2022年高二数学不等式的证明 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载高二数学不等式的证明(二)本周学习内容不等式证明中的综合证明方法：1. 换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。2. 放缩法：理论依据：ab,bca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。3. 反证法：理论依据：命题“p”与命题 “ 非 p” 一真、一假，证明格式反证 ：假设结论 “p”错误， “ 非 p” 正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得到假设不正确，原命题正确。4. 数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。证明格式：(1) 当 n=n0时，命题成立；(2) 假

2、设当 n=k 时命题成立；则当 n=k+1 时，证明出命题也成立。由 (1)(2) 知：原命题都成立。本周教学例题一、换元法：1. 三角换元：例 1. 求证：证一： (综合法 ) 即：证二： (换元法 )-1x1 令 x=cos,0, 则 -1sin21 例2. 已知x0，y0，2x+y=1 ，求证：分析：由于条件给出了x0 ，y0，2x+y=1 ，故如何使用2x+y=1 这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x0 ，y0,2x+y=1的条件也可用三角代换。证一：证二：由x0,y0 ，2x+y=1 ，可设名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

3、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载则例 3. 若 x2+y21 ，求证：证：设则例4.若x1 ， y1 ， 求 证 ：证：设则例 5. 已知：a1,b0，a-b=1，求证：证： a1,b0,a-b=1 ，不妨设则小结：若0 x1 ，则可令若 x2+y2=1，则可令x=cos， y=sin(0 2)若 x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0 0，则证：设则即原式成立小结：还有诸如“ 均值换元 ”“设差换元 ” 的方法。二、放缩法：例7.若a,b,c,dR+，求证：证：记a,b

4、,c,dR+1m2 时，求证： logn(n-1)logn(n+1)2 logn(n-1)0 ，logn(n+1)0 n2 时， logn(n-1)logn(n+1)1 例 9. 求证：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载证：三. 反证法例10.设 0a,b,c1，求证： (1-a)b,(1-b)c,(1-c)a ，不可能同时大于证：设则三式相乘：又0a,b,c0 ，ab+bc+ca0，abc0，

5、求证： a,b,c0 证：设 a0， bc0 ，则 b+c=-a0 ab+bc+ca=a(b+c)+bc0 矛盾，必有a0 同理可证： b0，c0 四 . 构造法：1. 构造函数法例 12. 已知 x0 ，求证：证：构造函数由名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载显然上式 0 f(x)在上单调递增，左边例 13. 求证：证：设用定义法可证：f(t) 在上单调递增，令：3t10 则有两个实根。例 15

6、. 求证：证：设当 y=1 时，命题显然成立，当 y1时，=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y- 3) 0综上所述，原式成立。(此法也称判别式法) 例 16. 已知 x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xyac+bd证一： (分析法 )a,b,c,d,x,y 都是正数要证： (xy) ac+bd只需证即： (a2+b2)(c2+d2) a2c2+b2d2+2abcd 展开得： a2c2+b2d2+a2d2+b2c2a2c2+b2d2+2abcd 即： a2d2+b2c2 2abcd名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

7、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载由基本不等式，显然成立 xyac+bd证二：(综合法)证三： (三角代换法 ) x2=a2+b2， 不妨设y2=c2+d2五. 数学归纳法：例17. 求证：设 nN，n2 ，求证：分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。证：当 n=2 时，左边，易得：左边右边。当 n=k 时，命题成立，即：成立。当 n=k+1 时，左边又；且 4(k+1)2(2k+3)(2k+1) ；于是可得：即当 n=k+1 时，命题也成立；综上所述，该命题

8、对所有的自然数n2 均成立。本周参考练习证明下列不等式：1. 提示：令，则 (y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用法，分情况讨论。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载2. 已知关于x 的不等式 (a2-1)x2-(a-1)x-10， y0，x+y=1 ，则提示：左边令 t=xy ，则在上单调递减4. 已知 |a| 1，|b| 1，求证：，提示：用三角换元。5. 设 x0， y0，求证：

9、abc，则10. 左边名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载11. 求证：高二数学不等式的应用三. 关于不等式的应用：不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：1. 会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“ 正数 ” 、

10、“ 定值 ” 、“ 等号 ” 出现的条件和成立的要求，其中“ 构造定值 ” 的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。2. 会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。3. 通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。四、不等式的应用问题举例：例 10. 已知 a、b 为正数，且a+b=1，求最大值。分析： 在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。解：由可得；小结：如果本题采用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

11、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载两式相加而得：；则出现了错误：“=”号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。例 11. 求函数的最小值。分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。解：即 f(x) 最小值为-1 此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x 的取值范围 (当取的某一个子集时 )，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。例 12. 若 4a2+3b2=4，试求 y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4 拆分成与 (

12、2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。解：当且仅当： 4a2+2=3b2+6，即时取等号， y 的最大值为8。小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 13. 已知 x.y0 ，且 x y=1 ，求的最小值及此时的x、y 的值。分析：考查分式

13、的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。解： xy0 x-y0 又 x y=1，也即：；当且仅当时取等号。也即；时，取等号。例 14. 设 x， y，zR+，x+y+z=1 ，求证：的最小值。分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。2. 另一个途径是直接进行1 的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用 1 的构造代入。解： x，y，zR+，且 x+y+z=1 当且仅当时，取 “=”号，的最小值为9。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名

14、师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载小结：本题如果采用三式类加，得到：，由 x，y，zR+，且 x+y+z=1 得：。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。例 15. 已知 a0,a2-2ab+c2=0，bca2，试比较a，b，c 的大小。分析： 此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。解：由 a2-2ab+c2=0 可得， a2+c2=2ab 2ac又 a0,bc,( 当且仅当a=c 时，取等号 )再由： b

15、ca2可知， bc,ba 再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0 得： b2c2，结合： bc 可得： bc0 又由 ba 可得： 2ab2a2，综上所述，可得：bca 小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。例 16. 某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内， 沿左， 右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则

16、 ab=800 蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b) 所以当 a=2b，即 a=40(m),b=20(m) 时，=648(m2) 答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为 648m2. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 17. 某企业 2003 年的纯利润为500 万元，因设备老化等原因，企业

17、的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20 万元，今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为()设从今年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元 (须扣除技术改造资金)，求 An、Bn的表达式；()依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有

18、着较高的要求。解： ()依题设， An=(500-20)+(500- 40)+ +(500-20n)=490n-10n2；()因为函数上为增函数，当 1n3 时，当 n4时，仅当 n4时， BnAn。答： 至少经过4 年， 该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载小结： 如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行

19、分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。五、本周参考练习1. 已知 a0 ,b0,a+b=1 ，证明：2. 如果 ABC 的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证：3. 已知 a、b、 c 分别为一个三角形的三边之长，求证：4. 已知 x，y 是正数， a，b 是正常数，且满足：，求证：5. 已知 a，b， cR+，求证：6. 已知 a0，求的最值。 (答最小值为) 7. 证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面 )的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。8. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是

20、边长分别为x，y(单位： m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问 x、y 分别为多少 (精确到 0.001m)时用料最省？(答：当 x 为 2.34m，y 为 2.828m 时，用料最省。) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载高二数学练习三1. xR，那么 (1-|x|)(1+x)0的一个充分不必要条件是( ) A. |x|1 B. x1 D. x-1 或 |x|0，

21、则：的值 ( ) A. 一定是正数B. 一定是负数C. 可能是 0D. 无法确定3. 已知 a,b,c 是 ABC 的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0() A. 有两个不相等的实根B. 有两个相等的实根C. 没有实数根D. 要依 a，b，c 的具体取值确定4. 设 0aBD. A0,b0.c0 ，a+b+c=1 ，则的最大值为 _ 10. 使不等式都成立的a 与 b 的关系是 _ 答案：1. A 2. B 3. C 4. D 5. C 6. B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

22、 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载7. D 8. 9. 10. ab0 且 a-b1 高二数学周末练习四1. 若 a， bR 且 ab ， 则在 (1)a2+ab2b2； (2)a5+b5a3b2+a2b3； (3)a2+b2 2(a -b-1)； (4)；这四个式子中一定成立的有() (A)4 个(B)3 个(C)2 个(D)1 个2. 直线 y=ax+b(a0 ，a+b=0)的图象是 () 3. 若，则 a+b 的最小值为 () (A)6(B)12 (C)16 (D)24 4. 直线 Ax+By-1=0在 y 轴

23、上的截距为-1， 而且它的倾斜角是直线的倾斜角的 2 倍，则 ( ) (A)(B)(C)(D)5. 若，则 x+y 的最小值为 ( ) (A)8 (B)(C)2(D)4 6. 设 A、 B 是 x 轴上的两点， 点 P的横坐标为2， 且|PA|=|PB| ， 若直线 PA 的方程为x-y+1=0 ，则直线 PB 的方程是 ( ) (A)2x-y-4=0 (B)2x-y-1=0(C)x+y-5=0 (D)2x+y-7=0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 2

24、3 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载7. 若实数 m，n，x，y 满足 m2+n2=a，x2+y2=b，a0 ，则 mx+ny 的最大值是 () (A)(B)(C)(D)8. 设 a，b，c，d，m， n 均为正数，则 ( ) (A)p q (B)p q (C)p0，证明：16. 已知点为P(x1，y1)在直线 l：ax+by+c=0(a0) 的左方，求证：ax1+by1+c0 参考答案1.D 2.D 3.C 4.B 5.D 6.C 7.B 8.A 9. 1，0 10. 11. -1a1 12. 11013. 解法 1：由已知可设直线L 的方程为：名师资料总结 - -

25、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载或或设：此题错解：当且仅当a=b 时 a+b 最小，所以由有 a=b=5，所以所求直线方程为：x+y-5=0 解法 2：由已知可知直线的斜率存在且为负数，设直线方程为：y=k(x-1)+4(kb，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. a|c|b|c| 2. 已知过两点A(-m,6) ，B(1,3m) 的直线的斜率为，则 m 的值为 ( ) A. B. C. D. 3

26、. 经过两点 (-1,1) 、(3,9)的直线在 x 轴上的截距为( ) A. B. C.D. 2 4. 方程 Ax+By+c=0表示倾斜角为锐角的直线，则必有( ) A. AB0 B.AB0 且 B0 或 B2x(xR);a5+b5a3b2+a2b3(a,bR);a2+b2 2(a -b-1)(a,bR)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载，其中正确命题的个数是( ) A.0 B. 1 C.

27、D. 3 6. 若 0a10 B. logab+logba-20 C. logab+logba+2 0 D. logab+logba+2b0，m0，则下列不等式成立的是() A. B. C. D. 9. 已知点 O(0，0)，A(1 ，-2)，动点 P 满足 |PA|=3|PO|，则 P 点的轨迹方程为() A. 8x2+8y2+2x-4y-5=0B. 8x2+8y2-2x-4y-5=0 C. 8x2+8y2+2x+4y-5=0D. 8x2+8y2-2x+4y-5=0 10. 平行四边形两条邻边所在直线的方程为x+y+1=0 和 2x-y+3=0 ，且对角线交点为(2,2)，则平行四边形另外两

28、条边所在直线方程为() A. x+y+9=0 和 2x-y-7=0 B. x+y-9=0和 2x-y-7=0 C. x+y-5=0和 2x-y+11=0 D. x+y+3=0 和 2x-y-6=0 11. 直线 l 过 A(4,1) 、B(3，a2)(aR)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 12. 过点 (-2,1)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( ) A. 1 条B. 2 条C. 3 条D. 4 条二、填空题13. 直线 l 的斜率为，且过点 (1,0)，则直线l 的方程为 _ 14. 过点 P(-1,3)的直线 l 与两坐标轴分别交于A、B，线段

29、 AB 中点恰是P，则直线l 的方程为_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载15. 已知 x1，则函数的最小值是 _ 16. 将曲线 C 的参数方程化为普通方程是_ 17. 直线 y=kx-1 与曲线 y=|x|在第一象限有交点，则k 的取值范围是_ 18. 函数的最小值为 _ 三、解答题19. 求证： (ax+by)2 (a2+b2)(x2+y2) 20. 直线 l 过点 A(3,2) 且被

30、 l1： x-3y+10=0 和 l2：2x-y-8=0 所截得的线段恰以A 为中点，求直线 l 的方程。21. 点 A 是直线 l：y=3x 上一点，且在第一象限，B 的坐标为 (3,2)，直线 AB 交 x 轴正半轴于 C，求使 SAOC最小时点A 的坐标。22. 已知： a、b 为不等的正数，且a3-b3=a2-b2，证明：参考答案：1 2 3 4 5 6 C A A B C C 7 8 9 10 11 12 B B A B D C 13. x+2y-1=0; 14. 3x-y+6=0; 15. 16. xy=1 ，17. 18. 19. (略 ) 20. l 与直线 l1、l2交于 M

31、(x1，y1)，N(x2，y2)MN 以 A 为中点，所以 k1=2，直线方程为2x+y-8=0 21. 设 A(m,3m)m0 (1) 当 m=3 时， l：x=3 ，此时名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(2) 当 m 3 时，l：当且仅当，SAOC取得最小值。22. 证明： a3-b3=a2-b2且 a、b 不等，所以a2-ab+b2=a+b 所以，又 (a+b)2-(a+b)=3ab0

32、 ，可得 a+b1 或 a+bb，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. a|c|b|c| 2. 已知过两点A(-m,6) ，B(1,3m) 的直线的斜率为，则 m 的值为 ( ) A. B. C. D. 3. 经过两点 (-1,1) 、(3,9)的直线在 x 轴上的截距为( ) A. B. C.D. 2 4. 已知下列不等式：x2+32x(xR);a5+b5a3b2+a2b3(a,bR);a2+b2 2(a -b-1)(a,bR)，其中正确命题的个数是( ) A.0 B. 1 C. D. 3 5. 已知正数x、 y 满足 x+y=1 ，则的最小值为 ( ) 名师资料总结 - -

33、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载A. 4B. 5 C. 6D. 7 6. 若 ab0，m0，则下列不等式成立的是( ) A. B. C. D. 7. 已知点 O(0，0)，A(1 ，-2)，动点 P 满足 |PA|=3|PO|，则 P 点的轨迹方程为( ) A. 8x2+8y2+2x-4y-5=0B. 8x2+8y2-2x-4y-5=0 C. 8x2+8y2+2x+4y-5=0D. 8x2+8y2-2x+4y-5

34、=0 8. 直线 l 过 A(4,1) 、B(3 ，a2)(aR)两点，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、填空题9. 直线 l 的斜率为，且过点 (1,0)，则直线l 的方程为 _ 10. 过点 P(-1,3)的直线 l 与两坐标轴分别交于A、B，线段 AB 中点恰是P，则直线l 的方程为_ 11. 已知 x1，则函数的最小值是 _ 12. 直线 y=kx-1 与曲线 y=|x|在第一象限有交点，则k 的取值范围是_ 三、解答题13. 求证： (ax+by)2 (a2+b2)(x2+y2) 14. 直线 l 过点 A(3,2) 且被 l1：x-3y+10=0 和

35、 l2： 2x-y-8=0 所截得的线段恰以A 为中点，求直线 l 的方程。参考答案1.C 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.A 8.D 9. x+2y-1=0 10. 3x-y+6=0 11. 12. (1，+)13. (略 ) 14. 20. l 与直线 l1、l2交于 M(x1，y1)， N(x2，y2)MN 以 A 为中点，所以 k=2，直线方程为2x+y-8=0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -