2022年高中数学教案直线与圆 .pdf

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1、直线与圆一、知识网络二、高考考点1. 直线的倾斜与斜率；2. 直线的方程及其应用；3. 两条直线的平行、 垂直与有关夹角和到角的公式；4. 简单的线性规划问题； 5. 圆的方程及其应用；6. 直线与圆的相切与相交问题；7.两圆的位置关系；8. 直线、圆与其它圆锥曲线的综合问题. 三、知识要点（一）直线1、直线的倾斜角定义与规定（1）定义：对于一条与x 轴相交的直线，将x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做直线的倾斜角，习惯上记作 . （2）规定：当直线和x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0.综合上述一般定义和特殊规定，直线的倾斜角的取值范围是 0 ，180）或0 ，）

2、 . 提醒：直线的倾斜角取值范围是一般与特殊相结合的产物，因此，解决有关直线的倾斜角或斜率问题时，一方面要注意立足于这一特定范围，另一方面又要注意分“一般”与“特殊”两种情况考察，以确保解题的完整与正确. （3）直线的斜率与方向向量（）定义 1：当直线 l 的倾斜角不是 90时，的正切叫做直线l 的斜率，直线的斜率通常用k 表示即：特例：当直线的倾斜角为90时，直线的斜率不存在. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 23 页 - - - - - - - - -

3、 认知：直线的倾斜角与斜率的另一联系：；（直线的斜率不存在）（）斜率公式已知直线l 上两点，则直线l 的斜率：. （）定义 2：直线 l 上的向量与平行于 l 的向量都称为直线l 的方向向量 . 设，则直线 l 的方向向量的坐标是；当直线 l 不与 x 轴垂直时，此时，直线l 的方向向量可化为（这里 k 为直线 l 的斜率） . 2、直线的方程（1） 理论基础：直线的方程与方程的直线之定义在直角坐标系中，如果直线l 和二元方程的实数解之间建立了如下关系：直线 l 上的点的坐标都是方程的解（纯粹性）以方程的解为坐标的点都在直线l 上（完备性）那么，这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程

4、的直线. （2）直线方程的几种形式（）点斜式：已知直线l 的斜率为k，且过点，则直线l 的方程为：（）斜截式已知直线 l 的斜率为 k，且在 y 轴上的截距为b，则直线l 的方程为：注意 ：由斜截式方程的推导过程可知，斜截式是点斜式的特例. 直线方程的特殊形式各自都有其局限性，两者都不能表示与x 轴垂直的直线的方程. 因此，运用上述两种形式求直线方程，都是在斜率存在的前提之下的，都需要特别考察直线斜率不存在的情形。（）两点式已知直线l 经过两点，则直线l 的方程为： . （）截距式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - -

5、名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 23 页 - - - - - - - - - 已知直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为，则直线l 的方程为：注意 ：截距式是两点式的特例，以其自身特色被人们乐于应用. 但应注意，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线（水平直线和铅垂直线），而截距式不能表示与坐标轴垂直以及过原点的直线 . 运用它们求直线方程，都需要单独考察它们不能表示的特殊直线. （）一般式方程叫做直线方程的一般式直线方程的一般式适合于任何直线，并且是寻求直线方程的最后归宿. 直线的一般式方程的产生基于命题：任何一条直线的方程都可以表示为关于x,y 的一次方程， 反之

6、，任何关于 x,y 的一次方程都表示一条直线. 这一命题的正反两个方面，使直线和二元一次方程完成了数与形的转化与统一. 3、两条直线的位置关系（1）两条直线平行的条件设 l1、l2为两条不重合的直线，则（）的斜率相等或它们的斜率都不存在. 因此，已知l1/l2时，解题时要注意对“一般”和“特殊”两种情况的讨论. （）若设直线，则（此式包含了一般与特殊两种情形）（）平行于直线的直线（系）方程为：（2）两条直线垂直的条件对于两条直线l1和 l2（）的斜率之积等于1 或它们中一个斜率为0 而另一个斜率不存在（）若设直线l1： , , 则，（此式包含了一般与特殊两种情况）（ ） 垂 直 于 直 线的

