2022年高中数学三角函数初级培训教材 .pdf

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1、1 / 19 高考数学总复习第七讲：三角函数一、三角函数的图象和性质一、教学目的：1使学生熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据研究一些解析式为三角式的函数的性质，切实掌握判定目标函数的奇偶性，确定其单调区间及周期的方法。2会求函数y=Asin( x+)的周期，或者经过简单恒等变形便可转化为上述函数的三角函数的周期；3了解正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画四函数及y=Asin( x+)的简图，并能解决与正弦曲线有关的实际问题。考试内容：用单位圆中的线段表示三角函数值；正、余弦与正、余切函数的图象和性质；函数y=Asin( x+)的图象。二、基本三角函数的图象y

2、=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R 2|Rxkxx，x|x k，xR 值域-1，1 -1，1 R R 周期性最小正周期2最小正周期2最小正周期 最小正周期单调区间kz 增区间2222kk，减区间23222kk，增区间2k-，2k 减区间2k，2k+ 增区间)22(kk，减区间（k，k+）最值点kz 最大值点)1 ,22( k最小值点最大值点（2k，1）最小值点（2k+，-1）无无名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 -

3、- - - - - - - - 2 / 19 ) 1,22( k对称中心kz （k，0）)0 ,2(k)0 ,2(k)0,2(k对称轴kz 2kxx=k 无无三、 （一）性质单调性、奇偶性、周期性（注意书写格式及对角的讨论）例 1用定义证明：f(x)=tgx 在)2,2(递增。例 2比较下列各组三角函数的值的大小（1）sin194和 cos160；（2）)1543(ctg和)1974(ctg（3）)83sin(sin和)83sin(cos；（4）tg1，tg2 和 tg3；（1）（2）（ 4）tg2tg3tg1 化为同名、角在同一单调区间内的函数，进而利用增减性比较函数值大小。例 3求下列各函

4、数的单调区间（1）)32cos(2xy；（2）xxy2cos32sin1（减区间）（3）xxysinsin2；（4）)43cos(log1xy（增区间）（1）4k-2/3x4k+4/3（增）；4k+4/3x4k+10/3（减），kz （2）zkkk，12512（3）2k-/2，2k+/6与2k +/2，2k+5/6（增）；（4）6k-3/4x0 的图象及变换)()3()()2()() 1(上、下伸缩振幅变换左、右伸缩周期变换左、右平移相位变换)()3()()2()() 1(上、下伸缩振幅变换左、右平移相位变换左、右伸缩周期变换三、 y=Asin(x+)的图象与变换相位变换 -0 左移； 1，横

5、坐标缩短1倍； 0 1 ，纵坐标伸长A 倍； 0A0） 的一个周期的图象， 试求函数y 的解析表达式)3532sin(2xy例 5已知函数Rxxxxy，1cossin23cos212，（1）当 y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx （xR）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到（2000 年高考，难度0.70）（1）6|45)62sin(21Zkkxxxy，（2）倍纵不变，横缩左平移一个单位21)6sin(sinxyxy倍横不变，纵缩21)62sin( xy45)62sin(2145)62sin(21xyxy个单位向上平移例 6求下列各方程在区间0，2内实数解的

6、个数（1）xx2log2cos；（2）sinx=sin4x ；（1）一个实解（2）九个实解例 7 已知函数3cos32cossin22xxxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 7 / 19 （1）作出它的简图：（2）填空回答问题：1振幅2 ；2周期；3频率1；4相位32x；5初相3；6定义域R ；7值域-2，2 ；8当 x=12k时m a xy2 ；当)(127Zkkx时，miny-2 ；9单调递增区间12,12

7、5kkkZ。 ；单调递减区间127,12kkkZ。10当 x)3,6(kkkZ 时，y0 当 x)65,3(kkkZ 时， y0 11图象的对称轴方程122kxkZ。12图像的对称中心)0 ,32(kkZ。作业：1已知函数xxxxxf4466cossincossin)(求（ 1）f（x）的值域2,43名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8 / 19 （2）f（x）的最小正周期2（3）f（x）的单调区间单调递增区间为

8、2,42kkkZ。42,2kkkZ。2判断下列函数的奇偶性。（1）1sinsin11sinsin1)(22xxxxxf（奇）（2）xctgxxtgxxfcscsin)(（偶）（3）xxxxxxxf5cos3coscos5sin3sinsin)(（奇）（4）xxfcos2)(（偶）（5）)seclg()seclg()(22tgxxtgxxxf（偶）3求函数|)4sin(|xy的单调区间单调增区间为43,4kkkZ。单调减区间为43,4kkkZ。4求下列函数的最小正周期（1）xy4sin2（4T）（2）xxy66cossin)2(T（3）xxtgysin12（T=）（4）)0(aaxatgy（T=

9、|a|）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 9 / 19 二、三角函数的求值例 1 求值80sin40sin20sin利用积化和差原式 =83例 2 求值50cos20sin50cos20sin22先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式=43或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用，出现特殊角解 1 原式 =)30sin70(sin21)100cos1(21)40cos1(21434120cos21

10、20cos2114170sin2120cos60cos22114170sin21)80cos40(cos211解 2 原式50cos20sin)50cos20(sin2434170sin21)20cos1(21)2170(sin21)10cos30sin2()30sin70(sin21)40sin20(sin22g例 3 求值70sin50sin30sin10sin方法 1 可用积化和差方法 2 逆用倍角公式原式20cos40cos60cos80cos80cos40cos20cos21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

11、- 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 10 / 19 8120sin8160sin20sin880cos80sin220sin880cos80sin20sin880cos40cos40sin220sin480cos40cos40sin20sin480cos40cos20cos20sin2例 4 求值)10tg31 (50sin原式 =1 例 5 求75cos73cos7cos的值原式)75cos7sin273cos7sin27cos7sin2(7sin2121)76(sin7sin21)74sin76sin72sin74si

12、n72(sin7sin21一般形式nsin3sin2sinsin2sin2cos21sinnnncos3cos2coscos2sin2sin21cosnn例 6 求值10tg50sec解：原式10cos10sin50cos1（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则）80sin80cos40sin1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 11 / 19 380sin10cos30cos280sin20cos40cos

13、80sin20cos60cos240cos80sin)80cos40(cos40cos80sin80cos40cos2例 7 求值20cos10sin)10sin1(40sin2原式20cos10sin)10sin1 (20cos20sin2220cos10sin)10sin1(10cos10sin43220cos20cos60sin2220cos)40sin80(sin220cos50cos280sin220cos)20sin80(sin280sin220cos20sin280sin420cos20sin210cos420cos)10sin1 (10cos4例 8 求值54sin12cos4

14、2sin解：设法出现特殊角：原式54sin12cos48cos18sin36cos221854sin21854cos218sin54sin54sin18sin30sin)2(18cos36cos18cos18sin2（出现倍角关系）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 12 / 19 2118cos272sin18cos236cos36sin218cos36cos36sin三、三角函数的求值例 1 求值80sin4

15、0sin20sin利用积化和差原式 =83例 2 求值50cos20sin50cos20sin22先用半角公式降次然后和、差、积互化，原式=43或者，配完全平方式再降次，化和差，目的只有一个设法利用，出现特殊角解 1 原式 =)30sin70(sin21)100cos1(21)40cos1(21434120cos2120cos2114170sin2120cos60cos22114170sin21)80cos40(cos211解 2 原式50cos20sin)50cos20(sin2434170sin21)20cos1(21)2170(sin21)10cos30sin2()30sin70(sin

16、21)40sin20(sin22g例 3 求值70sin50sin30sin10sin方法 1 可用积化和差方法 2 逆用倍角公式原式20cos40cos60cos80cos名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 13 / 19 80cos40cos20cos218120sin8160sin20sin880cos80sin220sin880cos80sin20sin880cos40cos40sin220sin480c

17、os40cos40sin20sin480cos40cos20cos20sin2例 4 求值)10tg31 (50sin原式 =1 例 5 求75cos73cos7cos的值原式)75cos7sin273cos7sin27cos7sin2(7sin2121)76(sin7sin21)74sin76sin72sin74sin72(sin7sin21一般形式nsin3sin2sinsin2sin2cos21sinnnncos3cos2coscos2sin2sin21cosnn例 6 求值10tg50sec解：原式10cos10sin50cos1（直接通分很麻烦，分母越简单越好，这是原则）名师资料总结

18、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 14 / 19 80sin80cos40sin1380sin10cos30cos280sin20cos40cos80sin20cos60cos240cos80sin)80cos40(cos40cos80sin80cos40cos2例 7 求值20cos10sin)10sin1(40sin2原式20cos10sin)10sin1 (20cos20sin2220cos10sin)10sin1(

19、10cos10sin43220cos20cos60sin2220cos)40sin80(sin220cos50cos280sin220cos)20sin80(sin280sin220cos20sin280sin420cos20sin210cos420cos)10sin1 (10cos4例 8 求值54sin12cos42sin解：设法出现特殊角：原式54sin12cos48cos18sin36cos221854sin21854cos218sin54sin54sin18sin30sin)2(18cos36cos18cos18sin2（出现倍角关系）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

20、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 15 / 19 2118cos272sin18cos236cos36sin218cos36cos36sin四、三角中常用的变角代换技巧在三角的计算与证明中，往往要进行角之间的变换，为了得到合理的角的变换式，就必须考察待求问题中的角与已知条件中的角之间的联系。三角中的变角代换具有很强技巧性，本文就三角中常用到的一些变角代换作些说明。1. 单角化复角这里所说的复角是指由角的和或角的差所形成的角。常用的角变换式有：()()，222

21、2，例 1. 求证：sinsincossin()sinsinABAABAAB222。证明：左边sinsin()cossin()AABAAABsinsin() coscos()sincossin()sincos()sinsinAABAABAAABAABAAB1222例 2. 求证：coscoscoscosABABAB22221证明：左边cos()cos()ABABABAB2222(coscossinsin)(coscossinsin)coscossinsincoscos(cos)(cos)coscosABABABABABABABABABABABABABABABABABAB222222222222

22、22121222122222222222. 单角化倍角单角化倍角的主要角度换式有2。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 16 / 19 例 3. 求证：122sincottanxxx证明：左边cossincoscos()sincosxxxxxxx222coscossinsinsincos222xxxxxxcottan2xx例 4. 求证：232sincoscostantanAAAAA证明：左边2222sin()c

23、oscosAAAA1222222coscos(sincoscossin)sincossincostantanAAAAAAAAAAAA3. 倍角化复角倍角化复角常用的角变换式有：22()()()()，例 5. 已知cos()cos()4545，且()2，()322，求coscos22，。解：因为cos()()452，所以sin()cos ()1352又因为cos()()45322，所以sin()cos ()1352所以coscos()()2cos()cos()sin()sin()()()45453535725所以coscos()()2cos()cos()sin()sin()()()4545353

24、514. 复角化复角复角化复角内容丰富，但主要有以下三组变换式：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 17 / 19 22()()，222222()()()()，()()()()()()442442，例 6. 已知cottan()225，求tan()2之值。解：因为cot2，所以tantan()1235，所以tan()tan()22tan()tantan()tantan()()()1122511225112例 7.

25、 已知cos()sin()219223，并且20，试求cos2之值。解：因为20，所以42422，因为cos()sin()219223，所以sin()cos ()()21211949522c o s()si n()()2121235322所以coscos()()222cos() cos()sin()sin()()222219534 59237 527名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - - - - - 18 / 19 例 8. 已

26、知43404，且sin()cos()4354513，求sin()之值。解：因为43404，所以24442，所以sin()cos()4354513，所以cos()sin ()4142135452( )si n ()cos ()()4141513121322所以sin()cos()cos()()cos()cos()sin() sin()2444444455132312135665在有些三角问题中，有时既要把单角化为复角，同时又要把复角化为复角。例 9. 已知32sinsin()，求证：tan()tan2。证明：因为32sinsin()所以3sin()sin()所以3sin()coscos()sin

27、sincos()cossin()所以2sincos()cossin()所以tan()tan2由以上数例可以看到，应用变角代换技巧，常可优解一些三角问题。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 19 / 19 选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按 ctrl 点击打开 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -