2022年高中数学知识点课本回归 .pdf

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1、高中数学课本回归（1）第一章、集合一、基础知识（理解去记）定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母来表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素x在集合 A 中，称x属于 A，记为Ax，否则称x不属于 A，记作Ax。例如，通常用N，Z，Q，B，Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用来表示。集合分有限集和无限集两种。集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法，如1 ，2，3；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如 有理数 ，0

2、xx分别表示有理数集和正实数集。定义 2 子集： 对于两个集合A 与 B，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 中的元素， 则 A 叫做B 的子集，记为BA，例如ZN。规定空集是任何集合的子集，如果A 是 B 的子集， B 也是 A的子集，则称A 与 B 相等。如果A 是 B 的子集，而且B 中存在元素不属于A，则 A 叫 B 的真子集。便于理解：BA包含两个意思：A 与 B 相等、 A 是 B 的真子集定义 3 交集，.BxAxxBA且定义 4 并集，.BxAxxBA或定义 5 补集，若,1AxIxxACIA且则称为 A 在 I 中的补集。定义 6 集合,baRxbxax记作开区间),(b

3、a，集合,baRxbxax记作闭区间,ba，R 记作).,(定义 7 空集 ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。补充知识点对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素， 必须是确定的 对于集合A和元素a，要么aA，要么aA，二者必居其一 比如： “所有大于100 的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的再如，“较大的树” 、 “较高的人”等都不能构成集合（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素如：由a，2a组成一个集合，则a的取值不能是0或 1（

4、3）无序性集合中的元素的次序无先后之分如：由1 2 3， ，组成一个集合，也可以写成13 2， ，组成一个集合，它们都表示同一个集合帮你总结：学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意a与a的区别a是集合a的一个元素，而a是含有一个元素a的集合，二者的关系是aa（2）注意与0的区别是不含任何元素的集合，而0是含有元素0的集合（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用实数集或R来表示实数集R这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义例如：集合()xyyx，中的元素是()xy，这个集合

5、表示二元方程yx的解集， 或者理解为曲线yx上的点组成的点集；集合x yx中的元素是x，这个集合表示函数yx中自变量x的取值范围；集合y yx中的元素是y，这个集合表示函数yx中函数值y的取值范围；集合yx中的元素只有一个（方程yx） ，它是用列举法表示的单元素集合（4）常见题型方法：当集合中有n 个元素时，有2n 个子集，有2n-1 个真子集，有2n-2 个非空真子集。集合穿针转化引线（最新）一、集合与常用逻辑用语3.若2:3840:(1)(2)0pxxqxx，则p是q的（） （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件4.若kR，则“3k”是“方程22133xykk

6、表示双曲线”的（） 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - （A）充分条件（B）必要条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件二、集合与函数5.已知集合222Py yxxQx yxxRR，那么PQ等于（） （A） （0，2） ， （1，1）（B） （0，2） ， （1，1） （C） 1，2（D）2y y第二章、函数一、基础知识（理解去记）定义 1 映射，对于任意两个集合A，B，依对应法则f，若对 A 中的任意一个元素

7、x，在 B 中都有唯一一个元素与之对应，则称f: A B 为一个映射。定义 2 函数，映射f: A B 中，若 A，B 都是非空数集，则这个映射为函数。A 称为它的定义域，若xA, yB，且 f(x)=y （即 x 对应 B 中的 y） ，则 y 叫做 x 的象， x 叫 y 的原象。集合f(x)|x A 叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围，如函数 y=3x-1 的定义域为 x|x 0,xR. 定义 4 函数的性质。（1）单调性： 设函数 f(x) 在区间 I 上满足对任意的x1, x2I 并且 x1 x2，总有 f(x1)f(x2)，则称

8、f(x) 在区间 I 上是增（减）函数，区间I 称为单调增（减）区间。（2）奇偶性：设函数y=f(x) 的定义域为D，且 D 是关于原点对称的数集，若对于任意的xD，都有f(-x)=-f(x) ，则称 f(x) 是奇函数；若对任意的xD，都有 f(-x)=f(x) ，则称 f(x) 是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。（3） 周期性：对于函数 f(x) ， 如果存在一个不为零的常数T， 使得当 x 取定义域内每一个数时，f(x+T)=f(x)总成立，则称f(x) 为周期函数， T 称为这个函数的周期，如果周期中存在最小的正数T0，则这个正数叫做函数f(x) 的最小正

9、周期。定义 5 如果实数ab，则数集 x|axb, xR 叫做开区间，记作（a,b） ，集合 x|axb,xR 记作闭区间 a,b，集合 x|ax b 记作半开半闭区间（a,b，集合 x|axa 记作开区间（a, +） ，集合 x|x a记作半开半闭区间（- ,a. 定义 6 函数的图象，点集(x,y)|y=f(x), xD 称为函数 y=f(x) 的图象，其中D 为 f(x) 的定义域。通过画图不难得出函数y=f(x) 的图象与其他函数图象之间的关系(a,b0)；（1）向右平移a 个单位得到y=f(x-a) 的图象；（2）向左平移a 个单位得到y=f(x+a) 的图象；（3）向下平移b 个单

10、位得到y=f(x)-b 的图象；（4）与函数y=f(-x) 的图象关于y 轴对称；（5）与函数y=-f(-x) 的图象关于原点成中心对称；（6）与函数y=f-1(x) 的图象关于直线y=x 对称；（7）与函数 y=-f(x) 的图象关于x 轴对称。一、基础知识（初中知识必会）1二次函数：当a0 时，cbxaxxf2)(称为关于 x 的二次函数，其对称轴为直线abx2，另外配方可得abacabxaxf44)2()(22。2二次函数的性质：当a0 时，f(x) 的图象开口向上，在区间（-， x0上随自变量x 增大函数值减小（简称递减） ，在 x0, -）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当 a

11、0 时，方程 f(x)=0 即 ax2+bx+c=0 和不等式ax2+bx+c0 及 ax2+bx+c0 时，方程有两个不等实根，设x1,x2(x1x2) ，不等式和不等式的解集分别是x|xx2 和x|x1xx2 ，二次函数 f(x) 图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x) 还可写成 f(x)=a(x-x1)(x-x2). 2）当 =0 时，方程有两个相等的实根x1=x2=x0=ab2,不等式和不等式的解集分别是x|xab2和空集，f(x) 的图象与 x 轴有唯一公共点。3）当 0 时，方程无解，不等式和不等式的解集分别是R 和.f(x) 图象与 x 轴无公共点。当 a0，当 x=x0 时，

12、f(x) 取最小值 f(x0)=abac442,若 a0) ，当 x0m, n 时，f(x) 在m, n 上的最小值为f(x0); 当 x0n 时，f(x) 在m, n上的最小值为f(n)（以上结论由二次函数图象即可得出）。定义 1 能判断真假的语句叫命题，如“35”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合命题。一定注意：“p 或 q”复合命题只有当p，q 同为假命题时为假，否则为真命题；“p 且 q”复合命题只有当 p，q 同时为真命题时为真，否则为假命题；p 与“非 p”即“ p”恰好一真一假。定义 2

13、原命题：若p 则 q（p 为条件， q 为结论）；逆命题：若q 则 p；否命题：若非p 则 q；逆否命题：若非q 则非 p。一定注意：原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。一定注意：反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。定义 3 如果命题“若p 则 q”为真，则记为pq 否则记作 pq.在命题“若p 则 q”中，如果已知pq,则 p 是 q 的充分条件；如果qp，则称 p 是 q 的必要条件；如果pq 但 q 不p，则称 p 是q 的充分非必要条件；如果p 不q 但 pq，则 p 称为 q 的必要非充分条件；若pq 且 qp，则p 是 q 的充要条件

14、。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 15常用结论。定理 2 若 a,bR, 则 a2+b22ab；若 x,yR+,则 x+y.2 xy第三章、基本初等函数一、基础知识（必会）1指数函数及其性质：形如y=ax(a0, a1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为（ 0，+） ，当 0a1 时，y=ax 为增函数，它的图象恒过定点（0，1） 。2分数指数幂：nmnmnnnmnmnnaaaaaaaa1,1,1。3对数

15、函数及其性质：形如y=logax(a0, a1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+） ，值域为R，图象过定点（1，0） 。当 0a1 时， y=logax 为增函数。4对数的性质（M0, N0 ） ；1）Maxx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（NM）= loga M- loga N ；4）MnManaloglog5）loga nM=n1loga M；6）MaMalog; 7) loga b=abccloglog(a,b,c0, a, c1). 5. 函数)0(axaxy的单调递增区间是a,和,a，单调递减区间为0,a和a,

16、0。 （请同学自己用定义证明）6连续函数的性质：若ab, f(x) 在a, b上连续，且f(a)f(b)0，则 Ax+By+C0表示的区域为 l 上方的部分，Ax+By+C0) 。 其 圆 心 为2,2ED， 半 径 为FED42122。若点 P(x0, y0)为圆上一点，则过点P 的切线方程为.0220000FyyExxDyyxx11. 点与圆的位置关系点00(,)P xy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种若2200()()daxby，则dr点P在圆外 ;dr点P在圆上 ;dr点P在圆内 . 13. 直线与圆的位置关系直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

17、0相离rd;0相切rd; 0相交rd. 其中22BACBbAad. 14. 两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，dOO21条公切线外离421rrd; 条公切线外切321rrd; 条公切线相交22121rrdrr; 条公切线内切121rrd; 无公切线内含210rrd. 15. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xyDxEyF若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是当00(,)xy圆外时 , 0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求k，这时必有

18、两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线斜率为k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2) 已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk. 16.直线的方程及其位置关系（1）直线的倾斜角的取值范围是。（2）两条直线的夹角的取值范围是。（3）两个平面的夹角的取值范围是。(4) 两个平面的所成的角的取值范围是。（5）直线与平面所成的角的取值范围是。（6）两个向量的夹角的取值范围是。(7)两异面直线所成的的取值范围是. 四基本方法和数学思想1.设三角形的三个顶点是A （x1,y1） 、 B(x2,

19、y2)、 C （x3,y3） ,则 ABC 的重心 G 为 （3,3321321yyyxxx） ；2.直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是A1A2+B1B2=0；3.两条平行线Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0 的距离是2221BACCd；4.Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件：A=C 0 且 B=0 且 D2+E24AF0 ；5.过圆 x2+y2=r2上的点 M(x0,y0)的切线方程为：x0 x+y0y=r2; 6.以 A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程是(xx1)(xx2)+(y

20、y1)(yy2)=0; 回归课本 (4)三角函数一考试内容：角的概念的推广. 弧度制 . 任意角的三角函数. 单位圆中的三角函数线. 同角三角函数的基本关系式. 正弦、余弦的诱导公式. 两角和与差的正弦、余弦、正切. 二倍角的正弦、余弦、正切. 正弦函数、余弦函数的图像和性质. 周期函数 . 函数sin()yx的图像 . 正切函数的图像和性质. 已知三角函数值求角. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 正弦定理 .

21、余弦定理 .斜三角形解法 . 二考试要求：(1) 理解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算. (2) 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义. 了解余切、正割、余割的定义. 掌握同角三角函数的基本关系式 . 掌握正弦、余弦的诱导公式. 了解周期函数与最小正周期的意义. (3) 掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式. 掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式. (4) 能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明. (5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用 “ 五点法 ” 画正弦函数、余弦函数和函数 y=Asin( 鵻+)的简图，理解 A,的物理意义

22、. (6) 会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin x、arccos x、arctanx 表示 . (7) 掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角【注意】近年的高考题中，三角函数主要考查基础知识、基本技能、基本方法，一般都在选择题与填空题中考查， 多为容易或中等难度的题目.其中，同角三角函数的基本公式和诱导公式，三角函数的图像和性质，求三角函数式的值等为考查热点.三基础知识 : 1. 任意角角零角：不做任何旋转的转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角正角：按逆时针方向旋2. 与角终边相同的角的集合Zkk,3603. 弧长公式180rnrl；扇形面积公式360212122rn

23、rlrS（其中为圆心角的弧度数，n为圆心角的度数）4、弧度与角度换算：1 度/180 弧度( 0.017453 弧度 ) ；1 弧度 180/ （57.3）11.任意角的三角函数设是一个任意角，的终边上任意一点P（x，y）与原点的距离是r（r=22yx0），则 sin=ry，cos=rx，tan=xy. 上述三个比值不随点P 在终边上的位置改变而改变. 2.同角三角函数关系式sin2+cos2=1（平方关系）；cossin=tan（商数关系）；tan cot =1（倒数关系） .3. 正弦、余弦的诱导公式212( 1) sin,sin()2( 1)s ,nnnco212( 1)s ,s()2(