7、直 线 （ 系 ） 方 程 为 ：（3）直线 l1 到 l2的角；直线l1 与 l2的夹角设 l1 与 l2相交（）直线l1 到 l2的角，是指l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合时所转动的角，通常记作l1 到 l2的角中的“到”字，画龙点睛的道出了这个角的方向性，注意到当l1 /l2时不定义 l1 到 l2的角，故的取值范围为（0，）设 l1 与 l2的斜率分别为k1,k2, l1 到 l2的角为，则当；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 23 页 - -

8、 - - - - - - - 当（注意：分子是后一直线斜率减去前一直线斜率）（）直线l1 与 l2的夹角，是指l1 与 l2相交所成的四个角中，不大于直角的那个角，将其记为 . l1 与 l2的夹角没有方向性，注意到当 l1 /l2时不定义l1 与 l2夹角的概念， 故得的取值范围为：设 l1 与 l2的斜率分别为k1,k2, l1 与 l2的夹角为，则当；当 . （4）点到直线的距离设点，直线则点 P到直线 l 距离：讨论（两平行直线间的距离）：设两条平行直线，则 l1 与 l2之间的距离为 . （5）两条直线的交点（1）直线（2）经过直线l1 与 l2的交点的直线（系）方程为（这里不含l2

9、）( 二) 圆的方程1、定义与方程（1）定义（2）方程（）标准方程：圆心为（ a、b），半径为（）一般方程：圆心为，半径为（III ）参数方程：圆心为 (a，b) ，r 为半径长名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 23 页 - - - - - - - - - 2、性质与应用（1）圆的基本性质（）关于弦的性质圆心与弦中点连线垂直于这条弦（或弦的垂直平分线经过圆心）；两圆相交时，两圆心的连线为公共弦的垂直平分线；若设圆半径为r ，弦心距 d ，弦长为 2l ，则有

10、（） 关于切线的性质切线垂直于经过切点的圆的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径 . （2）圆的性质的应用解决有关圆的问题时，适时运用圆的性质，往往可避免或缩短某个局部的求解过程，既有效地减少计算量，又使解题过程简捷明快. 关于圆的问题的解题技巧，主要表现在“设”的技巧上：（）巧设圆心坐标若已知（或可知）圆心所在直线的方程或其它特征，则可据此巧设圆心坐标，减少所引参数的个数 . （）巧设圆的方程一般地，当所给问题与圆心或半径相关时，以设圆的标准方程为上；在特殊情况下，根据问题的具体情况设圆的一般方程或圆系方程，亦会收到简明效果. 3、直线与圆设直线，圆，则直线与圆的位置关系有两种判别方法：（1）

11、“特性”判别法（只适合于直线与圆位置关系的判定）：设圆心 C到直线 l 的距离为 d，则直线 l 与圆 C相交；直线 l 与圆 C相切；直线l 与圆 C相离 . （2）“通性”判别法（适于直线与圆锥曲线位置的判定）：将上述曲线方程与圆方程联立，消去x( 或 y) 所得一元二次方程的判别式为，则直线与圆 C相交；直线与圆C相切；直线与圆C相离 . 4、挖掘与引申（1）两圆的公共弦所在直线的方程设与相 交 于A、 B 两 点 ， 则 由 - 得 两 圆 公 共 弦AB 所 在 直 线 的 方 程 为 ：（2）圆的切点弦所在直线（极线）的方程对于圆（）当点在圆上时，以M为切点的切线方程为；名师资料总

12、结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 23 页 - - - - - - - - - （）当点在圆外时，过点M分别向圆作切线MA 、MB（切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 . 引申：当点在圆外时，过点M分别向圆作切线MA 、 MB （切点分别为A、B），则切点弦AB所在直线（极线）方程为 . 四、经典例题例 1求经过点 A（5，2），并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程 . 分析：由题意知直线l 与两坐标轴都相交，因为不存在直线l 垂直于

13、x 轴的情形 . 但是，注意到直线l 的两截距互为相反数的一般情形与特殊情形，故解题也需分两种情形讨论. 解：由题意知直线l 与两坐标轴都相交. （1） 当直线 l 在两轴上的截距均不为零时，设直线l 的方程为：，即 a=3. 此时直线 l 的方程为： . （2）当直线 l 在两轴上的截距为零，即直线 l 过原点时， 直线 l 的方程为： 综合（ 1），（ 2）得所求直线l 的方程为或 . 点评：运用直线的某一种特殊形式求直线方程，从客观上是默认了这一形式存在的前提条件 . 因此，解题时还要考察这一形式不能表示的直线，只有实现“一般”与“特殊”的相互依存，才能实现解题的完解完胜. 在这里，直线

14、的“截距式”不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行（或重合）的直线. 因此，要对这些特殊直线单独考察. 例 2直线 l 被两平行直线所截线段AB的中点M在直线上，且 l 到 l2的角为 45，求直线l 的方程 . 分析：由已知条件易得直线l 的斜率 . 欲求点 M坐标，先考察点M的位置特征，注意到，点 M为线段 AB的中点，故点M在与、等距离的另一直线上. 因此，为避免复杂运算，可先求的方程 . 解（利用平面图形几何性质的技巧）：由题意知，点M在与 l1 ，l2等距的直线l3上，注意到l1 ， l2的纵截距分别为，故l3的纵截距为l ，由斜截式得l3的方程为将与联立解得设直线l的斜率为k，则又由

15、已知得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 23 页 - - - - - - - - - ，解得于是由得所求直线l 的方程为点评：解决直线问题的主要技巧，一是“设”的技巧：通过巧设有关点的坐标或有关直线的方程来减少计算量；二是适时“利用平面图形性质”的技巧：通过不失时机的利用平面图形的特征，避免或减少解方程的运算. 请在下面的例题中注意上述技巧的刻意运用. 例 3已知点 A（1，-1）和直线，过点A 作直线 l2 与 l1交于点 B，使，求直线 l2的方程 .

16、分析：欲求的斜率k，如直面求直线、联立的方程组，再利用两点间的距离公式，运算复杂，故想到避其锋芒，先求与的夹角的三角函数值. 为此，利用已知条件率先构造含有的 Rt. 解（对交点坐标不设不解）：过点A作又为直线 l1 与 l2的夹角由（1）当直线 l2的斜率存在时，设直线l2的斜率为k，则由两直线的夹角公式得此时，直线l 的方程为（2）当直线 l2的斜率不存在时， 直线 l2的方程为，此时易得B （1，4），符合已知条件. 综合（ 1）（ 2）得所求直线l2的方程为 . 点评：借助平面图形的特征, 人为地构造与求解 , 进而转化为运用夹角公式求解目标直线的斜率, 刻意避免了求解直线l1 与 l

17、2的交点坐标 . 这样对交点坐标“不设不解”的处理手法，也是直线与曲线相交问题的基本解题策略之一. 例 4在中，A（3，-1 ），AB边上的中线所在直线方程为的平分线所在直线方程为，求 BC边所在直线方程. 分析：如何利用的的平分线方程这一条件？通常的选择是两种：一是直面问题，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 23 页 - - - - - - - - - 所用 l1 与 l2的角的计算公式；二是利用平分线性质等价转化. 我们这里选择第二条途径. 解（利用三角

18、形内角平分线的性质）：由题意设B（4t-10,t）则 AB边中点，点 D在直线上，点 B（10，5）又注意到 AB与 BC边所在直线关于的平分线所在直线对称，故点 A（3，-1）关于直线对称点 A（ m,n）一定在直线BC上由点 A、A关于直线对称得A（ 1，7）于是由得直线AB 即直线 BC的方程为点评：本题解题特色， 一是利用已知直线方程巧设点B和点 D坐标； 二是利用平分线性质转化为点的对称问题. 此为解决这类直线问题的基本策略. 例 5已知过点A（1，1）且斜率为的直线 l 与 x 轴、 y 轴分别交于P、Q两点，过P、Q分别作直线的垂线，垂足为R、S ，求四边形PRSQ 的面积的最小

19、值 . 分析：这里的四边形PRSQ 为直角梯形且PR/SQ，故梯形的高RS为平行线QS与 PR间的距离，从设直线l 的方程切入 . 解： 设直线 l 的方程为在中令Q（0,m+1）在中令将 P、Q两点到直线的距离分别记为 , 则又直线 QS方程为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 23 页 - - - - - - - - - 直线 PR方程为，直线 PR与 QS间的距离即由得：（当且仅当时等号成立）于是可知，四边形PRSQ 的面积的最小值为（当且仅当时取得）

20、点评：从设直线l 的方程切入，点P、Q坐标以及点P、Q到 l 的距离依次登场，循序渐进，又借助两平行直线间的距离公式求出梯形的高RS ，四边形面积的表达式便呼之欲出了.解题主线分明，脉络清晰，这是我们应追求的境界. 例 6设圆上的点A （2，3）关于直线的对称点仍在此圆上，且该圆与直线相交的弦长为，求圆的方程 . 分析：圆上的点 A关于直线的对称点仍在此圆上，由此我们可以推出什么？解（巧设圆心坐标）：由圆上的点A 关于直线的对称点仍在圆上知，圆心在直线上可设圆的圆心坐标为（2t ，-t ），圆的方程为则由题设条件得：由解得所求圆方程为点评：要善于认知题设的真面目：点A关于直线的对称点在此圆上弦

21、的垂直平分线为直线过圆心名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 23 页 - - - - - - - - - 例 7 一个圆与直线相切于点 P （4， -1 ） ， 且圆心在直线上，求圆的方程。分析：求圆的方程， 当已知条件与圆心或半径关系较为密切时，首先考虑运用圆的标准方程 . 解（巧设圆心坐标）：圆心在直线上设圆心C的坐标为（ 3t,5t）又，由此得解之得 . 圆心 C （3，5） ， 半径 . 所求圆的方程为点评：已知条件中出现圆的切线，要想到利用圆的切线的

22、性质.上述解答便是利用了圆的切线的性质之一，圆的切线垂直于经过切点的圆的半径. 例 8 已知圆C 与圆相交，所得公共弦平行于已知直线，又圆 C经过点 A（-2 ，3）， B（1，4），求圆C的方程。分析：题设条件中出现两圆的公共弦. 对此，处置问题的常用方法有二：一是推导并利用公共弦所在直线的方程；二是充分利用两圆的公共弦的性质，着眼点不同， 随之的解法也会不同 . 解法一（利用公共弦所在直线的方程）：设圆C 方程为，则圆 C与已知圆的公共弦所在直线方程为由题设得：又点 A、B在圆 C上，故有：所求圆 C的方程为：解法二（利用圆的性质）：由已知得圆C的弦 AB的中点坐标为，圆 C的弦 AB的垂

23、直平分线方程为又已知圆圆心为两圆连心线所在直线的方程为设圆心 C（a,b ），则由、得解之得再注意到圆C的半径所求圆 C的方程为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 23 页 - - - - - - - - - 点评：两种解法各有所专长，仅就解题的严密性而言，解法二的优势明显一些. 例 9已知圆 M的方程为，点 Q是 x 轴上的动点， QA 、QB分别切圆M于 A、B，试求弦AB的中点 P的轨迹方程 . 分析：本题出现“切点弦”. 鉴于问题的复杂性，我们考虑推

24、导并利用圆的切点弦所在直线的方程 . 解： 由已知得M （0，2），圆 M方程为设 Q（t,0 ），则由得切点弦AB所在直线方程为又设 P（x,y ），则由得将代入得讨论：当 t=0 时有 x=0，代入得满足式，故点也是所求轨迹上的点 . 综上可知，所求弦AB的中点 P的轨迹方程为： . 说明：这里的切点弦AB所在直线的方程是需要推导或证明的. 本题略去的推导或证明过程，请大家练习. 例 10已知直线与相交于 A、B两点（1）当时，求 C的方程；（2）当时，求 C的方程（ O为原点）解：（ 1）利用圆的性质，对交点坐标“不设不解”注意到C 的方程为弦心距由得名师资料总结 - - -精品资料欢迎

25、下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 23 页 - - - - - - - - - 所求 C方程为：或（2）对交点A、B坐标“既设又解”设、，将直线方程与C方程联立得：消去 x 得由题意知：为方程的两个不等实根由韦达定理得：又由 由、得：解得： a=3（满足式） 所求 C方程为点评：在这里的“既设又解”中，“设”是真心实意地设（交点坐标）“解“是半心半意地解（方程组），解至中途转而运用韦达定理求解. 例 10 的改作：（1）已知 C：与直线相交于 A、B两点，且（O为原点），求m的值 . （2）

26、已知 C 的圆心坐标为， C 与已知直线相交于 A、B 两点，且（O为坐标原点），求C方程（3）已知过点（ 3，0）的直线l 与 C ：相交于 A、B两点且（O为坐标原点），求直线l 的方程 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 23 页 - - - - - - - - - 五、高考真题（一）选择题1. “”是“直线与直线相互垂直”的（）A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件 D. 既不充分又不必要条件2. 设直线的倾斜角为，且，

27、则 a,b 满足（）A. a+b=1 B. a-b=1 C. a+b=0 D. a-b=0 3. 设直线的方程是，从 1，2，3，4，5 这五个数中每次取出两个不同的数作为 A、B的值，则所得不同直线的条数是（）A. 20 B. 19 C. 18 D. 16 4. 将直线沿 x 轴向左平移1 个单位，所得直线与圆相切，则实数的值为（）A. 3 或 7 B. 2 或 8 C. 0或 10 D. 1或 11 5. 已知直线l 过点（ 2，0），当直线l 与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A. B. C. D. 6. 从原点向圆作两条切线，则这两条切线的夹角的大小为（）A. B. C. D.

28、 7. 已知点P（x,y ）在不等式组表示的平面区域上运动，则的取值范围是（）A. -2，-1 B. -2，1 C. -1，2 D. 1，2 8. 已知圆 C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（）A. B. C. D. （二）填空题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 23 页 - - - - - - - - - 1. 直线关于直线 x=1 对称的直线方程是 .2. 设直线和圆相交于点A、B，则弦AB 的垂直平分线方程为 . 3. 若经过点P （-1，0）的直线

29、与圆相切，则此直线在y 轴上的截距是 . 4. 若，则 xy 的最大值是 . 5. 已知直线与圆相交于A、B 两点，且，则 . 6. 由动点P 向圆引两条切线PA 、PB，切点分别为A、B ，则动点 P的轨迹方程为 . 7. 非负实数 x,y 满足，则的最大值为 . 8. 设 x,y 满足约束条件，则使目标函数的值最大的点（x,y ）是 . 9. 设实数 x,y 满足，则的最大值为 . （三）解答题1. 如图，直线与直线之间的阴影区域（不含边界）记为W ，其左半部分记为W1，右半部分记为W2. （1）分别用不等式组表示 W1和 W2；（2）若区域 W中的动点 P （x,y ）到的距离之积为，求

30、点 P的轨迹 C的方程；（3）设不过原点O的直线 l 与（2）中曲线 C相交于两点，且与分别交于两点，求证：的重心与的重心重合 . 2. 在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD的长为 2，宽为 1，AB 、AD边分别在 x轴、 y 轴的正半轴上，A点与坐标原点重合（如图所示），将矩形折叠，使A点落在线段 DC上 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 23 页 - - - - - - - - - （1）若折痕所在直线的斜率为k，试写出折痕所在直线的方程；（2

31、）求折叠的长的最大值. 3. 如图，直线与相交于点P ，直线与 x 轴交于点，过点作 x 轴的垂线交于点，过点作 y 轴的垂线交直线于点，过点作 x 轴的垂线交于，这样一直作下去， 可得到一系列点P1， Q1， P2， Q2， ，点的横坐标构成数列 . （1）证明：；（2）求系数的通项公式；（3）比较与 +5 的大小 . 分析与解答（一）选择题1. 选 B. 分析：当时，两直线为和，显然垂直，条件具充分性；当两直线互相垂直时，由得：或，条件不具必要性. 故应选 B. 2. 选 D. 分析：由为倾斜为得又由得，即 a=b，故应选 D. 3. 选 C. 分析：注意到 A、 B的顺序，从 1， 2，

32、 3， 4， 5 五个数中任取两个作为中 A、 B的值有种解法，但其中有“ A=1 ，B=2 ”与“ A=2 ，B=4 ”表示同一直线， “A=2 ，B=1 ”与“ A=4 ，B=2 ”表示同一条直线，所以不同直线的条数为，应选 C. 4. 选A. 分析：把直线即向左平移1 个单位得直线 . 解法一：若注意到圆与y 轴交于（ 0，0）和（ 0，4）两点，即圆与y 轴的相交弦为x=0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 23 页 - - - - - - - -

33、 - ，当时，直线都和圆与y 轴的相交弦相交，从而否定 B，C，D，应选 A. 解法二：将代入圆方程得，当得解得或，从而应选A. 5. 选 C. 分析：将直线代入得，故选 C. 6. 选 B. 分析：已知圆的圆心 C（0，6），设两切点为A、B，则在中，则，应选 B. 7. 选 C. 分析：首先由不等式确定可行域，而后研究目标函数（即）. 结合图形易知：当直线，过点 A （0，1）时，；当直线，过点 B （2，0）时，故应选C. 8. 选 C. 分析：已知圆圆心（1，0），其关于直线的对称点为（0，-1 ），由此否定A，B，D，应选 C. （二）填空题1. 分析：从点的对称切入，当直线上的点

34、（0，0）关于的对称点为A （2，0），直线上的点（ 2，1）关于的对称点为B（0，1），则，从而直线 AB的方程为， 故所求对称直线方程为2. 分析：已知圆圆心（1，0）， 弦 AB的垂直平分线的斜率为，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 23 页 - - - - - - - - - 弦 AB的垂直平分线的方程为，故所求直线方程为：3. 分析：已知圆方程为：，经过点 P（-1 ，0）且与圆相切的直线的斜率存在，设 这 一 切线 的 方 程 为，则，由此解题

35、 k=1， 上述切线的方程为 y=x+1 ，其在 y 轴上的截距是 1，故应填1. 4. 分析：根据已知设，则（为辅助） x-y的最大值为5. 分析：由题设在中， 应填6. 分析：由题设得，又， 动点 P的轨迹是以O为圆心， 2 为半径的圆 . 动点 P的轨迹方程为点评：首先认知动点P的运动轨迹， 而后据此导出动点P的轨迹方程， 此为求动点轨迹方程的又一途径。7. 分析：由不等式组解得可行域. 可行域边界上各交点的坐标分别为O （0，0）， A （2，0） ， B （0， 3） ， C （1， 2） ， 当， 则比较 u 在各交点处的函数值得点评： 在 x,y 不受其它限制的情况下，目标函数的

36、最值一定是在可行域边界上的“交点”处取得. 因此，相关问题均可仿7 解决 . 8. 分析：由不等式作出可行域，求出可行域边界上的各个“交点”的坐标，则仿 7可得答案是点（ 2，3）.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 23 页 - - - - - - - - - 9. 分析：由不等式组作出可行域，则可行域为所 包 围 的 平 面 区 域 （ 包 含 边 界 ） ，注意到表示区域内任一点 P与原点的连线的斜率，又，（三）解答题1. 分析：对于（ 1）从题设中的

37、直线方程切入；对于（3），则可考虑推理并运用三角形重心坐标公式证明. 为此，寻找三顶点同名坐标的和之间的联系. 解：（1）由题设得：， . （2）直线，直线. 由题意得：，即： 点 由，得：整理得 所求动点 P的轨迹 C的方程为：（3）证明：（）当直线l 与 x 轴垂直时，可设直线l 的方程为， 直线 l ，曲线 C关于 x 轴对称并且与关于 x 轴对称 . 的中点坐标均为（a，0），的重心坐标均为，即它们的重心重合. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 2

38、3 页 - - - - - - - - - （）当直线l 不垂直 x 轴时，设直线l 的方程为：代入得：由 题 意 知 这 里 ：且设，则由韦达定理得：又设则由得，由得，于是可得：，即的重心与的重心重合 . 点评：（1）这里区域 . （2）根据三角形重心坐标公式，要证明上述两个三角形的重心重合，只要证三顶点的同名坐标的算术平均数分别相等. 于是，计算、推理的方向便更加明确了. 2. 分析：（ 1）由题设，知折痕上点的坐标特征，故求折痕所在直线的方程时考虑运用待定参数法；（2）利用（ 1）的结果，先求折痕之长的函数表达式，归结为函数的最值问题. 解 ：（ 1 ） 设 折 叠 后A 在 DC 边

39、上 的 对 应 点 为，并设折痕 EF所在直线的方程为（）当 k=0 时，与 D重合（水平折线），折痕所在直线的方程为（）当，由题设知与关于折痕所在直线EF对称，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 23 页 - - - - - - - - - 且的中点在直线 EF上，且， 折痕 EF所在直线方程为：于是综合（）、（）得折痕EF所在直线方程为（2）由（ 1）知线段 EF的方程为（）当 E与 D重合时， E点坐标为（ 1，0），由（）得 k=-1 ；当 F与 B

40、重合时， F 点坐标为（ 2，0），由（）得（）当 E在 OD上，F 在 OB上时，由（）得则当得，即 当时，则 l 是 k 的减函数，此时；当时，则 l 是 k 的增函数，此时；（）当 E在 DC上， F 在 OD上时，由 （）得则是 k 的增函数，此时，（ ） 当E 在OD 上 ， F 在BC 上 时 ，由 （ ） 得名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 23 页 - - - - - - - - - 则是k的 减 函 数 ，此 时于是综合（）、（）、（）得

41、的最大值为和中的最大者 . 注意到成立，而于是可知折痕EF的最大值为：点评：根据题意作出图形（比较这里的2（），可使我们的寻求目标明确，解题思路明朗，同时也可从中受到直观启发或猜想. 图形的积极作用是人所共知的. 但是，事物都是一分为二的 .当问题比较复杂时，我们所作出的图形只是诸多情况中的一种，因而很容易“以一种倾向掩盖另一种倾向”，导致我们解题的疏漏或缺憾，（忽略（）、（）. 因此，当我们刻意借助图形解题时，要注意多方位、多角度地考察问题，立足考察的这一种情形，寻觅可能存在的其它情形. 为此，不仅有利于解好这个题，而且有利于我们思路的开阔以及思维的缜密，均有益处. 3. 分析：（1）注意到

42、为点的横坐标， 所以设出之后，从寻找，坐标切入；（2）利用（ 1）的结果认知的相关数列的特性，推导的表达式；（3）首先整理、化简以及的表达式，而后根据具体情况选择比较大小的手段. 解：（ 1）证明：设点的坐标为，则由题设得点的坐标为点的坐标为 点在直线上，即 ：（2）解：由题设知，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 23 页 - - - - - - - - - 又由（ 1）知 数列是首项为，公比为的等比数列，即 ：（3）解：由解得，即 P（1，1）（）当时，

43、由得，而此时，由得 此时；（）当时，由得，而此时，由得 此时. 于是综合（）、（）得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 23 页 - - - - - - - - - 当时，；当时，点评：对于（ 3），在化简、整理出与的表达式中，根据，两式的结构特征，它们不适于比较法等直接比较的方法，于是想到借助“媒介值”来进行比较！因此，为寻找式的上（确）界和下（确）界，想到从比较与 1 的大小为主线展开讨论 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 23 页 - - - - - - - - -