2022年高中数学公式大全[] .pdf

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1、高中数学常用公式及常用结论高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系UxAxC?AU,xC AxA?.2. 德摩根公式 ();()UUUUUCABC AC B CABC AC B=IUUIU)I. 3. 包含关系 ABAABB=?=IUUUABC BC A?UAC B?=IUC ABR?=U4. 容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB=+-UI()(card ABCcardAcardBcardCcard AB=+-UUI()()()(card ABcard BCcard CAcard ABC-+IIII. 5集合的子集个数共有 个；真子集有1 个；非空子集有

2、1个；非空的真子集有2 个. 12,na aaL2n2n2n2n6. 二次函数的解析式的三种形式 (1) 一般式; 2( )(0)f xaxbxc a=+(2) 顶点式; 2( )()(0)f xa xhk a=-+(3) 零点式. 12( )()()(0)f xa xxxxa=-7.解连不等式常有以下转化形式( )Nf xM( )Nf xM?( )( )0f xMf xN-?|( )|22MNMNf x+-?11( )f xNMN-. 8. 方程在上有且只有一个实根 , 与0)(=xf),(21kk0)()(21kfkf)0(0=ac不等价, 前者是后者的一个必要而不是充分条件. 特别地 ,

3、 方程有且只有一个实根在内, 等价于, 或2+ bxax0),(21kk0k)()21kf(f(1=kf且22211kabk+-k, 或且0)(2=kf22122abkk-0 时， 若qpabx,2-=qpabx,2?-=，maxmax( )( ),( )f xfpf=q，minmin( )( ),( )f xfpf=q. (2)当a0时 ， 若qpabx,2-=， 则min( )min( ),( )f xfpf=q， 若1 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共

4、 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论qpabx,2?-=，则max( )max(),( )f xfp=f q，min( )min(),( )f xfpf=q. 10. 一元二次方程的实根分布 依据：若，则方程()f m( )0f n ?； （1）方程在区间)(xf0=),(+m0)(=mf内有根的充要条件为或（2）方程0)(=xf在区间( ,内有根的充要条件为)m n() ( )0f m f n ?-? -?00f naf?( )0()0m=0=(, )n- （3）方程在区间内有根的充要条件为)(xf( )0f m 或2402pqpm?-?-+ cbx.

5、(3)恒成立的充要条件是或)(4+= axxf000abc?2040abac?-?baxfxxxfxf,)(0)()(2121在?-上是增函数； 1212()()()0 xxf xf x-?baxfxxxfxf,)(0)()(2121在?xf，则为增函数；如果，则为减函数 . )(xf0)(. (4) 幂函数( )f xx=,()( )( ),(1)f xyf x f yf=. (5) 余弦函数( )cosf x =x, 正弦函数( )sing xx=，()( ) ( )( ) ( )f xyf x f yg x g y-=+， 0( )(0)1,lim1xg xfx=. 29. 几个函数方程

6、的周期 ( 约定a0) （1），则的周期 T=a； )()(axfxf+=)(xf（2）， 0)()(=+=axfxf或)0)()(1)(=+xfxfaxf， 或1()( )f xaf x+=-( ( )0)f x , 或21( )( )(),( )0,1)2f xfxf xaf x+-=+, 则的周期 T=2a； )(xf(3)0)()(11)(+-=xfaxfxf，则的周期 T=3a； )(xf(4)()(1)()()(212121xfxfxfxfxxf-+=+且1212( )1( ()()1,0 | 2 )f af xf xxxa=?-，且）. 1n (2)1mnmnaa-=（0,am

7、nN?，且）. 1n 31根式的性质（1）()nnaa=. （2）当为奇数时，nnna = a； 当为偶数时，n,0|,0nna aaaa a?=?- )Q)(2) (). (0, ,)rsrsaaar s=(3). ()(0,0,)rrraba b abrQ=注： 若 a0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用. 33. 指数式与对数式的互化式 .logbaNbaN=?=(0,1,0aaN34. 对数的换底公式 logloglogmamNNa= (, 且0a 1a , 且0m 1m ,). 0N 推论 loglogmnaanbb0a m=0

8、(, 且, 且1a ,m n 1m ,1n ,). 0N 35对数的四则运算法则 若 a0，a1，M 0，N0，则 (1)log ()loglogaaaMNMN=+; (2) logloglogaaMaMNN=-; (3)loglog()naaMnM nR=. 36. 设函数, 记. 若的定义域为)0)(log)(2+=acbxaxxfmacb42-=)(xfR, 则，且0a0a0. 对于的情形 , 需要单独检验 . 0=a37.对数换底不等式及其推广若,0a 0b 0 x 1xa, 则函数log ()axybx= (1)当时, 在ab1(0,)a和1(,)a+上log()axybx=为增函数

9、 . ，(2) 当时, 在ab0p 0a 1a ，则（1）log()logm pmnpn+.5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论（2）2logloglog2aaamnmn+.38.平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值，有y(1)xyNp=+. 39. 数列的同项公式与前n 项的和的关系 11,1,2nnnsnassn-=?=?-?( 数列的前

10、 n 项的和为na12nnsaaa=+L). 40. 等差数列的通项公式 *11(1)(naanddnad nN=+-=+-)； 其前 n 项和公式为 1()2nnn aas+=1(1)2n nnad-=+211()22dnad=+-n. 41. 等比数列的通项公式 1*11()nnnaaa qqnNq-=?； 其前 n 项的和公式为 11(1),11,1nnaqqsqna q?-?=-?=?或11,11,1nnaa qqqsna q-?-=?=?. 42. 等比差数列 na:的通项公式为 11,(nnaqad ab q+=+=0)1(1) ,1(),11nnnbnd qabqdb qdqq-

11、+-=?=+-?-?； 其前 n 项和公式为 (1) ,(1)1(),(111nnnbn ndqsdqdbnqqq+-=?=-?-+?-?1)q . 43.分期付款 (按揭贷款 ) 每次还款(1)(1)1nnabbxb+=+-元(贷款元,次还清 ,每期利率为). anb44常见三角不等式（1）若(0,)2x，则sintanxxx. 6 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论(2) 若(0,)

12、2x，则1sincos2xx ?+-. in(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xaaxkaka kZs ?-+cos. cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkakakZ?+. tan()(,arctan ),2xa aRxkka kZ2(aba+2222)()() , , , ,cdacbdb c dR+bababa-+.（5）72. 极值定理 已知yx,都是正数，则有 p2xyp，则当yx =时和yx +（1）若积是定值有最小值； 有最大值241syx =时积xys，则当yx +是定值. （2）若和，则有xyx(2-=yyx2)(2+推广 已知

13、Ryx,（1）若积xy是定值|yx -|yx+, 则当最大时,最大； ）若和当|yx -最小时,|yx +最小.（2|yx +是定值 , 则当|yx -最大时 , 最小； 最大. 73. 一 元|xy当|yx -最小时 , | xy二 次 不 等 式20()axbxc+， 如 果a与2axbxc+同号，则其解集在两根之外；如果a与+异号，则其解集在两间. 简言之：同号两根之外，异号两根之间. 2)根之12121()()0(xxxxxxxxx?-； 2)121)()0(12,(xxxxxx?-或xxxx- 0 时，有 74. 含有绝对值的不等式 22xaxaax a?-? a或xa? . （2）

14、2( )0( )0( )( )( )0( )0( )( )f xf xf xg xg xg xf xg x?或. 2( )0( )( )( )f xg xg x0( ) ( )f x（3）f xg x?. 76. 指数不等式与对数不等式 (1) 当时, x; ( )()( )( )f xg xaaf xg?( )0( )lo)( )0( )f xxg xlogg(aaf xgf ( )xg x?. (2) 当时, x; 01a?77.斜率公式21yy21kxx-（2）-=111(,)P x y、. 方程22(,)P xy78.直线的五种11()yyk xx-=-（1）点斜式( 直线（2）斜截式

15、(b 为直线在 y 轴上的截距 ). （l过点1，且斜率为11(,)P x yk)ykxb=+l3）两点式 111yyxx212yxx-=-(12yy)(111(,)P x y、2(P x122,)y (2xx). y(4) 截距式 1ab+=(a、xy分别为直线的横、纵截距，b0ab 、)一般式其中 AB 不同时为 0).两条直线的平行和垂直若，2(2)若（5）、0AxByC+=(79.(1)22l11:lyk xb=+1: yk xb=+1|l21212,lkk bb?=; 12121llk k?= -. 1111:0lA xB yC+=,2222:0lA xB yC+=,且 A1、A2、

16、B1、B2都不为零 , 11122|ABCBC?=；122llA11 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论12l80.12120lA AB B?+=；夹角公式(1)2121tan|1kkk k-=+. (:lk11yk xb=+122:lyxb=+,，2121k k -)(2)12211212(0lA:lA xBCtan|ABA BA AB B-=+. 1111:xB yC+=,2222

17、y0+=,12120A AB B+). 时，直线1与 l2的夹角是直线l12ll2. 81. 1l到的角公式2l(1)2121tan1kkk k-=+. (:l=11yk xb=+122:lyk xb+,，2121k k -)(2)12211212(:lA xBtanA BA BA AB B-=+. 1111:0lAxB yC+=,2222yC0+=,12120A AB B+). 2. 直线12ll时，直线 l1到 l2的角是82(1) 定点直线系方程：点方程为四种常用直线系方程 经过定000(,)P xy的直线系00()yyk xx-=-( 除直线x0 x),其 中k是 待 定 的 系0(程

18、 为0()(A xxB y-+=数 ; 经 过是待定的系数 定 点方0, 其中直线00,)y的 直 线 系P x0) =y-,A B(2) 共点直线系方程： 经过两110 xB yC11:lA+=,2222:0lA xB yC+=的交的直线系方程为222()A xB yC点111(A xB yC )0=( 除2l) ，其中是待定的系数 +(3) 平ykxb=+行直线系方程：直线中当斜率 k 一定而 b 变动时，表示平行直线系方程与直线0AxByC+=平行的直线系方程是0AxBy+=(0) ，是参变量 与直线0AxByC+=(4) 垂直直线系方程： (A 0，B0)垂直的直线系方程是0BxAy-

19、+=, 是参变83.点到直线的距离量 0022|0(,)P xy,AxByCAB+0AxByC+=d =(点直线l：0). 或所84.ByC+表示的平面区域 设直线:0lAxByC+=，则0AxByC0Ax+0或00)00或)0)0所表示的平面区域上下两部分. 2所表示的平面区域上下两部分； 1112()(A xB yCA+22xB yC+?点P在圆外;dr=?Pdr?点在圆内 . 线与圆的位置关直线P89. 直系 0=+CByAx与圆的位置关系有三种: 222)()rbyax=-+-(0相离rd; 0=?=相切rd; 0?rrd; 条公切线外切321?+=rrd; 条公切线相交22121?+

20、-rrdrr; 条公切线内切121?-=rrd; 无公切线内含 ?-的参数方程是cossinxayb=?=?. 93. 椭圆22221(0)xyabab+=焦半径公式 )(21caxePF+=，)(22xcaePF-=. 94椭圆的的内外部 （1）点在椭圆00(,)P xy22221(0)xyabab+=的内部2200221xyab?+的外部2200221xyab?+. 95. 椭圆的切线方程 (1) 椭圆22221(0)xyabab+=上一点处的切线方程是00(,)P xy00221x xy yab+=. （2）过椭圆22221(0)xyabab+=外一点所引两条切线的切点弦方程是 00(,

21、)P xy00221x xy yab+=. （ 3 ） 椭 圆22221(0)xyabab+=与 直 线0AxByC+=相 切 的 条 件 是.22222A aB bc+=96. 双曲线22221(0,0)xyabab-=的焦半径公式 21| () |aPFe xc=+，22| ()|aPFexc=-. 97. 双曲线的内外部 (1) 点在双曲线00(,)P xy22221(0,0)xyabab-=的内部2200221xyab?-. (2) 点在双曲线00(,)P xy22221(0,0)xyabab-=的外部2200221xyab?-0上一点处的切线方程是00(,)P xy00221x xy

22、 yab-=. （2）过双曲线22221(0,0)xyabab-=外一点所引两条切线的切点弦方程是 00(,)P xy00221x xy yab-=. （ 3 ） 双 曲 线22221(0,0)xyabab-=与 直 线0AxByC+=相 切 的 条 件 是22222A aB bc-=.100. 抛物线的焦半径公式 pxy22=抛物线焦半径22(0)ypx p=02pCFx=+. 过焦点弦长pxxpxpxCD+=+=212122. 101.抛物线上的动点可设为Ppxy22=),2(2ooypy或 P(,或)2,2(2ptptP)xyoo，其中 22ypx=oo. 102.二次函数2224()2

23、4bac byaxbxca xaa-=+=+)(0a 的图象是抛物线： （1）顶点坐标为24(,24bacbaa-)； （2）焦点的坐标为224bacbaa41(,)-+-； （3）准线方程是2414acbya-=. 103.抛物线的内外部 (1) 点在抛物线的内部00(,)P xy22(0ypx p= )22(0)ypx p?. 点在抛物线的外部00(,)P xy22(0ypx p=)22(0)ypx p?. (2) 点在抛物线的内部00(,)P xy22(0)ypx p= -22(0ypx p)?. 点在抛物线的外部00(,)P xy22(0)ypx p= -22(0ypx p)? -.

24、(3) 点在抛物线的内部00(,)P xy22(0)xpy p=22(0)xpy p?. 点在抛物线的外部00(,)P xy22(0)xpy p=22(0 xpy p)?. (4) 点在抛物线00(,)P xy22(0 xpy p)=的内部22(0 xpy p)?. 点在抛物线的外部00(,)P xy22(0 xpy p= - )22(0)xpy p? -. 104. 抛物线的切线方程15 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - -

25、 - - - 高中数学常用公式及常用结论(1) 抛物线上一点处的切线方程是pxy22=00(,)P xy00()y yp xx=+. （2） 过抛物线外一点所引两条切线的切点弦方程是pxy22=00(,)P xy00()y yp x x=+. （3）抛物线22(0ypx p)=与直线0AxByC+=相切的条件是22pBA=C. 105.两个常见的曲线系方程 (1) 过曲线,1( , )0fx y =2( , )0fx y =的交点的曲线系方程是 12( , )( , )0f x yfx y+=(为参数 ). (2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程22221xyakbk+=-

26、, 其 中. 当时, 表示椭圆 ; 当时, 表示双曲线 . 22max,ka2222min,max,abka b,为直线AB倾斜角，k为直线的斜率）. 的107.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线关于点成中心对称的曲线是. ( , )0F x y =00(,)P xy00(2- ,2)0Fx xyy-=（2）曲线关于直线( , )0F x y =0AxByC+=成轴对称的曲线是 22222 ()2 ()(,A AxByCB AxByCF xyABAB)0+-+=. 108.“四线”一方程对于一般的二次曲线， 用220AxBxyCyDxEyF+=0 x x代2x， 用0y y代2y，用002x

27、yxy+代xy，用02xx+代x，用02yy+代即得方程 y0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF+?+?+?+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到. 109证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 110证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 111证明平面与平面平行的思考途径（1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直. 1

28、12证明直线与直线的垂直的思考途径（1）转化为相交垂直；（2）转化为线面垂直；（3）转化为线与另一线的射影垂直；16 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论（4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面；（

29、5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 115. 空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1) 加法交换律：ab=ba (2) 加法结合律：( a b) c=a(bc) (3) 数乘分配律：(ab)= a b 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b0 )，ab?存在实数使a=bPAB、 、三点共线?|APAB ?APtAB=

30、uuuuu rru?(1)OPt OAtOB=-+uuu ruuu ruuu r. |AB CD ?ABuuu r、CD共线且uuu rABCD、不共线?ABtCD=uuu ruuu r且ABCD、不共线 . 118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量a、b 共面的?存在实数对, x y, 使paxby=+ 推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对, x y, 使MPxMAyMB=+uuu ruuu ruuu r，或对空间任一定点O ，有序实数对, x y，使OPOMxMAyMB=+uuu ruuuuruuuuuurr. 119. 对 空 间任 一 点O和 不 共 线 的 三

31、 点A、 B、 C， 满 足OPxOAyOBzOC=+uuu ruuu ruuu ruuu r（xyzk+=） ，则当时，对于空间任一点O，总有 P、A、B、C 四点共面；当时，若O平面 ABC ，则 P、A、B、C 四点共面；若1k =1k O ?平面 ABC ，则 P、A、B、C 四点不共面 CAB、 、 、D四点共面与?ADuuu rABuuu r、ACuuu r共面?ADxAByAC=+uuu ruuu ruuu r?(1)ODxy OAxOByOC=-+uuu rruuu ruuuuuu r（O?平面 ABC ）. 120.空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c 不共面，那么对空间

32、任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使 px ay bz c 推论 设 O 、A、B、C 是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 x，y，z，使. OPxOAyOBzOC=+uuu ruuu ruuu ruuu r121.射影公式 已知向量=a和轴l，e 是l上与l同方向的单位向量. 作 A 点在l上的射影，作 B点在l上的射影ABuuu rAB，则 |coABAB=uuu rs)a，e=ae 122.向量的直角坐标运算 设a，b则 123(,)a aa123(,)b b b(1)ab112233(,ab ab ab+； (2)ab112233(,ab ab a

33、b )-； (3) a123(,aaa ) ( R)； 17 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论(4)ab1 12233aba ba b+； 123.设 A111(,)x y z，B222(,)xyz，则 ABOBOA=-uuu ruuu ruuu r= 212121(,)xx yy zz-. 124空间的线线平行或垂直设111(,)ax y z=r，222(,)bxyz=r，则a b

34、rrP?(0ab b= )rr rr?121212xxyyzz=?=?=?；abrr?0a b? =r r?1212120 x xy yz z+=. 125.夹角公式 设a，b，则 123(,)a aa123(,)b b bcosa，b=1 1223 3222222123123aba ba baaabbb+. 推论 ，此即三维柯西不等式 . 22222221 12233123123()()(a ba ba baaabbb+)126. 四面体的对棱所成的角 四面体中, 与ABCDACBD所成的角为, 则 2222|()()|cos2ABCDBCDAAC BD+-+=?.127异面直线所成角cos

35、| cos,|a b=r r=12121222222111222| |x xy yz za bab2xyzxyz+?=?+?+rrrr（其中（）为异面直线a所成角，0 mn1+mn时，有nmnnnmCAA11+=种排法 . （4） 两组相同元素的排列： 两组元素有 m个和 n个， 各组元素分别相同的排列数为. nnmC+158分配问题 （1）(平均分组有归属问题)将相异的m、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有nmnmnnCnnC2nnmnnnmnnmnnmnCCCN) !()!(2=?=-L.（2）(平均分组无归属问题)将相异的n个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有mmmn

36、nnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN) !( !)!(!.22=?=-.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有)L12mP(P=n +n +n1n2nmnm1n2nmn!.!.211nmN=-21nnpmnmnnCmm?npC?npC.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，件，且，这m个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有)L12mP(P=n +n +n1n2nmnm1n2nmn!.!.21cbamCmmnnnnp?-1CnpCN?=12

37、!.n!(!.)mp mn!n=! !a b c.（5） (非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数彼此不相等，则其分配方法数有)L12mP(P=n +n +nmnm1n2nmnm1n2n!.!21np!mnnN =.（6） (非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，件无记号的堆，且，这个数中分别有a、b、c、个相等，则其分配方法数有)L12mP(P=n +n +nmnm1n2nmnm1n2n!.)!cb!.2nN =( !apm!1nn.（7） (限定分组有归属问题)将相异的p（2mpnnn=L1+1n2n） 个物体分给甲、 乙、 丙， 等个人，物

38、体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，时， 则无论，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有m23n1nnmnm!.!.21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm=?=-. 159 “错位问题”及其推广22 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论贝努利装错笺问题:信封信与个信封全部错位的组合数为nn1111( )!( 1)2!3!4!nf nnn=-+-+ -L. 推广 :

39、个元素与个位置 ,其中至少有个元素错位的不同组合总数为nnm1234( ,)!(1)!(2)!(3)!(4)!( 1)()!( 1)()!mmmmppmmmmf n mnCnCnCnCnCnpCnm=-+-+-+ -+ -LL12341224!1( 1)( 1)pmpmmmmmmmpmnnnnnnCCCCCCnAAAAAA=-+-+-+ -+ -LL. 160不定方程2nxxx =L1+m的解的个数(1)方程2nxxx =L1+m,n mN（?）的正整数解有11mnC-个. (2) 方程2nxxx =L1+m,n mN（?）的非负整数解有11n mnC+-个. (3) 方程2nxxx =L1+

40、m, n mN（?）满足条件ixk(kN?,)的非负整数解有21in -11(2)(1)mnnkC+-个. (4) 方程2nxxx =L1+m, n mN（?）满足条件ixk(kN?21 (21mnnnC-+ -,)的正整数解有CC个. 21in -2) k-12111nmnm n knnC+-+ -2221nm nCC-+- 23( 1kn-+- L2)nnC-+ -161.二项式定理 ; nnnrrnrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba+=+-LL222110)(二项展开式的通项公式 rrnrnrbaCT-+=1)210(nr， L=. 162.等可能性事件的概率 ( )mP

41、An=. 163.互斥事件A，B 分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)164.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1) P(A2) P(An) 165.独立事件A，B 同时发生的概率 P(AB)= P(A) P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率 ( )(1).kkn knnP kC PP-=-168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）; 0(1,2,)iPi=L（2）. 121PP+=L169.数学期望 1122nnEx Px

42、Px P=+LL170.数学期望的性质 （1）()( )E abaEb+=+. （2）若( ,)B n p, 则Enp=. 23 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论(3) 若服从几何分布 , 且，则1()( ,)kPkg k pq-=p1Ep=.171.方差 ()()()2221122nnDxEpxEpxEp=-?+-?+-?+LL172.标准差 =D. 173.方差的性质 (1)()

43、2D aba D+=； (2）若( ,)B n p，则(1)Dnpp=-. (3) 若服从几何分布 , 且，则1()( ,)kPkg k pq-=p2qDp=.174.方差与期望的关系 ()22DEE=-. 175.正态分布密度函数 ( )()(22261,2 6xfxex-= - +)，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差 . 176.标准正态分布密度函数 ( )()221,2 6xfxex-= - +. 177.对于2( ,)N，取值小于x 的概率 ( )xF x-?= ?. ()()()12201xxPxxPxxxP-=( )( )21FxFx=-21xx-?= - ?

44、.178.回归直线方程 $ yabx=+，其中()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxaybx=?-?=?-?=-?nx. 179.相关系数 ()()12211()()niiinniiiixxyyrxxyy=-=-()()1222211()(niiinniiiixxyy)xnxyny=-=-. |r| 1，且|r| 越接近于1，相关程度越大； |r| 越接近于0，相关程度越小 . 180.特殊数列的极限 24 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

45、 - - - 第 24 页，共 27 页 - - - - - - - - - 高中数学常用公式及常用结论（1）0| 1lim11| 11nnqqqqq?=?= -?不存在或.（2）1101100(lim()()kkkktttnttkkta nanaaktbnb nbbkt-?LL不存在 . （3）()111lim11nnaqaSqq-=-=（无穷等比数列S11na q- (| 1q ) 的和）. 181. 函数的极限定理0lim( )xxf xa=?00lim( )lim( )xxxxf xf x-+= a. 182.函数的夹逼性定理如果函数f(x) ，g(x) ，h(x) 在点 x0的附近满

46、足：（1）; ( )( )( )g xf xh x（2）00lim( ),lim( )xxxxg xah xa=（常数） , 则0lim( )xxf xa=. 本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立. 183.几个常用极限（1）1lim0nn=，（|lim0nna=1a xf0)( xf，则是极大值； )(0 xf（2）如果在附近的左侧0 x0)( xf，则是极小值 . )(0 xf197.复数的相等 ,abicdiac bd+=+?=. （, , ,a b c dR） 198.复数的模（或绝对值） zabi=+|z=|=abi+22ab+. 199.复数的四则运算法则 (1)(); ()()(

47、abicdiacbd i+=+)(2); ()()()(abicdiacbd i+-+=-+-(3); ()()()(abi cdiacbdbcad i+=-+(4)2222()()(acbdbcadabicdii cdicdcd+-+=+0)3. 200.复数的乘法的运算律 对于任何，有 123,z z zC交换律:. 1221zzzz?=?结合律:. 123123()(zzzzzz?=?分配律: . 123121()zzzzzzz?+=?+?201.复平面上的两点间的距离公式 22122121|()(dzzxxyy=-=-+-)i（111zxy=+，222zxy i=+）. 202.向量的

48、垂直 非零复数，对应的向量分别是1zab=+ ii2zcd=+1OZuuuur，2OZuuuur，则 12OZOZuuuuruuuur?12zz?的实部为零?21zz为纯虚数?221212|zzzz+=+2|?221212|zzzz-=+2| ?1212| |zzzz |+=-?0acbd+=?1ziz2=( 为非零实数 ).203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程， 20axbxc+=若, 则240bac=-21,242bbacxa-=; 若, 则240bac=-=122bxxa= -; 若，它在实数集24bac=- 0R内没有实数根； 在复数集内有且仅有两个共轭复数根C2(42bba- -2)(40)ac ixbac=-.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - -