2022年高中圆锥曲线规律技巧总结 .pdf

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1、1八、圆锥曲线1. 圆锥曲线的两个定义 ：（1）第一定义 中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中 ，与两个定点F1，F2的距离的和等于常数 2a，且此常数 2a一定要大于21FF，当常数等于21FF时，轨迹是线段 F1F2，当常数小于21FF时，无轨迹； 双曲线中 ，与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数 2a一定要小于|F1F2| ，定义中的 “绝对值”与 2a|F1F2| 不可忽视 。若 2a|F1F2| ，则轨迹是以 F1，F2为端点的两条射线， 若 2a|F1F2| ，则轨迹不存在。 若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如 （ 1） 已 知 定 点)0, 3

2、(),0, 3(21FF， 在 满 足 下 列 条 件 的 平 面 上动 点P 的 轨 迹 中 是椭 圆 的 是A421PFPF B621PFPF C1021PFPF D122221PFPF（答： C） ；（2）方程2222(6)(6)8xyxy表示的曲线是 _（答：双曲线的左支）（2） 第二定义 中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线， 且 “点点距为分子、 点线距为分母 ” ，其商即是离心率e。圆锥曲线的第二定义， 给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于 运用第二定义对它们进行相互转化。如已知点)0,22(Q及抛物线42xy上一动点P（x,y ）, 则 y+|P

3、Q|的最小值是 _（答： 2）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程） ：（1）椭圆：焦点在x轴上时12222byax（0ab）cossinxayb（参数方程， 其中为参数） ，焦点在 y 轴上时2222bxay1 （0ab） 。方程22AxByC表示椭圆的充要条件是什么？ （ABC 0，且 A，B，C同号， AB） 。如（1）已知方程12322kykx表示椭圆，则 k 的取值范围为 _（答：11( 3,)(,2)22） ； （2）若Ryx,，且62322yx，则yx的最大值是 _，22yx的最小值是_（答：5, 2）（2）双曲线 ：焦点在

4、x轴上：2222byax =1，焦点在 y 轴上：2222bxay1（0,0ab） 。方程22AxByC表示双曲线的充要条件是什么？（ABC 0，且 A，B异号） 。如（1）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922yx有公共焦点，则该双曲线的方程_ （答：2214xy） ； （2）设中心在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - - 2坐标原点O， 焦点1F、2F在坐标轴上，离心率2e的双曲线 C过点)10, 4(P， 则

5、 C的方程为 _（答：226xy）（ 3） 抛 物 线 ： 开 口 向 右 时22(0)ypx p，开 口 向 左 时22(0)ypx p， 开 口 向上 时22(0 )xp y p，开口向下时22(0)xpy p。3. 圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断） ：（1） 椭圆 ： 由x2, y2分母的大小决定， 焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程12122mymx表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m的取值范围是 _（答：)23, 1 () 1,(）（2）双曲线 ：由x2, y2项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线 ：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开

6、口方向。特别提醒 ： （1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点位置，焦点F1，F2的位置，是椭圆、双曲线的定位条件， 它决定椭圆、 双曲线标准方程的类型， 而方程中的两个参数,a b，确定椭圆、双曲线的形状和大小， 是椭圆、双曲线的定形条件； 在求解抛物线问题时， 首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，a最大，222abc，在双曲线中，c最大，222cab。4. 圆锥曲线的几何性质 ：（1）椭圆（以12222byax（0ab）为例） ：范围：,axabyb；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，四个顶点(,0),(0,)ab，其中长轴长为

7、2a，短轴长为 2b ；准线：两条准线2axc； 离心率：cea，椭圆01e，e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁。如（1）若椭圆1522myx的离心率510e，则m的值是 _ （答：3 或325） ； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答：22）（2）双曲线 （以22221xyab（0,0ab）为例） ：范围： xa或,xa yR；焦点：两个焦点(,0)c；对称性：两条对称轴0,0 xy，一个对称中心（ 0,0 ） ，两个顶点(,0)a，其中实轴长为2a，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为名师资料

8、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - - 322,0 xyk k；准线：两条准线2axc； 离心率：cea，双曲线1e，等轴双曲线2e，e越小，开口越小，e越大，开口越大；两条渐近线：byxa。如（1）双曲线的渐近线方程是023yx，则该双曲线的离心率等于_ （答：132或133） ； （2）双曲线221axby的离心率为5，则:a b= （答：4 或14） ； （3）设双曲线12222byax（a0,b0）中，离心率 e2,2

9、, 则两条渐近线夹角 的取值范围是 _（答：,32） ；（3）抛物线（以22(0)ypx p为例） ：范围：0,xyR；焦点：一个焦点(,0)2p，其中 p的几何意义是：焦点到准线的距离； 对称性：一条对称轴0y， 没有对称中心，只有一个顶点（0,0 ） ；准线：一条准线2px； 离心率：cea，抛物线1e。如设Raa,0，则抛物线24axy的焦点坐标为 _（答：)161,0(a） ；5、点00(,)P xy和椭圆12222byax（0ab）的关系： （1）点00(,)P xy在椭圆外2200221xyab；（2）点00(,)P xy在椭圆上220220byax1； （3）点00(,)P xy

10、在椭圆内2200221xyab6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交：0直线与椭圆相交；0直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。如（1）若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6的右支有两个不同的交点， 则 k 的取值范围是 _ （答：(-315,-1) ） ； （2）直线 ykx1=0与椭圆2215xym

11、恒有公共点，则m的取值范围是 _（答： 1 ，5）（ 5，+） ） ； （3）过双曲线12122yx的右焦点直线交双曲线于A、B两点，若 AB 4，则这样的直线有 _条（答： 3） ；（2）相切：0直线与椭圆相切；0直线与双曲线相切；0直线与抛物线相切；（3）相离：0直线与椭圆相离；0直线与双曲线相离；0直线与抛物线相离。特别提醒 ： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交 , 但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

12、 - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - - 4行时, 直线与抛物线相交 , 也只有一个交点；（2）过双曲线2222byax1 外一点00(,)P xy的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下： P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时， 有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P为原点时不存在这样的直线；

13、 （3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。 如（1）过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点， 这样的直线有 _ （答：2） ； （2）过点(0,2) 与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_（答：44 5,33） ； （3）过双曲线1222yx的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B两点，若 AB4，则满足条件的直线 l 有_条（答：3） ； （4）对于抛物线 C ：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l ：)(200 xxyy与

14、抛物线C 的位置关系是_（答：相离）； （5）过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段 PF与FQ 的长分别是p、 q ，则qp11_（答： 1） ； （6）设双曲线191622yx的右焦点为 F ，右准线为 l ，设某直线m交其左支、右支和右准线分别于RQP,，则PFR和QFR的大小关系为_(填大于、小于或等于 ) （答：等于） ；（7） 求椭圆284722yx上的点到直线01623yx的最短距离（答：8 1313） ； （8）直线1axy与双曲线1322yx交于 A、 B 两点。当a为何值时，A、B 分别在双曲线的两支上？当a为何值时，以 AB为直径的圆过坐标原点？ （

15、答：3,3；1a） ；7、焦半径 （圆锥曲线上的点P到焦点 F 的距离） 的计算方法 ：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径red ，其中 d 表示 P到与 F 所对应的准线的距离。 如（ 1）已知椭圆1162522yx上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的距离为 _（答：353） ； （2）已知抛物线方程为xy82，若抛物线上一点到y 轴的距离等于5，则它到抛物线的焦点的距离等于_；（3）若该抛物线上的点 M 到焦点的距离是 4，则点 M 的坐标为 _（答：7,(2,4)） ； （4）点 P在椭圆192522yx上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，

16、则点P的横坐标为 _（答：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - - 52512） ；（5） 抛物线xy22上的两点 A、 B到焦点的距离和是5， 则线段 AB的中点到 y 轴的距离为 _（答：2） ； （6）椭圆13422yx内有一点)1, 1(P，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M ，使MFMP2之值最小，则点 M的坐标为 _（答：)1,362(） ；8、焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常

17、利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,FF的距离分别为12,r r， 焦点12F PF的面积为 S，则在椭圆12222byax中， ) 12arccos(212rrb，且当12rr即 P 为短轴端点时，最大为max222arccosacb； 20tan|2Sbc y， 当0|yb即 P为短轴端点时，maxS的最大值为 bc；对于双曲线22221xyab的焦点三角形有：21221arccosrrb；2cotsin21221brrS。如（1）短轴长为5，离心率32e的椭圆的两焦点为1F、2F，过1F作直线交椭圆于 A、B两点，则2ABF的周长为 _

18、（答：6） ； （2）设 P是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点， F1、F2是左右焦点，若0212FFPF，|PF1|=6 ，则该双曲线的方程为（答：224xy） ； （3）椭圆22194xy的焦点为 F1、F2，点 P为椭圆上的动点，当 PF2PF1 0 时，点 P的横坐标的取值范围是（答：3 5 35(,)55） ； （4）双曲线的虚轴长为4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且 AB 是2AF 与2BF等差中项，则 AB _ （答：8 2） ；（5）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021PF

19、F，31221FPFS求该双曲线的标准方程（答：221412xy） ；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - - 6名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - - 7名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

20、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - - 8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - - 9名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - - 10名师资料总结 - - -精品

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23、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 18 页 - - - - - - - - - 16名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - - 17名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 18 页 - - - - - - - - - 18名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 18 页 - - - - - - - - -