24、 1)sin,nnconco4. 和角与差角公式sin()sincoscossin;cos()coscossinsin; tantantan()1tantan. 22sin()sin()sinsin( 平方正弦公式 ); 22cos()cos()cossin. sincosab=22sin()ab( 辅助角所在象限由点( , )a b的象限决定 ,tanba ).5. 二倍角公式sin 2sincos. 2222cos2cossin2cos112sin. 22tantan21tan. 7. 三角函数的周期公式函数sin()yx，xR 及函数cos()yx，xR(A, ,为常数，且A0，0)的周

25、期2T；函数tan()yx，,2xkkZ(A, ,为常数，且A0，0)的周期T. 2三角函数定义域与值域函数定义域值域sinyR 1,1cosyR 1,1tany|,2kkZR3特殊三角函数值0 643223sin0 2122231 0 1(n 为偶数 ) (n 为奇数 ) (n 为偶数 ) (n 为奇数 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - cos1 2322210 10 tan0 331 3无0 无三三角函数

26、的基本性质1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyxy=tanx322-32-2oyx2三角函数的单调区间xysin的递增区间是2222kk，)(Zk，递减区间是23222kk，)(Zk；xycos的递增区间是kk22，)(Zk，递减区间是kk22，)(Zk，ytanx的递增区间是22kk，)(Zk，3.函数BxAy)sin(），（其中00A最大值是BA，最小值是AB，A叫振幅，周期是2T，频率是2f，相位是x，初相是；其图象的对称轴是直

27、线)(2Zkkx，凡是该图象与直线By的交点都是该图象的对称中心。8. 正弦定理2sinsinsinabcRABC. 9. 余弦定理2222cosabcbcA; 2222cosbcacaB; 2222coscababC. 10. 面积定理（1）111222abcSahbhch（abchhh、 、分别表示 a、b、c 边上的高） . （2）111sinsinsin222SabCbcAcaB. (3)221(| |)()2OABSOAOBOA OB. 11. 三角形内角和定理在 ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.12.三角形中的诱导公式在 ABC 中sin()sin, co

28、s() -cos, tan() -tanABCABCABCsincos22ABC2s i n2c o sCBAt anc o t22ABCtantantantantantanABCABC四基本方法和数学思想1.三角函数符号规律记忆口诀：一全正，二正弦，三是切，四余弦；2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于 1800，一般用正余弦定理实施边角互化；5.正弦型函数)sin(xAy的对称轴为)(2Zkkx；对称中心)(0,

29、(Zkk；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；6.（1）正弦平方差公式：sin2Asin2B=sin(A+B)sin(A B);（2）三角形的内切圆半径r=cbaSABC2；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - （3）三角形的外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa高中数学课本回归（5）复 数1. 复数的单位为i，它的平方等于1，即1i2. 复数及其相关概念：复数 形如 a + bi 的数（其中Rba，）

30、 ；实数 当 b = 0 时的复数 a + bi，即 a；虚数 当0b时的复数a + bi；纯虚数 当 a = 0 且0b时的复数 a + bi，即 bi. 复数 a + bi 的实部与虚部 a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a，b都是实数）复数集 C全体复数的集合，一般用字母C 表示 . 两个复数相等的定义：00babiaRdcbadbcadicbia）特别地，（其中，且. 两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：若21,zz为复数，则1若021zz，则21zz.（） 21, zz为复数，而不是实数 2若21zz，则021zz.（）若Ccba,，则0)()()(222accbba

31、是cba的必要不充分条件.（当22)(iba，0)(, 1)(22accb时，上式成立）2. 复平面内的两点间距离公式：21zzd. 其中21zz ，是复平面内的两点21zz 和所对应的复数，21zzd和表示间的距离 . 4 复数的乘方：)(.Nnzzzzznn对任何z ，21, zzC 及Nnm,有nnnnmnmnmnmzzzzzzzzz2121)( ,)( ,注：以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1, 142ii若由11)(212142ii就会得到11的错误结论 . 在实数集成立的2|xx. 当 x 为虚数时，2|xx，所以复数集内解方程不能采用两边平方法. 常用

32、的结论：1, 1, 143424142nnnniiiiiii)( ,0321Zniiiinnnniiiiiiii11,11,2)1(25. 复数 z是实数及纯虚数的充要条件：zzRz. 若0z， z 是纯虚数0zz. 模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的， 而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零. 注：|zz. 回归课本 (6)导数一基础知识 : 1.)(xf在0 x处的导数（或变化率或微商）000000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx. 2. 瞬时速度00()( )( )limlimttss tts ts ttt.

33、3. 瞬时加速度00()( )( )limlimttvv ttv tav ttt. 4.)(xf在),(ba的导数( )dydffxydxdx00()( )limlimxxyfxxf xxx. 5. 函数)(xfy在点0 x处的导数的几何意义函数)(xfy在点0 x处的导数是曲线)(xfy在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy. 6. 几种常见函数的导数(1) 0C（C为常数） . (2) 1()()nnxnxnQ. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；eaxxalog1)(log. (6)

34、 xxee )(; aaaxxln)(. 7. 导数的运算法则（1）()uvuv. （2）()uvuvuv. （3）2( )(0)uu vuvvvv. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 8. 复合函数的求导法则设函数( )ux在点x处有导数( )xux，函数)(ufy在点x处的对应点U 处有导数( )uyfu， 则 复 合 函 数( ( )yfx在 点x处 有 导 数 ， 且xuxyyu， 或 写 作( ( )

35、( )( )xfxfux. 10. 判别)(0 xf是极大（小）值的方法当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值 . 二基本方法和数学思想1.导数的定义： f(x) 在点 x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2）);()(xfxxfy(2)求平均变化率xxfxxfxy)()(; （3）取极限 ,得导数xyxfx0lim)(; 3.可导与连续的关系：如果

36、函数y=f(x) 在点 x0处可导，那么函数y=f(x) 在点 x0处连续；但是y=f(x) 在点 x0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线yf（x）在点 P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是).(0 xf相应地，切线方程是);)(000 xxxfyy5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导，如果,0)(xf那么 f(x) 为增函数；如果,0)(xf那么 f(x) 为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(xf那么 f(x) 为常数；（2）求可导函数极值的步骤：求导数)(xf；求方程0)(xf的根；检验)(xf在方程0)(xf根的左右的符号，如果

37、左正右负，那么函数y=f(x) 在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x) 在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求y=f(x) 在(a,b)内的极值；将y=f(x) 在各极值点的极值与 f（a） 、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值6 导数与函数的单调性的关系0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，0)(xf是)(xf为增函数的充分不必要条件。0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf

38、，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇

39、到端点的讨论问题，要谨慎处理。高中数学课本回归（7）不等式2.解不等式(1)一元一次不等式1、基本不等式定理2a1a0a2a1a0ab,a(2baab)ba(2baab2ba2baab2baab)ba(21baab2ba2222222222倒数形式同号）分式形式根式形式整式形式)0a(abx)0a(abx)0a(bax名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - (2)一元二次不等式：(3)解分式不等式：(4) 解含参数的

40、不等式：注: 解形如ax2+bx+c0 的不等式时分类讨论的标准有：1、讨论a与 0 的大小； 2、讨论与0 的大小； 3、讨论两根的大小；(5) 一元二次方程根的分布问题：方法：依据二次函数的图像特征从：开口方向、判别式、对称轴、区间端点的函数值四个角度列出不等式组(6) 解线性规划问题的一般步骤：第一步：在平面直角坐标系中作出可行域（注意直线的虚实）；第二步：找到目标函数的几何意义（截距、斜率、圆的半径）第三步：在可行域内找到最优解所对应的点；第四步：解方程的最优解，从而求出目标函数的最大值或最小值。高中数学课本回归（8）数列1、数列的概念 ：数列是按一定次序排成的一列数。数列中的每一个数

41、都叫做这个数列的项。数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集1,2，3，n ）的特殊函数， 如果数列an的第 n 项an与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式 。数列的通项公式也就是相应函数的解析式。.递推关系式 ：已知数列an的第一项（或前几项） ，且任何一项an与它的前一项an1（前 n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。数列的分类：按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。按项有无界限，分为有界数列、无界数列。数列的前n 项和：aaaasnn.321. 已知sn求an

42、的方法（只有一种） ：即利用公式an=)2( ,) 1( ,11nnsssnn注意 ：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1 的情况是否符合当n2 的关系式，从而决定能否将其合并。2. 等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数 列 叫 做 等 差 数 列 ， 这 个 常 数 叫 等 差 数 列 的 公 差 。 即)2,*(1nNndaann且.( 或)*(1Nndaann). （1）等差数列的判断方法：定义法 ：)(1常数daannan为等差数列。 中项法 ：aaannn212an为等差数列。 通项公式法 ：

43、banan（a,b 为常数）an为等差数列。前 n 项和公式法 ：BnnAsn2（A,B 为常数）an为等差数列。如设na是等差数列， 求证：以 bn=naaan21*nN为通项公式的数列nb为等差数列。（2）等差数列的通项：1(1)naand或()nmaanm d。公式变形为 :banan. 其中a=d, b= a1d.（3）等差数列的前n和：1()2nnn aaS，1(1)2nn nSnad。公式变形为：BnnAsn2，其中 A=2d，B=21da.注意 ：已知 n,d, a1,an, sn中的三者可以求另两者，即所谓的“知三求二”。（4）等差中项： 若,a A b成等差数列，则A叫做a与

44、b的等差中项，且2abA。提醒 ： （1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5 个元素：1a、d、n、na及nS，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，2 , ,2ad ad a ad ad（公差为d） ；偶数个数成等差，可设为，3 ,3ad ad ad ad,（公差为2d）3. 等差数列的性质：（1）当公差0d时，等差数列的通项公式11(1)naanddnad是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和211(1)()222nn nddSnadnan是关于n的

45、二次函数且常数项为0. 0)x(g0)x(g)x( f0)x(g)x( f0)x(g)x(f0)x(g)x( f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - （2）若公差0d，则为递增等差数列，若公差0d，则为递减等差数列，若公差0d，则为常数列。（ 3）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和.当mnpq时,则有qpnmaaaa，特别地，当2mnp时，则有2mnpaaa. (4)项数成等差

46、 ,则相应的项也成等差数列.即),.(,*2Nmkaaamkmkk成等差 .若na、nb是 等 差 数 列 ， 则nka、nnkapb(k、p是 非 零 常 数 ) 、*(,)pnqap qN、232,nnnnnS SS SS，也成等差数列，（6）单调性：设d 为等差数列an的公差，则d0an是递增数列； d0an是递减数列； d=0an是常数数列 (8) 8、已知an成等差数列，求sn的最值问题：若01a,d0 且满足0,01aann,则sn最小 . “首正” 的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负” 的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和。(9)如果两等差数

47、列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意 ：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究nmab. 4. 等比数列的有关概念：如果数列an从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的公比。即)2,(*1nnqNaann（或)(*1Naanqnn（1）等比数列的判断方法：定义法1(nnaq qa为常数），其中0,0nqa或11nnnnaaaa(2)n。（2）等比数列的通项：11nnaa q或n mnmaa q。（3）等比数列的前n和： 当1q时，1nSna；当1q时，1(

48、1)1nnaqSq11naa qq。特别提醒： 等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为 1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为 1 时，要对q分1q和1q两种情形讨论求解。（4）等比中项： 如果 a、G、b 三个数成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项， 即 G=ab .提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab。如已知两个正数, ()a b ab的等差中项为A，等比中项为B，则 A 与 B 的大小关系为 _（答： AB）提醒 ： （1）等比数列的通项公式及前n项和公式中，涉及到5 个元

49、素：1a、q、n、na及nS，其中1a、q称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3 求 2；（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，22, ,aaa aq aqqq（公比为q） ；但偶数个数成等比时，不能设为33,aqaqqaqa，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为2q。如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1 或 0,4，8,16）5. 等比数列的性质：（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距

50、离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq时，则有qpnmaaaa.，特别地，当2mnp时，则有2.pnmaaa. (2)若na是等比数列，则|na、*(,)p nqap qN、nka成等比数列；若 nnab、成等比数列 ， 则nna b、nnab成 等 比 数 列 ；若na是 等 比 数 列 ， 且 公 比1q， 则 数 列232,nnnnnS SS SS， 也是等比数列。 当1q， 且n为偶数时， 数列232,nnnnnS SS SS， 是常数数列0，它不是等比数列.若an是等比数列， 且各项均为正数， 则analog成等差数列。如(3)单 调 性 ： 若10,1aq， 或10,01aq