2022年高中常见抽象函数题型归纳 .pdf

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1、提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题1 抽象函数常见题型及解法没有明确给出解析式的函数统称为抽象函数。常见题型及其解法如下：一、函数性质法1.利用奇偶性整体思考；2.利用单调性等价转化；3.利用周期性回归已知；4.利用对称性数形结合；5.借助特殊点 . 二、特殊模型和抽象函数特殊模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0) f（xy） f（x） f（y）幂函数f(x)=xn f(xy)=f(x)f(y) 或 指数函数f(x)=ax (a0 且 a1) f(x+y)=f(x)f(y) 对数函数f(x)=logax (a0 且 a1) f(xy)=f(x)+f(y) 三、常用变换技巧

2、( )()()( )()()( )( )( )( )f yf xyf xyf xfxyyf xyf x fyf xf y四、经典例题及易混易错题型(一)定义域问题这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x ( )中的g x( )看作一个整体，相当于f x( )中的 x 这一特性，问题就会迎刃而解 . 例 1. 函数yf x( )的定义域为(，1，则函数yfxlog ()222的定义域是 _. 分析：因为log ()22x相当于f x( )中的 x，所以log ()2221x，解得22x或22x. 例 2. 已知函数)(2xf的定义域是 1，2 ，求 f（ x）的定义域 . 分析：已知函数的定义域是

3、A，求函数f(x) 的定义域 ,相当于求内函数的值域 .)(2xf的定义域是 1，2 ，是指21x，所以)(2xf中的2x满足412x,从而函数f（x）的定义域是1，4)y(f)x(f)yx(f)y(f)x(f)yx(f或)y(f)x(f)yx(f或)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf( )()( )( )( )()()( )()( )f xf xyf x fyf xfxyyf xy fyf xyf y)()()()()()(yfxfyxfyfxfyxf()( )( )( )()()( )()( )( )xxxf x yfxfyfxfyffyffxf yyyyxfx名师资料总结

4、 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题2 例 3.若函数) 1(xfy的定义域为)3 , 2，求函数)21(xfy的定义域 . 解析：由) 1(xfy的定义域为) 3, 2，知1x中的) 3, 2x，从而411x，对函数)21(xfy而言，有1124x，解之得：),21(31,(x. 所以函数)21(xfy的定义域为),21(31,(例 4.已知f x( )的定义域为(0)，1，则

5、yfxaf xaa()()(| |)12的定义域是 _. 分析：因为xa及xa均相当于f x( )中的 x，所以010111xaxaaxaaxa(1)当120a时，则xaa()，1(2)当012a时，则xaa()，1f x( )的定义域为(0)，1，意思是凡被f 作用的对象都在(0)，1中. 评析：已知f(x) 的定义域是A，求的定义域问题，相当于解内函数的不等式问题. 例 5.定义在上的函数f(x) 的值域为， 若它的反函数为f-1(x) ， 则 y=f-1(2-3x) 的定义域为 _，值域为 _. 答案 :(二)函数值问题1. 赋特殊值法求值例 1.已知f x( )的定义域为R，且f xy

6、f xf y()( )( )对一切正实数x，y 都成立，若f ( )84，则f (2)_. 分析：在条件f xyf xf y()( )( )中，令xy4，得ffff( )( )( )( )844244，f ( )42又令xy2，得fff(4)(2)(2)2，f (2)1例 2.设函数)(xf的定义域为,0，且对于任意正实数yx,都有)(xyf=)(xf)(yf恒成立。若已知xfx8 , 32, 28,3,34,0名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 22 页 -

7、 - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题3 1)2(f,试求：（1）)21(f的值 ;（2）)2(nf的值，其中n为正整数 . 分析：合理赋值，化抽象为具体，发现递推规律. （1）令1yx，则) 1() 1() 1(fff，0) 1(f. 再令x=2, y=21, 则)21()2()1(fff, .1)2()21(ff（2）由于2)21()21()2(2fff，,3)21()21()21()2(3ffff依此类推就有,)2(nfn其中n为正整数 . 例 3.已知定义域为R的函数 f （x） ， 同时满足下列条件： 51)6(1)2(ff，； )()()

