2022年高二数学双曲线复习专题及考试题型 .pdf

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1、双曲线 -专项复习【1、基本知识点】双曲线的第一定义：双曲线的第二定义：注意点：（1）双曲线定义中， “距离的差”一定要加绝对值，否则只表示双曲线的一支。（2）定义中的小于|21FF这一限制条件标准方程：【2、几何性质】名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 【 3、弦长公式】1、若直线ykxb与圆锥曲线相交于两点A、B，且12,xx分别为 A、B 的横坐标，则221212()()ABxxyy，2222121212114

2、1|ABkxxkxxx xka，若12,y y分别为 A、B 的纵坐标，则21212122211114AByyyyy ykk。2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于A、B 两点，则弦长abAB22|。3、若弦 AB 所在直线方程设为xkyb，则AB2121kyy。4、特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解【4、常见双曲线题型】题型一双曲线定义的应用1、如图所示，在ABC 中，已知 |AB|=42，且三内角A、B、C 满足 2sinA+sinC=2sinB ，建立适当的坐标系，求顶点 C 的轨迹方程解：如图所示，以AB 边所在的直线为x 轴，

3、 AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则 A(22,0)、B(22, 0 )由正弦定理得sinA = 2aR，sinB =2bR，sinC =2cR. 2sinA+sinC=2sinB，2a+c=2b，即 ba=2c.从而有 |CA| |CB|=21|AB|=222)【反思感悟】使用双曲线的定义时易漏掉“差的绝对值”，即|PF1|PF2|=2a，而 |PF1|-|PF2|=2a 表示一支2、P是双曲线x216y2201 上一点， F1、F2是双曲线的两个焦点，且|PF1| 9，求 |PF2| 的值解在双曲线x216y2201 中， a4，b 25. 故 c6. 由 P是双曲线上一点，得

4、 |PF1| |PF2| 8. |PF2| 1 或|PF2| 17. 又 |PF2| ca2，得|PF2| 17. 3、已知双曲线116922yx的左右焦点分别是1F、2F， 若双曲线上一点P使得02190PFF, 求21PFF的面积。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 题型二由方程研究几何性质4、求双曲线9y216x2144 的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率和渐近线方程解把方程 9y216x2144 化为标准

5、方程y242x2321. 由此可知，实半轴长a4，虚半轴长 b3；ca2b242325， 焦点坐标是 (0， 5)，(0,5)；离心率 eca54； 渐近线方程为y43x. 【反思感悟】求双曲线的几何性质可先将双曲线方程化为标准形式x2a2y2b21 (或y2a2x2b21) ，再根据它确定a，b的值，进而求出c. 5若方程x2|k|2y25 k1 表示双曲线，则实数k 的取值范围是() Ak 2，或 2k5 B 2k5 Ck5 D 2k5 解析由题意知： (|k|2)(5 k)0，5k0，或|k|20.解得： k5，或 2k0， b0)，由题意知c236279，c3. 又点 A 的纵坐标为4

6、，则横坐标为 15，于是有42a2( 15)2b21，a2b29，解得a24，b25.所以双曲线的标准方程为y24x251. 方法二将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得A( 15，4)，又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0， 3)所以2a|( 150)2(43)2( 150)2(43)2| 4，即 a 2，b2c2a2945，所以双曲线的标准方程为y24x251. 方法三若考虑到双曲线与椭圆有相同的焦点，则可设双曲线为x227 y2361(27 0， b0)的一条渐近线为ykx (k0)， 离心率 e5k， 则双曲线方程为() A.x2a2y24a21 B.x2a2y25a21 C.x24b2y

7、2b21 D.x25b2y2b21 解析双曲线的渐近线方程可表示为ybax，由已知可得kba.又离心率e1ba25k，所以 k12. 即ba12，故 a2b. 答案C 10、已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的两条渐近线方程为y33x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为_ 解析双曲线顶点为(a,0)，渐近线为x3y0， 1a13a2， a2. 又ba33，b233，双曲线方程为x2434y21. 题型四求双曲线的离心率11、已知双曲线的渐近线方程为y 34x，则双曲线的离心率为_；12、设双曲线x2a2y2b21(ba0) 的半焦距为c，直线 l 过(a,0)、(0，b)两点已知

8、原点到直线l 的距离为34c，则双曲线的离心率为_解析(1)当焦点在x 轴上时，其渐近线方程为ybax，依题意，ba34，e2c2a2a2b2a219162516，e54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为yabx，依题意ab34，e2c2a2a2b2a2 1169259，e53. (2)直线 l 的方程为xayb 1，即 bx ayab0. 于是有|b 0a 0ab|a2b234c，即 ab34c2. 两边平方得16a2b23c4，16a2(c2a2) 3c4. 即 3c416a2c216a40，3e416e2 16 0. 解得 e24，或 e243， ba0， b2a21， e2a2b2a

9、2 1b2a22，故 e24，e2. 答案(1)53或54(2)2 13、 (全国高考 )设 a1，则双曲线x2a2y2(a1)21 的离心率 e 的取值范围是() A(2，2) B(2，5) C(2,5) D(2，5) 解析双曲线方程为x2a2y2(a 1)21，c2a22a1. eca21a22a1a12 1. 又a1，01a1.11a12. 1 11a24.2e5. 答案B 题型五直线与双曲线14、直线 l 在双曲线x23y221 上截得的弦长为4，其斜率为2，求直线l 在 y 轴上的截距m. 解设直线 l 的方程为y2xm，由y2xm，x23y221，得 10 x212mx 3(m22

10、)0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 设直线 l 与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由韦达定理，得x1x265m， x1x2310(m22)又 y12x1m，y22x2 m， y1 y22(x1x2)， |AB|2 (x1x2)2 (y1y2)25(x1x2)25(x1x2)24x1x253625m24310(m22)|AB| 4，365m2 6(m2 2)16. 3m270，m2103. 直

11、线 l 在 y 轴上的截距为2103. 题型六直线与双曲线的位置关系16、已知双曲线x2y24，直线 l：yk(x1)，试讨论实数k 的取值范围(1)直线 l 与双曲线有两个公共点；(2)直线 l 与双曲线有且只有一个公共点；(3)直线 l 与双曲线没有公共点解由x2y2 4yk(x1)消去 y，得(1k2)x22k2xk2 40(*) (1)当 1k20，即 k 1，直线 l 与双曲线渐近线平行，方程化为2x5，故此方程 (*) 只有一个实数解，即直线与双曲线相交，且只有一个公共点(2)当 1k20，即 k 1 时， (2k2)24(1k2)(k24)4(43k2) 43k201k20即23

12、3 k233，且 k 1 时，方程 (*) 有两个不同的实数解，即直线与双曲线有两个公共点43k201k20即 k 233时，方程 (*) 有两个相同的实数解，即直线与双曲线有两重合的公共点43k201k20即 k233或 k233时，方程 (*) 无实数解，即直线与双曲线无公共点综上所述，当233 k 1 或 1k1 或 1k233时，直线与双曲线有两个公共点当 k 1 或 k233时，直线与双曲线有且只有一个公共点当 k233或 k233时，直线与双曲线没有公共点【反思感悟】讨论直线和双曲线的公共点的个数问题，常常归结为讨论含参数的一元二次方程在特定区间内是否存在实根或讨论实根的个数问题，

13、但要注意转化的等价性17、过双曲线x2y22 1 的右焦点F 作直线 l 交双曲线于A、B 两点，若 |AB| 4，这样的直线有() A1 条B2 条C3 条D4 条解析右焦点坐标为(3，0)，把 x3代入双曲线方程得：y 2，即当直线过右焦点垂直于x 轴时， l与双曲线交的弦长|AB|4，当 l 与 x 轴重合时， |AB|2.由数形结合知，还存在两条直线，使得|AB|4，故选 C. 知识点七、焦点三角形问题18、F1、F2 为双曲线x24y2 1 的两个焦点，点P 在双曲线上，且F1PF290 ，则 F1PF2 的面积是 () A2 B4 C8 D16 解析方程变形为y2x24 1，由题意|PF1| |PF2|2|PF1|2 |PF2|2(25)2由 式两边平方得：202|PF1|PF2|4，|PF1|PF2|8， SF1PF212|PF1| |PF2|128 4. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -