2022年高考导数专题复习 .pdf

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1、第 1 页 共 21 页高考数学专题复习导数目录一、有关切线的相关问题二、导数单调性、极值、最值的直接应用三、交点与根的分布1、判断零点个数2、已知零点个数求解参数范围四、不等式证明1、作差证明不等式2、变形构造函数证明不等式3、替换构造不等式证明不等式五、不等式恒成立求参数范围1、恒成立之最值的直接应用2、恒成立之分离常数3、恒成立之讨论参数范围六、函数与导数性质的综合运用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第

2、2 页 共 21 页导数运用中常见结论(1) 曲线( )yf x在0 xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为000()()()yfxxxf x。(2) 若可导函数( )yf x在0 xx处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。(3) 对于可导函数( )f x，不等式( )fx00（）的解集决定函数( )f x的递增（减）区间。(4) 函数( )f x在区间 I 上递增（减）的充要条件是：xI( )fx0(0)恒成立（( )fx不恒为 0）. (5) 函数( )f x（非常量函数）在区间I 上不单调等价于( )f x在区间I 上有极值，则可等价转化为方程( )0fx在区间 I 上有实根

3、且为非二重根。 （若( )fx为二次函数且I=R ， 则有0） 。(6)( )f x在区间I 上无极值等价于( )fx在区间在上是单调函数，进而得到( )fx0或( )fx0在 I 上恒成立(7) 若xI，( )f x0恒成立， 则min( )f x0; 若xI，( )f x0恒成立，则max( )f x0(8) 若0 xI， 使 得0()fx0， 则max( )f x0； 若0 xI， 使 得0()fx0， 则min( )f x0. (9) 设( )f x与( )g x的定义域的交集为D，若xD ( )( )f xg x恒成立，则有min( )( )0f xg x. (10) 若对11xI、

4、22xI，12()()f xg x恒成立，则minmax( )( )f xg x. 若对11xI，22xI，使得12()()f xg x,则minmin( )( )f xg x. 若对11xI，22xI，使得12()()f xg x，则maxmax( )( )f xg x. （11 ）已知( )f x在区间1I上的值域为A,，( )g x在区间2I上值域为B，若对11xI,22xI，使得1()f x=2()g x成立，则AB。(12) 若三次函数f(x) 有三个零点，则方程( )0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

5、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 3 页 共 21 页极小值小于0. (13) 证题中常用的不等式: ln1 (0)xxxln+1(1)xx x（）1xex1xexln1(1)12xxxx22ln11(0)22xxxx sinxx (0 x) lnxx0) 1x+名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 21 页 - - - - - - - - -

6、 第 4 页 共 21 页一、有关切线的相关问题例题、【 2015 高考新课标1，理 21】已知函数f（x）=31,( )ln4xaxg xx. ()当a为何值时，x轴为曲线( )yf x的切线；【答案】（）34a跟踪练习：1、 【2011 高考新课标1，理 21】已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230 xy。（）求a、b的值；解：（）221(ln )( )(1)xxbxfxxx由于直线230 xy的斜率为12，且过点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff即1,1,22bab解得1a，1b。2、(2013课标全国，理21) 设函数f(x

7、)x2axb，g(x)ex(cxd)若曲线yf(x)和曲线yg(x)都过点P(0,2) ，且在点P处有相同的切线y4x2. (1)求a，b，c，d的值；解： (1)由已知得f(0) 2，g(0) 2，f (0)4，g (0)4. 而f (x)2xa，g (x) ex(cxdc)，故b2，d2，a4，dc4. 从而a4，b2，c2，d2. 3、 (2014 课标全国， 理 21) 设函数1( 0lnxxbef xaexx， 曲线( )yf x在点（1，(1)f处的切线为(1)2ye x. ()求,a b；【解析】： () 函数( )f x的定义域为0,，112( )lnxxxxabbfxaexe

8、eexxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 5 页 共 21 页由题意可得(1)2,(1)ffe1,2ab 6 分二、导数单调性、极值、最值的直接应用（一）单调性1、根据导数极值点的相对大小进行讨论例题： 【2015 高考江苏， 19 】已知函数),()(23Rbabaxxxf. （1）试讨论)(xf的单调性；【答案】（ 1）当0a时，fx在,上单调递增；当0a时，fx在2,3a，0,上单调递增，在2,03a

9、上单调递减；当0a时，fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减当0a时，2,0,3ax时，0fx，20,3ax时，0fx，所以函数fx在,0，2,3a上单调递增，在20,3a上单调递减练习： 1、已知函数1( )ln1af xxaxx()aR. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 6 页 共 21 页当12a时，讨论( )f x的单调性；答案：1( )ln1(0)af xxaxxx，222l11(

10、 )(0)aaxxafxaxxxx令2( )1(0)h xaxxa x当0a时，( )1(0)h xxx，当(0,1), ( )0,( )0 xh xfx,函数( )f x单调递减；当(1,), ( )0,( )0 xh xfx，函数( )f x单调递增 . 当0a时，由( )0fx，即210axxa，解得1211,1xxa. 当12a时12xx，( )0h x恒成立，此时( )0fx，函数( )fx单调递减；当102a时，1110a,(0,1)x时( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减；1(1,1)xa时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递增；1(1,)xa

11、时，( )0,( )0h xfx，函数( )f x单调递减 . 当0a时110a，当(0,1), ( )0,( )0 xh xfx,函数( )fx单调递减；当(1,), ( )0,( )0 xh xfx，函数( )f x单调递增 . 综上所述：当0a时，函数( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增；当12a时12xx,( )0h x恒成立 ,此时( )0fx，函数( )f x在(0,)单调递减；当102a时,函数( )f x在(0,1)递减 ,1(1,1)a递增 ,1(1,)a递减 . 2、已知 a为实数，函数( )(1)exf xax，函数1( )1g xax，令函数( )( )(

12、 )F xf xg x 当0a时，求函数( )F x的单调区间解：函数1( )e1xaxF xax，定义域为1x xa当0a时，222222221()21( )ee(1)(1)xxaaxa xaaFxaxax令( )0Fx，得2221axa9 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 7 页 共 21 页当210a，即12a时，( )0Fx当12a时，函数( )F x 的单调减区间为1(,)a，1(,)a 11 分

13、当102a时，解2221axa得122121,aaxxaa121aaa，令( )0Fx，得1(,)xa，11(,)xxa，2(,)xx；令( )0Fx，得12(,)xxx13 分当102a时 ， 函 数( )F x的 单 调 减 区 间 为1(,)a，121(,)aaa，21(,)aa；函数( )F x 单调增区间为2121(,)aaaa 15 分当210a，即12a时，由（ 2）知，函数( )F x 的单调减区间为(, 2) 及( 2,)2、根据判别式进行讨论例题： 【2015 高考四川，理21】已知函数22( )2()ln22f xxaxxaxaa，其中0a. （1）设( )g x是( )

14、f x的导函数，评论( )g x的单调性；【答案】（1）当104a时，( )g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，( )g x在区间(0,)上单调递增. 【解析】（ 1）由已知，函数( )f x的定义域为(0,)，( )( )222ln2(1)ag xfxxaxx，所以222112()2()2224( )2xaag xxxx. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 21 页 - - -

15、 - - - - - - 第 8 页 共 21 页当104a时，( )g x在区间114114(0,),(,)22aa上单调递增，在区间114114(,)22aa上单调递减；当14a时，( )g x在区间(0,)上单调递增 . 练习：已知函数( )lnaf xxxx，aR（1）求函数( )f x的单调区间；解：函数( )f x 的定义域为 (0,) 2221( )1axxafxxxx令( )0fx，得20 xxa，记14a（）当14a时，( )0fx，所以( )f x 单调减区间为(0,) ； 5 分（）当14a时，由( )0fx得12114114,22aaxx，若104a，则120 xx，由

16、( )0fx，得20 xx ，1xx ；由( )0fx，得21xxx 所以，( )f x 的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114114(,)22aa；7 分若0a，由（ 1）知( )f x 单调增区间为(0,1) ，单调减区间为(1,) ；若0a，则120 xx ，由( )0fx，得1xx ；由( )0fx，得10 xx ( )f x 的单调减区间为114(,)2a，单调增区间为114(0,)2a 9 分综上所述：当14a时，( )f x 的单调减区间为(0,) ；当104a时，( )f x 的单调减区间为114(0,)2a，114(,)2a，单调增区间为114

17、114(,)22aa；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 9 页 共 21 页当0a时 ，( )f x单 调 减 区 间 为114(,)2a， 单 调 增 区 间 为114(0,)2a10 分2. 已知函数1( )()2ln()f xa xx axR 求函数( )fx 的单调区间；解：函数的定义域为0,，222122( )(1)axxafxaxxx 1 分（1）当0a时，2( )20h xaxxa在(0,)上恒

18、成立，则( )0fx在(0,)上恒成立，此时( )f x 在(0,)上单调递减 4 分（2）当0a时，244a，（）若01a，由( )0fx，即( )0h x，得211axa或211 axa； 5 分由( )0fx，即( )0h x，得221111aaxaa 6 分所以函数( )f x 的单调递增区间为211(0,)aa和211(,)aa，单调递减区间为221111(,)aaaa7 分（）若1a，( )0h x在(0,)上恒成立，则( )0fx在(0,)上恒成立，此时( )f x在(0,)上单调递增3、含绝对值的函数单调性讨论例题： 已知函数( )lnf xx xax. （1）若a=1 ，求函

19、数( )f x在区间1, e的最大值 ; （2）求函数( )fx的单调区间；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 10 页 共 21 页（3）若( )0f x恒成立，求 a的取值范围解：（ 1）若a=1, 则( )1lnf xx xx当1, xe时, 2( )lnf xxxx,2121( )210 xxfxxxx，所以( )fx在1, e上单调增 , 2max( )( )1f xf eee. 2 分（ 2）由于(

20、 )lnf xx xax，(0,)x（）当0a时，则2( )lnf xxaxx，2121( )2xaxfxxaxx，令( )0fx，得20804aax（负根舍去），且当0(0,)xx时，( )0fx；当0(,)xx时，( )0fx，所以( )fx在28(0,)4aa上单调减，在28(,)4aa上单调增 .4 分（）当0a时，当xa时，2121( )2xaxfxxaxx, 令( )0fx，得2184aax（284aaxa舍），若284aaa，即1a, 则( )0fx，所以( )f x在( ,)a上单调增；若284aaa，即01a, 则当1(0,)xx时，( )0fx；当1( ,)xx时，( )0

21、fx，所以( )f x在区间28(0,)4aa上是单调减，在28(,)4aa上单调增. 6 分当0 xa时, 2121( )2xaxfxxaxx, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 11 页 共 21 页令( )0fx，得2210 xax，记28a，若280a，即02 2a, 则( )0fx，故( )f x在(0,)a上单调减；若280a，即2 2a, 则由( )0fx得2384aax，2484aax且34

22、0 xxa，当3(0,)xx时，( )0fx；当34(,)xx x时，( )0fx；当4(,)xx时，( )0fx，所以( )f x在区间28(0,)4aa上是单调减，在2288(,)44aaaa上单调增；在28(,)4aa上单调减 . 8 分综上所述，当1a时,( )f x单调递减区间是28(0,)4aa，( )f x单调递增区间是28(,)4aa；当122a时, ( )f x单调递减区间是(0, )a，( )f x单调的递增区间是( ,)a；当2 2a时, ( )f x单调递减区间是(0, 284aa)和28(, )4aaa，( )f x单调的递增区间是2288(,)44aaaa和( ,)

23、a. 10 分（3）函数( )fx的定义域为(0,)x由( )0f x，得ln xxax* （）当(0,1)x时，0 xa ，ln0 xx，不等式 *恒成立，所以Ra；（）当1x时， 10a ，ln0 xx，所以1a； 12 分（）当1x时，不等式 * 恒成立等价于ln xaxx恒成立或ln xaxx恒成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 12 页 共 21 页令ln( )xh xxx，则221ln( )x

24、xh xx因为1x，所以( )0h x，从而( )1h x因为ln xaxx恒成立等价于min( ( )ah x，所以1a令ln( )xg xxx，则221ln( )xxg xx再令2( )1lne xxx ，则1( )20e xxx在(1,)x上恒成立，( )e x 在(1,)x上无最大值综上所述，满足条件的a 的取值范围是(,1) 16 分2设a为实数，函数2( )|f xx xa（2）求函数( )f x的单调区间名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 21

25、 页 - - - - - - - - - 第 13 页 共 21 页4、分奇数还是偶数进行讨论例题： 【2015 高考天津，理20 已知函数( )n,nf xxxxR，其中*n,n2N. (I)讨论( )f x的单调性；【答案】 (I) 当n为奇数时，( )f x在(, 1)，(1,)上单调递减， 在( 1,1)内单调递增；当n为偶数时，( )fx在(,1)上单调递增，( )f x在(1,)上单调递减 . (II)见解析； (III)见解析 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - -

26、 - 第 13 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 14 页 共 21 页(2)当n为偶数时，当( )0fx，即1x时，函数( )f x单调递增；当( )0fx，即1x时，函数( )f x单调递减 . 所以，( )f x在(, 1)上单调递增，( )f x在(1,)上单调递减 . 5、已知单调区间求参数范围例题： （14 年全国大纲卷文）函数f(x)=ax3+3x2+3x(a0). （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)在区间（ 1，2）是增函数，求a 的取值范围 . 解：（ 1）2( )363fxaxx，2( )3630fxaxx的判别式=36 （1-a

27、）. （i）若 a1，则( )0fx，且( )0fx当且仅当 a=1 ，x=-1 ，故此时f（x）在 R 上是增函数 . （ii ）由于 a0，故当 a1 时，( )0fx有两个根：121111,aaxxaa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 15 页 共 21 页若 0a0 ，x0 时, ( )0fx，所以当 a0 时， f（x）在区间（ 1，2）是增函数 . 若 a0时， f（x）在区间（ 1,2）是增

28、函数当且仅当(1)0f且(2)0f，解得504a. 综上， a 的取值范围是5,0)(0,)4. 二、极值（一）判断有无极值以及极值点个数问题例题： 【2015 高考山东，理21 】设函数2ln1fxxa xx，其中aR. （）讨论函数fx极值点的个数，并说明理由；（2）当0a时，28198aaaaa当809a时，0，0g x所以，0fx，函数fx在1,上单调递增无极值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 1

29、6 页 共 21 页当89a时，0设方程2210axaxa的两根为1212,(),x xxx因为1212xx所以，1211,44xx由110g可得：111,4x所以，当11,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；当12,xx x时，0,0g xfx，函数fx单调递减；当2,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；因此函数fx有两个极值点（3）当0a时，0由110g可得：11,x当21,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递增；当2,xx时，0,0g xfx，函数fx单调递减；因此函数fx有一个极值点综上：当0a时，函数fx在1,上有唯一极值点；当809a时，函数fx在1,上无极值点

30、；当89a时，函数fx在1,上有两个极值点；例题： 【2015 高考安徽，理21 】设函数2( )f xxaxb. （）讨论函数(sin)fx在(,)22内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；【解析】（）2(sin )sinsinsin (sin)fxxaxbxxab，22x. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 17 页 共 21 页(sin)(2sin)cosfxxax，22x. 因为22x，所以c

31、os0, 22sin2xx. 当2,abR时，函数(sin)fx单调递增，无极值. 当2,abR时，函数(sin)fx单调递减，无极值. 当22a，在(,)2 2内存在唯一的0 x，使得02sin xa. 02xx时，函数(sin)fx单调递减；02xx时，函数(sin)fx单调递增 . 因 此，22a，bR时，函数(sin)fx在0 x处 有极 小值20(sin)( )24aafxfb. （二）已知极值点个数求参数范围例题：【14 年山东卷 （理）】 设函数)ln2(2xxkxexfx（k为常数，2.71828e是自然对数的底数）（I）当0k时，求函数fx的单调区间；（II）若函数fx在0,

32、2内存在两个极值点，求k 的取值范围。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 18 页 共 21 页）。的取值范围为（综上则）令（单调递增。时，当单调递减；时，当则令时，当）解：（2,:1ln0lnln2022, 0)2(01)0(,01)0(ln,)(2)(), 2()()2, 0(2, 0)(0e0,kx0k)0()(2()12(2)(12ln222x3242eeeekkkkekgekkegkeggkgkxk

33、ekexgkxexgxfxxfxxxfkxxxkxexxxkxxexexfkxxxxxx练习： 1、【 2014年天津卷（理）】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 19 页 共 21 页2、（2014 湖南）（本小题满分13 分）已知常数0a，函数2( )ln(1)2xf xaxx. （）讨论( )f x在区间(0,)上的单调性；（）若( )f x存在两个极值点12,xx，且12()()0fxf x，求a的取

34、值范围 . 【解析】（）2412afxaxx2224 112a xaxaxx224112axaaxx,（*）因为2120axx,所以当10a时, 当1a时,0fx,此时，函数fx在0,单调递增 , 当01a时, 121102,2aafxxxaa（舍去），当1(0,)xx时，0fx；当1(,)xx时，0fx. 故fx在区间1(0,)x单调递减 ,在1(,)x单调递增的 . 综上所述当1a时,0fx,此时，函数fx在0,单调递增 , 当01a时, fx在区间10,2aa上单调递减 ,在12aa上单调递增的. （）由（*）式知，当1a时，0fx函数fx不存在极值点， 因而要使得fx名师资料总结 -

35、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 20 页 共 21 页有 两 个 极 值 点 ， 必 有01a， 又fx的 极 值 点 只 可 能 是112axa和212axa，且由fx的定义可知，1xa且2x，所以112aaa，122aa，解得12a，此时，（ *）式知1x,2x分别是fx的极小值点和极大值点，而1212121222()()ln(1)ln(1)22xxf xf xaxaxxx121221212121244ln 1224x

36、 xxxa xxa x xx xxx22412ln 21ln 2122121aaaaa令21ax，由01a且12a知当102a时,10;x当112a时,01.x记22( )ln2g xxx（）当10 x时，2( )2ln2g xxx，所以222222( )xg xxxx因此，( )g x在1,0上单调递减，从而( )( 1)40g xg，故当102a时，12()()0f xf x（）当01x时，2( )2ln2g xxx，所以222222( )xg xxxx因此，( )g x在0,1上单调递减，从而( )(1)0g xg，故当112a时，12()()0f xf x综上所述，满足条件的a的取值范围是为1,12. 【考点定位】函数与导数：应用导数研究函数单调性与极值，不等式. （三）最值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 21 页 - - - - - - - - - 第 21 页 共 21 页名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 21 页 - - - - - - - - -