8、(yfxfyxf，求 f（3） ，f（9）的值。解：取32yx，得)3()2()6(fff因为51)6(1)2(ff，所以54)3(f又取3yx得58)3()3()9(fff抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决. 2.利用周期函数求值例 4. 已知f x( )是定义在 R 上的函数，且满足：f xf xf x()( )( )2 11，f ( ) 11997，求f (2001)的值 . 分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x( )是周期函数，显然f x( )1，于是f xf xf x()( )( )211，f xf xf xfxfxfxfxf x()()()(

9、)( )( )( )( )412121111111所以f xf xf x()()( )814故f x( )是以 8 为周期的周期函数，从而fff(2001)()( )8250111997例 5.对任意实数x,y，均满足 f(x+y2)=f(x)+2f(y)2且 f(1) 0,则 f(2001)=_. 分析 :这种求较大自变量对应的函数值，一般从找周期或递推式着手：令 x=0,y=1, 得 f(0+12)=f(0)+2f(1)2, 令 x=y=0, 得：f(0)=0, f(1)=,)1 ( 2)() 1(, 1,2fnfnfynx得令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -

10、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题4 ,3.利用约分化简求值 .2000 .( ,原式 =16) (三)值域问题例 1. 设函数 f （x）定义于实数集上， 对于任意实数x、 y，)()()(yfxfyxf总成立， 且存在21xx，使得)()(21xfxf，求函数)(xf的值域。解：令 x=y=0 ，有 f(0)=0 或 f(0)=1 。若 f(0)=0 ，则f(x)=f(0+x)=f(x)f(0)=0恒成立，这与存在实数，使

11、得成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)=1。由于 f(x+y)=f(x)f(y)对任意实数x、y 均成立，因此，,又因为若f(x)=0, 则 f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x)=0与 f(0) 0 矛盾 ,所以 f(x)0. 3. 例 2.若函数 h(x),g(x) 均为奇函数， f(x) ah(x)+bg(x) 2 在（0，）上有最大值5，求 f(x) 在（， 0）上的最小值。解析：由于h(x),g(x) 均为奇函数，故ah(x)+bg(x) 也是奇函数，令F(x)=ah(x)+bg(x) ，则 f(x)=F(x)+2 。由 f(x)在（ 0，）上有最大值5 知， F(x)在（ 0，

12、）上有最大值为3。又因 F(x)是奇函数，故F(x)在（， 0）上有最小值为3从而 f(x) 在（， 0）上有最小值为1. (四)奇偶性问题根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x( )与fx()的关系 . f(x) 是偶函数与f(x+a) 是偶函数的区别： f(x+a) 为偶函数， 则 f(x+a)=f(-x+a) ；f(x) 是偶函数， 则 f(x+a)=f(-x-a). f(x) 是奇函数与f(x+a) 是奇函数的区别：f(x) 是奇函数，则f(-x-a)=-f(x+a) ；f(x+a) 为奇函数， f(-x+a)=-f(x+a). 如 f(2x+1) 是奇函数 : f(-2x+1)

13、=-f(2x+1). 原因如下：令g(x)=f(2x+1) ，即 g(x)是奇函数问题，即g(-x)=-g(x) ，即 f(-2x+1)=-f(2x+1). 例 1.已知f x( )的定义域为R，且对任意实数x，y 满足f xyf xf y()( )( )，求证：f x( )是偶函数。分析：在f xyf xf y()( )( )中，令xy1，得ffff( )( )( )( )11110令xy1，得ffff( )()()()11110于是fxfxff xf x()()()( )( )11故f x( )是偶函数。例 2.若函数yf xf x( )( ( )0与yf x( )的图象关于原点对称，求证

14、：函数yf x( )是偶函数。21.22001)2001(f,2n)n(f,21f(n)-1)f(n故即的值是则且如果)2001( f)2000(f)5( f)6(f)3(f)4(f) 1(f)2(f, 2) 1 (f),y(f )x(f)yx(f2(1)(2)(1)fff222(2)(4)(3)(6)(4)(8)(3)(5)(7)fffffffff( )2nf n21xx)()(21xfxf0)2()(2xfxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 22 页

15、- - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题5 证明：设yf x( )图象上任意一点为P（xy00，）,yf x( )与yf x( )的图象关于原点对称，P xy()00，关于原点的对称点()xy00，在yf x( )的图象上，0000()()yfxyfx， 又yf x00()，fxf x()()00即对于函数定义域上的任意x 都有fxf x()( )，所以yf x( )是偶函数。例 3.已知)(xfy是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的Rba,，都满足：)()()(abfbafbaf。判断)(xfy的奇偶性，并证明你的结论。解析：令1ba，则)

16、 1(1) 1(1) 11(fff，得0) 1(f；令1ba，则)1() 1() 1()1()1()1(fff，得0) 1(f；令1a，xb得) 1()() 1() 1(fxxfxf，得)()(xfxf因此函数)(xfy为奇函数。总结：赋值是解决多变量抽象函数的重要手段。例 4.已知 y=f(2x+1) 是偶函数，则函数y=f(2x) 的图象的对称轴是（D ）A.x=1 B.x=2 C.x= D.x=解析： f(2x+1) 关于 x=0 对称 ,则 f(x) 关于 x=1 对称 ,故 f(2x) 关于 2x=1 对称 . 注：若由奇偶性的定义看复合函数，一般用一个简单函数来表示复合函数，化繁为

17、简。F（x）=f(2x+1) 为偶函数，则f(-2x+1)=f(2x+1) f(x) 关于 x=1 对称。已知y=f(x) 是偶函数，则f(-2x-1) =f(2x+1). 例 5.已知函数f(x) 的定义域关于原点对称且满足，（2） 存在正常数a， 使 f(a)=1.求证： f(x) 是奇函数 . 证明：设t=x-y,则，所以 f(x) 为奇函数 . （五）单调性问题抽象函数的单调性多用定义法解决例 1.如果奇函数f x( )在区间37，上是增函数且有最小值为5，那么f x( )在区间73，上是A. 增函数且最小值为5B. 增函数且最大值为5C. 减函数且最小值为5D. 减函数且最大值为5根

18、据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解. 例 2.设函数( )yf x的定义域为R，且对任意实数m，n，总有()() ( )f mnf m f n，且当0 x时，0( )1f x2121)()(1)()()(1xfyfyfxfyxf)()()(1)()()()(1)()()()(tfxfyfxfyfyfxfxfyfxyftf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接

19、高考分层教学总结规律规范答题6 （1）证明：(0)1f，且当0 x时，( )1f x；（2）证明：( )f x在R上单调递减分析： 解决抽象函数问题，可借助具体的 “模型函数” 帮助同学们思考本题的 “模型函数” 为指数函数，同学们还没有学到它，不过没有关系，利用现有的知识同学们也同样能够解答证明：（1）在()() ( )f mnf m f n，m， nR中，令1m，0n，得(1)(1) (0)fff，即(1) (0)10ff，但(1 )f0，故必有(0)f1设0 x，则0 x，令mx，nx，代入条件式有(0)( ) ()1ff x fx，1( )()f xfx，由0 x时，0( )f x1

20、知x0 时， 0()fx1，1()fx1，即当0 x时，( )f x1（2）设任意12xx，R且12xx，则210 xx，210()1f xx，又2211211()()() ()f xfxxxf xxf x，故2211()()(01)()f xfxxf x，21()()f xf x，从而证得( )f x在 R 上单调递减例 3.设 f （ x） 定义于实数集上， 当0 x时，1)(xf， 且对于任意实数x、y，有)()()(yfxfyxf，求证：)(xf在 R 上为增函数。证明：在)()()(yfxfyxf中取0yx，得2)0()0(ff若0)0(f，令00yx，则0)(xf，与1)(xf矛盾

21、所以0)0(f，即有1)0(f当0 x时，01)(xf；当0 x时，01)(0 xfx，而1)0()()(fxfxf所以0)(1)(xfxf又当0 x时，01)0(f所以对任意Rx，恒有0)(xf设21xx，则1)(01212xxfxx，所以)()()()()(11211212xfxxfxfxxxfxf所以)(xfy在 R 上为增函数。评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师

22、精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题7 例 4. 已知函数( )f x的定义域为R， 且对mnR， 恒有()( )( )1f mnf mf n， 且102f，当12x时，( )0f x （1）求证：( )f x是单调递增函数； （2）试举出具有这种性质的一个函数，并加以验证分析：在学过的函数中一次函数满足上述条件，而一次函数具有单调性，从而根据题设条件运用函数单调性定义加以证明在证明的过程中为了扣紧题设条件，要有一定的变形技巧（1）证明：设任意12xxR，且12xx，则211122x

23、x，由题意，得21102fxx，2121112111()()()()()()1()f xf xfxxxf xf xxf xf x21212111()1()1()022f xxf xxffxx，( )f x是单调递增函数（2）解析：( )21f xx验证过程同学们可以自己试做一下例 5.设函数 f(x) 对任意实数x,y，都有 f(x+y)=f(x)+f(y),若 x0 时 f(x)0, 且 f(1)= -2, 求 f(x) 在-3，3上的最大值和最小值 . 解析 :由单调性的定义步骤设x1x2, 则 f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)0, f(x2-x1)0 时，

24、 f(x)1, 且对于任意实数x、y，有 f(x+y)=f(x)f(y)，求证： f(x) 在 R上为增函数。证明：设 R 上 x11 ，f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1),(注意此处不能直接得大于f(x1) ，因为 f(x1) 的正负还没确定) 。取 x=y=0 得 f(0)=0 或 f(0)=1; 若 f（0）=0,令 x0,y=0 ，则 f(x)=0 与 x0 时， f(x)1 矛盾，所以f(0)=1 ，x0时， f(x)10,x0，f(-x)1, 由，故 f(x)0 ，从而f(x2)f(x1). 即 f(x) 在 R 上是增函数。（注意与例3 的解答相比较，

25、体会解答的灵活性）例 7.已知函数f(x) 的定义域为R， 且对 m、 nR,恒有 f(m+n)=f(m)+f(n) 1,且 f()=0,当 x时， f(x)0.求证： f(x) 是单调递增函数；证明：设 x1x2,则 x2x1,由题意 f(x2x1)0,f(x2)f(x1)=f(x2x1)+x1 f(x1)=f(x2x1)+f(x1) 1f(x1)=f(x2 x1)1=f(x2 x1)+f( )1=f(x2x1)0,f(x) 是单调递增函数. 例 8. 定义在 R+上的函数f(x)满足 : 对任意实数m,f(xm)=mf(x); f(2)=1 。(1)求证 :f(xy)=f(x)+f(y)对

26、任意正数 x,y 都成立 ; (2)证明 f(x) 是 R+上的单调增函数; (3)若 f(x)+f(x-3) 2,求 x 的取值范围 . 解:(1)令 x=2m,y=2n, 其中 m,n 为实数 ,则 f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n，又0)(1)(1)()()0(xfxfxfxff得21212121212121名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范

27、答题8 f(x)+f(y)=f(2m)+f(2n)=mf(2)+nf(2)=m+n,所以 f(xy)=f(x)+f(y) ，故f(x1)f(x2), 即 f(x) 是 R+上的增函数。 (3)由 f(x)+f(x-3) 2 及 f(x) 的性质 ,得 fx(x-3) 2f(2)=f(2) ，解得3x4. （六）单调性与奇偶性综合例 1 已知偶函数f(x) 的定义域是 x0的一切实数， 对定义域内的任意x1,x2 都有，且当时， （1） f(x)在(0,+)上是增函数；（2）解不等式（1）设，则，即，在上是增函数（2），是偶函数不等式可化为，又函数在上是增函数， 0，解得：例 2.设是定义在上的

28、偶函数， 且在上是增函数， 又,求实数的取值范围 . 解析：又偶函数的性质知道：在上减，而，所以由得，解得。（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，可以作一些条件变换如：等；也可将定义域作一些调整）例 3.定义在 R 上的单调函数f(x) 满足 f(3)=log3 且对任意 x，yR 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) (1)求证 f(x) 为奇函数； (2)若 f(k 3)+f(3-9-2)0 对任意 xR 恒成立，求实数k 的取值范围(1)证明： f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y R)- 令 y=-x ，代入式，得f(x-x)=f(x)+f(-x)

29、=f(0)，令 x=y=0 ，代入式，得f(0+0)=f(0)+f(0) ，即f(0)=0 即 f(-x)=-f(x) 对任意 xR 成立， f(x)是奇函数(2) f(3)=log30，即 f(3)f(0) ，又 f(x) 在 R 上是单调函数，所以f(x) 在 R 上是增函数，又由(1)f(x) 是奇函数 f(k3)-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，k3-3+9+2，3-(1+k) 3+20 对任意 xR成立令t=30，即 t-(1+k)t+2 0 对任意 t0 恒成立,2x,2xnm,xx0:) 2(n2m121且使可令设证明0nm)2(f )nm()2(f)xx(f)x(f)x(

30、f)1(nm2121得由1212()()()f xxf xf x1x( )0,(2)1f xf2(21)2fx210 xx221111()()()()xfxfxfxfxx221111()()()()xxfxffxfxx210 xx211xx21()xfx021()()0f xf x21()()f xf x( )f x(0,)(2)1f(4)(2)(2)2fff( )f x2(21)2fx2(|21|)(4)fxf(0,)2|21| 4x10102|222xxx且)(xfR)0,() 123() 12(22aafaafa)(xf),0(0122aa01232aa) 123()12(22aafaa

31、f1231222aaaa30a)21() 1() 1 ()1(afaffaf或2xxx2xxxxxxxx2 xxx2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题9 故：对任意 xR 恒成立。说明： 问题 (2)的上述解法是根据函数的性质f(x) 是奇函数且在xR 上是增函数， 把问题转化成二次函数f(t)=t-(1+k)t+2 对于任意 t0 恒成立对二次函数f(t)进行研究

32、求解本题还有更简捷的解法：分离系数由 k3-3+9+2 得要使对不等式恒成立，只需k例 4 .已知 f(x) 是定义在 1，1上的奇函数，且f(1)=1, 若 a,b 1,1,a+b0 时，有0. (1)判断函数f(x) 在 1，1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论；(2)解不等式： f(x+) f(); (3)若 f(x) m22pm+1 对所有 x 1,1,p 1,1(p 是常数）恒成立，求实数m 的取值范围 . （1）设任意 x1,x2 1,1,且 x1x2.由于 f(x)是定义在 1，1上的奇函数， f(x2)f(x1)=f(x2)+f( x1). 因为 x10， f(x2)+f(

33、 x1)0,即 f(x2)f(x1), 所以函数f(x)在 1，1上是增函数。（2）由不等式f(x+)f()得,解得 1x0,即为所求 . （3）由以上知f(x) 最大值为f(1)=1, 所以要 f(x) m22pm+1 对所有 x 1,1,p 1,1(p 是常数 )恒成立，只需1 m22pm+1 恒成立，得实数m 的取值范围为m0 或 m2p. （七）周期性问题这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。常见结论 : （1） f(x+a)=f(x), 则 T=a(a 是非零常数 )。（2） f(x+a)=-f(x), 则

34、 T=2a(a 是非零常数 )。1(3) ()( )f xaf x,则 T=2a(a 是非零常数 )。221( )(1)2,2101(0)20,20,100,( )02(1)80122令其对称轴当即时，符合题意；1+k当时2对任意恒成立解得 -1kfttk txkkfktftkk31 2 2(3)(392) 0时，xxkf kf2xxx, 1221323, 1323xxxxuk而xR231.3xxk12 2babfaf)()(2111x)()()(1212xxxfxf2111x112111111211xxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -

35、- - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题10 周期性与对称性问题（由恒等式简单判断：同号看周期，异号看对称）编号周期性对称性1 T=2对称轴是偶函数；对称中心 （a,0）是奇函数2 T=对称轴；对称中心；3 f(x)= -f(x+a) T=2f(x)= -f(-x+a) 对称中心4 T=2对称中心5 f(x)= T=2f(x)= b-f(-x+a) 对称中心6 f(x)=1-T=3结论：(1) 函数图象关于两条直线x=a，x=b 对称，则函数y=f(x)

36、是周期函数，且T=2|a-b| (2) 函数图象关于点M(a,0)和点 N(b,0)对称，则函数y=f(x) 是周期函数，且T=2|a-b| (3) 函数图象关于直线x=a，及点 M(b,0) 对称，则函数y=f(x) 是周期函数，且T=4|a-b| (4) 应注意区分一个函数的对称性和两个函数的对称性的区别: y=f(a+x) 与 y=f(b-x) 关于对称； y=f(a+x) 与 y=-f(b-x) 关于点对称（可以简单的认为：一个函数的恒等式，对应法则下的两式相加和的一半为对称轴：两个同法则不同表达式的函数，对应法则下的两式相减等于0，解得的x 为对称轴）例 1. 已知函数满足，求的值。

37、解：已知式即在对称关系式中取，所以函数的图象关于点（ 0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数的图象关于点（2002，0）对称。axfaxfaaxfaxfaxy f x aaxfaxfy f x axbfxafabxbfxaf2baxxbfxaf)0,2(baa0,2axbfxafabxbfxaf0,2baxf1a2,2ba0)(1xfaxfa2abx)0,2(ab)(xfy2002)()(xfxf)2002()(11xfxfbxafxaf2)()(20020ba，)(xfy)(1xfy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

38、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题11 所以将上式中的x 用代换，得评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b 均为常数，函数对一切实数x 都满足，则函数的图象关于点（a，b）成中心对称图形。例 2.设函数f x( )的定义域为R， 且对任意的x， y 有f xyf xyf xf y()()( )( )2， 并存在正实数c，使fc( )20。试问f x( )是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。分析

39、：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：yxcos满足题设条件，且cos20，猜测f x( )是以 2c 为周期的周期函数。()()2()( )0222222()( )(2 )()( )ccccccfxfxf xff xcfxfxcfxcf x故f x( )是周期函数，2c 是它的一个周期。例 3.设)(xfy是定义在 R 上的奇函数，其图象关于直线1x对称。证明)(xfy是周期函数。证明：由)(xfy的图象关于直线1x对称，得)()2(xfxf，又)(xfy是定义在R 上的奇函数，所以)()(xfxf)()2(xfxf，则)()()2()2(2)4(xfxfxfxfxf由周期函数的定义可

40、知4 是它的一个周期。总结：一般地，)()(xfTxf,)(1)(xfTxf均可断定函数的周期为2T。例 4. 设 f(x) 是 R 上的奇函数，且f(x+3)=-f(x) ，求 f(1998)的值。解：因为 f(x+3)=-f(x) ， 所以 f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x)，故 6 是函数 f(x) 的一个周期。 又 f(x) 是奇函数，且在 x0 处有定义，所以f(x)=0 从而 f(1998)=f(6 333)=f(0)=0 。例 8.设 y=f (x) 是定义在实数集R 上的函数，且满足f (x) = f (x) 与 f (4 x)=f (x) ，若当 x0,

41、2时， f (x) =-x2 +1 ,则当 x6 , 4 时 f (x)= （）（A） x2 +1 (B) (x2)2 +1 (C)(x+4)2 +1 (D) (x+2)2 +1 紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。例 5. 已知f x( )的定义域为R，且f xyf xfy()( )( )对一切正实数x，y 都成立，若f ( ) 84，则0)1001()1001(11xfxf1001x0)2002()(11xfxf)(xfybxafxaf2)()()(xfy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - -

42、 - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题12 f (2)_。分析：在条件f xyf xf y()( )( )中，令xy4，得ffff( )( )( )( )844244，f ( )42又令xy2，得fff(4)(2)(2)2，f (2)1例 6. 已知f x( )是定义在R 上的函数， 且满足：f xf xf x()( )( )2 11，f ( ) 11997， 求f ( 2 0 0 1)的值。分析：紧扣已知条件，并多次使用

43、，发现f x( )是周期函数，显然f x( )1，于是f xf xf x()( )( )211，f xf xf xf xf xf xf xf x()()()( )( )( )( )( )412121111111所以f xf xf x()()( )814故f x( )是以 8 为周期的周期函数，从而fff(2001)()( )8250111997例 7设 f(x) 是(-,+ )上的奇函数，f(x+2)=-f(x) ，当 0 x1 时， f(x)=x ，则 f(7.5)=_ 。分析：读懂题意，理解函数满足关系式f(x+2) -f(x) 及 f(-x)=-f(x) ；将 f(7.5) 的求值问题转

44、化到x0，1范围内解决。由f(x+2)=-f(x) ，得 f(x+4)=-f(x+2) f(x) ，知 f(x) 是以 4 为一个周期的周期函数，于是f(7.5)=f(42-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5 。例 8已知 f(x) 是定义在实数集上的函数且满足f(x+2)(1-f(x)=1+f(x)，f(1)=1997 ，求 f(2001)的值。分析：易知f(x)1,所以有函数 f(x) 是以 8 为一个周期的周期函数，从而f(2001)=f(8250+1)=f(1)=1997 。注：对一类抽象函数求值问题，充分利用周期性，化未知为已知。例 9.函数( )f x满足( )(2

45、)13,f xf x若(1)2,f则(99)f（）A.13 B.2 C. 132D. 213【解析】：由规则( )(2)13,f xf x有(2)(4)13,f xf x( )(4)f xf x，( )f x的周期 T=4。(99)f(4243)(3)ff，再由规则( )(2)13f xf x赋值，令1x得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题13 (1)(1 2)1

46、3,ff13(3)2f，即13(99)2f.选 C。例 10.定义在 R 上的函数( )f x满足()( )( )2f xyf xf yxy ( ,),(1)2,x yRf则( 2)f等于（）A.2 B.3 C.6 D.9 【解析】：这里主要的规则是()( )( ) 2f x yf xf yxy，赋值，令0 xy得00f，又赋值，令1,1xy得(1 1)(1)( 1)2 11fff，10f；再赋值，令1xy，得( 2)f=2，选 A。（八）图象问题（对称性）解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解。对称问题 : 点关

47、于点对称：点（x,y）关于点（ a,b）对称的坐标为（2a-x,2b-y）. 曲线关于点对称：曲线f(x,y)=0 关于点（ a,b）对称的曲线f(2a-x,2b-y)=0. 直线关于点对称：点关于直线对称：直线关于直线对称：常见对称：f(-x)=f(x), 即函数 f(x) 关于 y 轴对称； f(-x)=-f(x), 即函数 f(x) 关于原点 (0,0)对称； f(a-x)=f(a+x), 即函数 f(x) 关于直线 x=a 对称； f(a-x)=-f(a+x), 即函数 f(x) 关于点 (a,0)对称。若,)()(Rxxbfaxf（ba,为常数）函数)(xf的图象的对称轴为2abx区

48、分：函数,)(Rxaxfy与函数,)(Rxxbfy的对称轴是2abx例 1.设函数)(xfy定义在实数集上，则函数)1(xfy与)1 (xfy的图象关于（）A、直线0y对称B 直线0 x对称C 直线1y对称D 直线1x对称解法一（定义证明） ： 设点),(00yxP是函数) 1(xfy的图象上的任意一点， 则) 1(00 xfy，),(00yxP关于直线mx的对称点为),2(00/yxmP，要使点),2(00/yxmP在函数)1 (xfy的图象上，则)21()2(1000mxfxmfy，应有121m，故1m，所以函数) 1(xfy与)1 (xfy的图象关于直线1x对称。解法二（图象变换法） ：

49、由函数)(xfy的图象向右平移1 个单位得到函数) 1(xfy的图象；由函数)(xfy的图象关于y轴对称得到函数)( xfy的图象，再向右平移1 个单位，得到名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 22 页 - - - - - - - - - 提高兴趣增强自信对接高考分层教学总结规律规范答题14 )1()1(xfxfy的图象。如图所示，选D。解法三（特值代入法） ：由已知可得点)1(, 0(fP在函数) 1(xfy的图象上，点)1(,2(fQ在函数)1 (xfy

50、的图象上，又点P、Q 关于直线1x对称，选 D。总结：了解一些简单结论对解题也是很有好处的。如：函数)(xfy满足)()(xbfxaf，则函数)(xfy的自对称轴为2bax；函数)(xafy与)(xbfy的互对称轴为xbxa，即2abx【变式训练】. 若函数yf x()2是偶函数，则yf x( )的图象关于直线_对称。分析：yf x( )的图象右移个单位左移个单位22yf x()2的图象，而yf x()2是偶函数，对称轴是x0，故yf x( )的对称轴是x2。例 2. 若函数yf x()2是偶函数，则yf x( )的图象关于直线_对称。分析：yf x( )的图象右移个单位左移个单位22yf x