a)+c2+ye0; %轨迹方程z(i)=ze0*x(i)/N+ze0-ze0*xe0/N; end plot3(x,y,z,r,50844.97*ones(1,1001),y,10883.3832*ones(1,1001),g),grid t=(c2+ye0)/340 程序三：%III 型导弹击中敌机的轨迹方程vb=800; %b表示丙vd=3200; %d表示导弹m=vb/vd; xd0=44.23; %导弹起始坐标yd0=1317.26; zd0=10997.18; 名师

43、资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 31 页 - - - - - - - - - 30 xb0=44.17; %丙飞机的起始坐标yb0=106865.6; zb0=14690.13; a=cos(atan(zb0-zd0)/(yb0-yd0); y1b=sqrt(zb0-zd0)2+(yb0-yd0)2);% 转换后起始坐标值c1=y1bm; c2=c1*y1b(1-m)/(2*(1-m)-y1b(1+m)/(2*c1*(1+m); fprintf(c2=%fn

44、,c2) y=1317:100:106870; for i=1:1056 x(i)=(y1b-(y(i)-yd0)/a)(1+m)/(2*c1*(1+m)-c1*(y1b-(y(i)-yd0)/a)(1-m)/(2*(1-m)+c2+xd0; % 轨迹方程z(i)=(zb0-zd0)*y(i)/(yb0-yd0)+zd0-(zb0-zd0)*yd0/(yb0-yd0); end plot3(x,y,z,r,x,106865.6*ones(1,1056),14690.13*ones(1,1056),g),grid 程序四：%用来求解导弹距离丙机还有25km 时的程序%ff3 主程序文件funct

45、ion Dy=ff3(t,y) Dy=zeros(2,1); Dy(1)=3200000/3600*(800000/3600*t-y(1)/sqrt(800000/3600*t-y(1)2+(105612.93-y(2)2); Dy(2)=3200000/3600*(105612.93-y(2)/sqrt(800000/3600*t-y(1)2+(105612.93-y(2)2); t,y=ode45(ff3,0 125,0 0); for i=1:93 r(i)=sqrt(800000/3600*t(i,1)-y(i,1)2+(105612.93-y(i,2)2); if r(i)25000

46、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 31 页 - - - - - - - - - 31 xb=800000/3600*t(i,1); b=t(i,1); c=y(i,1); d=y(i,2); break end end xd0=44.23; %导弹起始坐标yd0=1317.26; zd0=10997.18; xb0=44.17; %丙飞机的起始坐标yb0=106865.6; zb0=14690.13; A=(zb0-zd0)/(yb0-yd0); a=cos(atan(A); x=c+xd0;%原坐标系中导弹距离飞机25km 时的坐标y=d*a+yd0; z=A*y+zd0-A*yd0; n,b,xb,yb0,zb0,x,y,z); %输出导弹距离丙飞机25KM 的时刻 b,以及在此时导弹和飞机在原坐标系中的坐标名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 31 页 - - - - - - - - -