2022年高考数学二轮复习小题精做系列之数列数学归纳法与极限 .pdf

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1、江西省 高考数学二轮复习小题精做系列之数列、 数学归纳法与极限1一基础题组1. 【上海市黄浦区20XX届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列na是公差为2 的等差数列，若6a是7a和8a的等比中项，则na=_. 2. 【上海市嘉定区20XX届高三上学期期末质量调研（一模） 数学（理） 试卷】已知数列na的前n项和2nSn（*Nn） ，则8a的值是 _3. 【上海市嘉定区20XX届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】若nnrr12lim存在，则实数r的取值范围是 _4. 【虹口区2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】在nnnCBA名师资料总结

2、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 34 页 - - - - - - - - - 中，记角nA、nB、nC所对的边分别为na、nb、nc，且这三角形的三边长是公差为1 的等差数列，若最小边1nan，则nnClim（） .A2.B3.C4.D65. 【上海市浦东新区20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】221lim2nnnn_. 6. 【上海市普陀区20XX届高三上学期12 月质量调研数学 （理）试题】若圆1) 1(22yx的圆心到直线:nl0ny

3、x（*Nn）的距离为nd，则nndlim . 【答案】 1 【解析】试题分析：圆心为(0,1)，21nndn，221limlim1111nnnnn考点：点到直线距离公式，极限7. 【 2013学 年 第 一 学 期 十 二 校 联 考 高 三 数 学 （ 理 ） 考 试 试 卷 】 计 算 ：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 34 页 - - - - - - - - - 2(1)(1 3 )lim(2)(1)nnnn nn_8. 【上海市浦东新区201320

4、14 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知数列na中，11a，*13,(2,)nnaannN，则na=_. 9. 【 2013 学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】设正项数列na的前 n 项和是nS, 若na和nS都是等差数列 , 且公差相等 ,则1a=_. 【答案】14【解析】试题分析： 等差数列na的公差为d，则21()22nddSnan，21()22nddSnan，数列nS是等差数列，则nS是关于n的一次函数（或者是常函数），则102da，2ndSn，从而数列nS的公差是2d，那么有2dd，0d（舍去）或12d，114a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

5、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 34 页 - - - - - - - - - 考点：等差数列的通项公式10. 【 上 海 市 十 三 校20XX年 高 三 调 研 考 数 学 试 卷 （ 理 科 ）】 计 算 ：2211lim ()12nnnnn=_11. 【上海市十三校20XX年高三调研考数学试卷（理科）】设正数数列na的前n项和是nS,若na和nS都是等差数列 , 且公差相等 , 则da1_ _. 12. 【 2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】计算：210li

6、m323xnn= . 【答案】23【解析】试题分析： 这属于 “”型极限问题， 求极限的方法是分子分母同时除以n（n的最高次幂），化为一般可求极限型，即210lim323xnn1022lim2333nnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 34 页 - - - - - - - - - 考点：“”型极限13. 【 2013 学 年 第 一 学 期 徐 汇 区 学 习 能 力 诊 断卷 高 三 年 级 数 学学 科 （ 理 科 ） 】 如 果1111112312n

7、f nnn(*nN) 那么1f kfk共有项. 14. 【上海市杨浦区20132014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】计算：133limnnn15. 【上海市长宁区20132014 第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】已知数列nnba,都是公差为1 的等差数列 , 其首项分别为11,ba, 且, 511ba,11Nba设),(Nnacnbn则数列nc的前 10 项和等于 _. 【答案】85【解析】试题分析：数列nc到底是什么暂时不知，因此我们试着把其前10 项的和10S表示出来，1210bbSaa10ba11121(1)(1)(1)nababab1121010()1

8、0abbb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 34 页 - - - - - - - - - 111091010102ab1110()45 1085ab. 考点：等差数列的通项公式与前n和公式 .二能力题组1. 【上海市黄浦区20XX届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列na满足Nnnaannn,11，则数列na的前 2016 项的和2016S的值是 _可行，由此我们可得2016S1234()()kkkkaaaaaaa20(aa2015a2016

9、)a(222)(226)(22(42)(222014)k25044(1351007)1017072名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 34 页 - - - - - - - - - 考点：分组求和2.【上海市嘉定区20XX 届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1） ） ；二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2）

10、） ；将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图 （图（3） ） ；, ；重复上述作图方法，依次得到四级、五级、, 、n级分形图则n级分形图的周长为 _3. 【虹口区2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知函数2sin)(2nnnf，且) 1()(nfnfan，则2014321aaaa【答案】4032【解析】试题分析： 考虑到sin2n是呈周期性的数列，依次取值1,0,1,0,，故在122014aaa时要分组求和，又由na的定义，知1352013aaaa(1)(2)(3)(4)(2013)(2014)ffffff2222221357200920

11、1120131(53)(53)(97)(97)图（ 1）图（ 2）图（ 3）,名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 34 页 - - - - - - - - - (20132011) (20132011)12(357920112013)110062016，242014aaa(2)(3)(4)fff(5)(2014)(2015)fff2222352013201522(352013)20152100620062015，从而12aaa12220154032考点：周期数

12、列，分组求和4. 【虹口区2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题】已知na是各项均为正数的等比数列，且1a与5a的等比中项为2， 则42aa的最小值等于5.【上海市长宁区20132014第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】数列na满足*,5221.2121221Nnnaaann，则na . 6. 【上海市浦东新区20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】已知名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 34 页 -

13、- - - - - - - - 函数,1)(22xxxf则111112(2013)20142320132014ffffffffKL（） (A) 201021 (B) 201121 (C) 201221 (D) 2013217. 【上海市普陀区20XX届高三上学期12 月质量调研数学 （理）试题】数列na中，若11a，nnnaa211（*Nn） ，则)(lim221nnaaa . 8. 【上海市普陀区20XX届高三上学期12 月质量调研数学（理）试题】数列na的前n项和为nS，若2cos1nnan（*Nn） ，则2014S . 【答案】 1006 【解析】试题分析：组成本题数列的通项公式中，有式

14、子cos2n，它是呈周期性的，周期为4，因此名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 34 页 - - - - - - - - - 在求和2014S时，想象应该分组，依次4个为一组，12341( 12 )1( 14 )aaaa6，56781 (16)1 (1 8)6aaaa，43424141 1 (42)1(1 4 )kkkkaaaakk6， 最后还剩下20131a，2014120142013a， 所以20146 503 120131006S考点：分组求和9. 【

15、2013 学 年 第 一 学期 十 二 校 联 考 高 三 数 学 （ 理 ） 考 试试 卷 】 若 数 列na满 足：111,2()nnaaanN，则前 6 项的和6S .（用数字作答）10. 【上海市十三校20XX年高三调研考数学试卷（理科）】等差数列na中，1102,15aS，记2482nnBaaaa，则当n_时，nB取得最大值 . 11. 【 上 海 市 十 三 校20XX 年 高 三 调 研 考 数 学 试 卷 （ 理 科 ）】 已 知 函 数2318,3133,3xtxxfxtxx，记*naf nnN，若na是递减数列，则实数t的取名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

16、- - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 34 页 - - - - - - - - - 值范围是 _. 12. 【上海市十三校20XX 年高三调研考数学试卷（理科）】已知无穷数列na具有如下性质 : 1a为 正 整 数 ； 对 于 任 意 的 正 整 数n, 当na为 偶 数时 ,12nnaa; 当na为 奇数时,112nnaa. 在数列na中，若当nk时，1na，当1nk时，1na（2k，*kN） ，则首项1a可取数值的个数为（用k表示）三拔高题组1. 【虹口区2013 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质

17、量监控测试题】数列na是递增的等差数列，且661aa，843aa（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS的最小值；（3）求数列na的前n项和nT【答案】 (1)210nan； （2）20； （3）229 ,15,*,940,6,*,nnnnnNTnnnnN名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 34 页 - - - - - - - - - 【解析】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -

18、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 34 页 - - - - - - - - - 2. 【上海市普陀区20XX届高三上学期12 月质量调研数学 （理）试题】已知数列na中，13a，13 2nnnaa，*nN. （1）证明数列2nna是等比数列，并求数列na的通项公式；（2）在数列na中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；（3）若1rs且r，*sN，求证：使得1a，ra，sa成等差数列的点列, r s在某一直线上 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

19、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 34 页 - - - - - - - - - （2）假设在数列na中存在连续三项成等差数列，不妨设连续的三项依次为1ka，ka，1ka（2k，*kN） ，由题意得，112kkkaaa，将1) 1(2kkka，211) 1(2kkka，kkka)1(211代入上式得 ,7 分)1(2) 1(2) 1(2 21211kkkkkk,8 分化简得，21)1(42kk，即11) 1(42kk，得4)2(1k，解得3k所以，存在满足条件的连续三项为2a，3a，4a成等比数列。,10 分3. 【上海市十三校20XX年高三调研考数

20、学试卷（理科）】 已知无穷数列na的前n项和为nS，且满足2nnnSAaBaC，其中A、B、C是常数 . （1）若0A，3B，2C，求数列na的通项公式；（2）若1A，12B，116C，且0na，求数列na的前n项和nS；（3）试探究A、B、C满足什么条件时，数列na是公比不为1的等比数列 . 【答案】（1）13()2nna； （2）24nnS； （3）0A，11qBq或12或0，0C名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 34 页 - - - - - - -

21、- - （3）若数列na是公比为q的等比数列，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 34 页 - - - - - - - - - 4. 【 2013 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）】称满足以下两个条件的有穷数列12,na aa为2,3,4,n n阶“期待数列” ：1230naaaa；1231naaaa. （1）若等比数列na为2*k kN阶“期待数列” ，求公比q及na的通项公式；（2）若一个等差数列na既是2*k kN阶“期待数列”

22、又是递增数列，求该数列的通项公式；（3）记n阶“期待数列”ia的前k项和为1,2,3,kSkn：（i ）求证：12kS；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 34 页 - - - - - - - - - （ii ）若存在1,2,3,mn使12mS，试问数列kS能否为n阶“期待数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由. 【答案】（1）或；（2）；（3） （i ）证明见解析； （ii ）不能，证明见解析试题解析：（1）若，由得，得，矛盾 -1分若，则由

23、=0，得，-3分由得或名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 34 页 - - - - - - - - - 所以，数列的通项公式是或-4分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 34 页 - - - - - - - - - 记数列kS(1,2,3, )kn的前k项和为kT，则由（ i ）知，12kT，1212mmTSSS，而12m

24、S，1210mSSS，从而1210maaa，12ma，又1212mmnaaa，则12,0mmnSSS，-16分123123nnSSSSSSSS，1230nSSSS与123nSSSS1不能同时成立，所以，对于有穷数列12,(2,3,4,)na aan，若存在1,2,3, mn使12mS，则数列na的和数列kS(1,2,3, )kn不能为n阶“期待数列” -18分考点：（1）等比数列的前n和公式与通项公式； （2）等差数列的前n和公式与通项公式； （3）数列综合题5. 【上海市黄浦区20XX届高三上学期期末考试（即一模）数学（理）试题】已知数列na，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -

25、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 34 页 - - - - - - - - - 满足62a，naaaannnn11111Nn，（1）已知1111,(*)(1)nnabbnNn n，求数列nb所满足的通项公式；（2）求数列na的通项公式；（3）己知02limnnn，设ncnanc(*)nN，常数0,ccR, 若数列nc是等差数列，记23123nnnSccc cc cc c，求limnnS. 【答案】（1）1,112,21nnbnn； （2）(21)nann； （3）49.【解析】试题分析：（1）这属于数列

26、的综合问题，我们只能从已知条件出发进行推理，以向结论靠拢，由 已 知11111nnnnaaaan可 得1(1)(1)(1)nnnanan， 从 而 当1n时 有 结 论11(1)(1)nnaannn nn11n，很幸运，此式左边正好是1nnbb，则此我们得到了数列nb的相邻两项的差1nnbb，那么为了求nb，可以采取累加的方法（也可引进新数列）求得，注意这里有2n，对1b要另外求得；（2）有了第（ 1）小题nb，那么求na就方便多了，因为(1)nnan nb，这里不再累赘不； （3）在（ 2）基础上有(21)nnncnc，我们只有求出c才能求出nS，这里可利用等差数列的性质， 其通项公式为n的

27、一次函数（当然也可用等差数列的定义）求出12c，从而得到2ncn，那么和nS的求法大家应该知道是乘公比错位相减法，借助已知极限lim02nnn可求出极限limnnS. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 34 页 - - - - - - - - - 1,112,21nnbnn. （说明：这里也可利用1111111(1)11nnnnbbbbnnnn，依据递推，得21112(2)111nnbbbnnn）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

28、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 34 页 - - - - - - - - - 6. 【上海市长宁区20132014 第一学期高三教学质量检测数学试卷（理科）】 由函数)(xfy确定数列na，)(nfan. 若函数)(1xfy能确定数列nb，)(1nfbn， 则称数列nb是数列na的“反数列” . （1）若函数xxf2)(确定数列na的反数列为nb，求.nb；（2）对（ 1）中的nb，不等式)21 (log21111221abbbannn对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；（3） 设) 12(2)1(132

29、)1(1ncnn（为正整数）， 若数列nc的反数列为nd，nc与nd的公共项组成的数列为nt（公共项qpkdctqpk,为正整数），求数列nt的前n项和nS. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 34 页 - - - - - - - - - （3）当为奇数时，12ncn，)1(21ndn. ,11分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2

30、3 页，共 34 页 - - - - - - - - - 由)1(2112qp，则34pq，即nndc，因此12ntn，,13分所以.2nSn,14分当为偶数时，nnc3，ndn3log. ,15分由qp3log3得pq33，即nndc，因此nnt3，,17 分所以).13(23nnS,18分考点：（1）反函数；（2）数列的单调性； （3）分类讨论，等差数列与等比数列的前n项和7.【上海市嘉定区20XX 届高三上学期期末质量调研（一模）数学（理）试卷】数列na的首 项 为a（0a） ， 前n项 和 为nS， 且aStSnn 1（0t） 设1nnSb，nnbbbkc21（Rk） （1）求数列na

31、的通项公式；（2）当1t时，若对任意*Nn，|3bbn恒成立，求a的取值范围；（3）当1t时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得nc为等比数列，且a，t，k成等差数列名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 34 页 - - - - - - - - - 02)3)(3(ann，可分类（1,2,3,4nnnn）分别求出a的范围，最后取其交集即得；（ 3）考查同学们的计算能力，方法是一步步求出结论，当1t时，1nnaat，(1)1nnatSt，(1)11nnatbt

32、111naattt，最后用分组求和法求出12nnckbbb121(1)1natatntt22(1)(1)ktatt，根据等比数列的通项公式的特征一定有0)1 ()1 (,01122tattktta，再加上三个正数a，t，k成等差数列，可求出a，t，k，这里考的就是计算，小心计算名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 34 页 - - - - - - - - - （3）当1t时，ttaSnn1)1(，tattattabnnn11111)1(，名师资料总结 - -

33、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 34 页 - - - - - - - - - 8. 【上海市浦东新区20132014 学年度第一学期期末质量抽测高三数学试卷（理卷）】设项数均为k（*2,kkN）的数列na、nb、nc前n项的和分别为nS、nT、nU. 已知集合1212,kka aab bb=2, 4, 6,42,4 kk. （1）已知nnnU22，求数列nc的通项公式；（2）若22nnnSTn*(1,)nk nN，试研究4k和6k时是否存在符合条件的数列对（na，nb） ，并

34、说明理由；（3） 若*2 ( 1,)nnabnnk nN， 对于固定的k， 求证：符合条件的数列对 （na，nb）有偶数对 . 【答案】（1）14,122, 2nnncnk； （2）4k时，数列na、nb可以为（不唯一）6,12,16,14； 2,8,10,4，6k时，数列对（na，nb）不存在 . （3）证明见解析名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 34 页 - - - - - - - - - 【解析】 6,12,16,14；2,8,10,4 16, 10

35、,8,14；12,6,2,4 ,8 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 34 页 - - - - - - - - - 当6k时，11122222(1 1)kkkkkab01221111112kkkkkkkCCCCC012211122()4kkkCCCkk(1)(4)44kkkk此时ka不存在 . 故数列对（na，nb）不存在 . ,10 分另证：1122224284kkkkkabkk当6k时，012101222()kkkkkkkkkkkCCCCCCCC22

36、84kkk9. 【2013 学年第一学期十二校联考高三数学（理）考试试卷】已知数列na具有性质：1a为整数；对于任意的正整数n，当na为偶数时，12nnaa；当na为奇数时，112nnaa. （ 1）若1a为偶数，且123,a aa成等差数列，求1a的值；（ 2）设123ma(3m且mN) ，数列na的前n项和为nS，求证：123mnS；（ 3）若1a为正整数，求证：当211logna(nN) 时，都有0na. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 34 页

37、- - - - - - - - - 故对于给定的m，nS的最大值为121mmaaaa123010(23)(21)222(222 )4mmmmmm名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 34 页 - - - - - - - - - 112142321mm，所以123mnS（6 分）10. 【上海市杨浦区20132014 学年度第一学期高三年级学业质量调研数学试卷（理科）】设nS是数列na的前n项和，对任意*Nn都有paabknSnn12成立， ( 其中k、b、p是

38、常数 ) （1）当0k，3b，4p时，求nS；（2）当1k，0b，0p时，若33a，915a，求数列na的通项公式；设数列na中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是 “数列” . 如果212aa，试问：是否存在数列na为“数列”，使得对任意*Nn，都有0nS，且12311111111218nSSSS若存在，求数列na的首项1a的所有取值构成的集合；若不存在，说明理由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 31 页，共 34 页 - - - - - - - -

39、- （2）当1k，0b，0p时，112()2()nnn aaaaa，用1n去代n得，11121(1)()2()nnnnaaaaaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 32 页，共 34 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 33 页，共 34 页 - - - - - - - - - 又1181211a，14a或16a或18a或110a,.17 分所以，首项1a的所有取值构成的集合为10, 8,6, 4, 18 分（其他解法 , 可根据【解】的评分标准给分）考点： (1) 已知nS与na的关系，求na和nS；(2) 等差数列的通项公式，前n项和nS. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 34 页，共 34 页 - - - - - - - - -