2022年高等数学上册_期末复习题 .pdf

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1、学习资料收集于网络，仅供参考学习资料高等数学上册期末复习一. 填空题1.xxexx2sin2coslim30232.曲线xxey的拐点是)2,2(2e3.设)(xf在0 x处可导且,0)0(f则xxfx)(lim0)0(f4.曲线xxy22cos1在)21 ,2(处的切线方程为1yx5.曲线122xxy有垂直渐近线1x和水平渐近线1y6.设)(uf可导，)(sin2xefy，则dydxeefefxxx)()(2sin#7.dxex40)1(22e8.若3)(0 xf，则hhxfhxfh)3()(lim000129.若dxxp1收敛，则p的范围是1p#10.1)1232(limxxxxe11.设

2、cxFdxxf)()(，则dxxf)2(cxF)2(21#12.设)(xf的一个原函数是xxln，则dxxxf)(cxxxln242213.设0,0,)(2xxxxxf，则11)(dxxf61#14.过点)3, 1 (且切线斜率为x2的曲线方程为12xy15.已知函数0,0,sin)(xaxxxxf，则当x时，函数)(xf是无穷小；当a1时，函数)(xf在0 x处连续，否则0 x为函数的第（一）类间断点。16.已知cxFdxxf)()(，则dxxfx)(arcsin112cxF)(arcsin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - -

3、- - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料17.当0 x时，1)1 (312ax与xcos1是等价无穷小，则a23#18.0,0,sin)(303xaxxdtttxfx是连续函数，则a119.)(xf在 1 ,0上连续，且1)(,0) 1(102dxxff，则10)()(dxxfxxf21提示：10)()(dxxfxxf1010210)()()()()(xxfdxfxxfxdfxxf1010210)()()()()()(dxxfxxfdxxfdxxfxxfxf，移项便得。#20.dxx

4、exxx02)(，则)1 ()1(21e，)1 (e21.xdxxdf1)(2，则)(xfx21提示：22221)(12)(xxfxxxf22.曲线)(xfy在点)2(,2(f处的切线平行于直线13xy，则)2(f3#23.设xxfarctan)(，则,00 xxxfxxfx)()(lim000)1(2100 xx24.33ln2xxy的水平渐近线是3y25.函数xxy的导数为)1(ln xxx26.dxxex0221#27.dxxxxx)1sin(2211128.广义积分dxx1312129.x)x(f的积分曲线中过)21, 1(的那条曲线的方程_12x2#30.设s为曲线xxyln与exx

5、, 1及x轴所围成的面积，则s)1(412e31.dxxf)2(cxf)2(21名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料32.曲线)1ln(xey的全部渐近线为exxy1, 0, 1#33.曲线2xy与xy2所围图形绕y轴旋转一周所成的旋转体体积10334.点)1 ,1 , 0(到平面0222zyx的距离为3535.设向量kjibkjia24,2，则当10时，ba；当ba /,2。本

6、 题 不 作 要 求36. 空 间 曲 线)(31222222yxzzyx在xoy平 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 为04122zyx37.设3),( ,2, 5baba，则ba3219238.设向量5, 4, 3,2, 1 ,2ba，则a在b上的投影为2239.已知向量kjima5和向量knjib3共线，则mn,155140.设平行四边形二边为向量3 , 1,2,1 , 3, 1ba，则其面积为10341.设点142),5 , 0, 4(BAA，向量BA的方向余弦为141cos,143cos，142cos，则B点坐标为)1 , 2,10(本题不作要求42.曲线0122322zyx绕y轴

7、旋转一周所得的旋转曲面方程为12233222yzx43.设, 3,2 ba且ba/，则baba, 6044.设022dx)1x(f,0 x,x0 x,00 x, 1x)x(f= 56#45.)x(,dt) tx(sin)x(x0sinx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料二. 选择题1.设2005) 1(limnnnn，则,的值为（）C20051,2004.A2 0 0 52 0

8、 0 4,2 0 0 51.B2 0 0 51,2 0 0 52 0 0 4.C20051,20052004.D#2.设01,10 ,1cos)(2xxxxxxf，在0 x处( ) A.A连续，不可导.B连续，可导.C可导，导数不连续.D为间断点3.曲线xysin2在0 x处的切线与x轴正方向的夹角为（）B2. A4.B0 .C1.D4.设)(xf在 1 ,0上连续，)1 ,0(内可导，0)1(, 1)0(ff，则至少存在一点)1 ,0(，有A()() ,Fxx fxR o l l e设利用定理)()(.ffA.B)()(ff.C)()(ff.D)()(ff#5.若032ba，则0)(23cb

9、xaxxxf（）B.A无实根.B有唯一实根.C三个单实根.D重根#6.函数)(xf在0 xx处取得极大值，则（）D0)(.0 xfA0)(.0 xfB.C0)(0 xf0)(,0 xf.D0)(0 xf或不存在7.设)(xf的导函数为xsin，则)(xf的一个原函数为（）DxAsin1.xxBs i n.xCc o s1.xxDsin.#8.设ttfcos)(ln,则dttftf t)()(（）ActttAsincos.ctttBc o ss i n.ctttC)s in( c o s.cttD si n.9.设)(xf连续，202)()(xdttfxF，则)(xF（）C)(.4xfA)(.4

10、2xfxB)(2.4xxfC)(2 .2xxfD10.下列广义积分收敛的是（）CdxxxAeln.dxxxBeln1.dxxxCe2)(ln1.dxxxDeln1.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料#11 0 xxeedx（）C2. A.B4.C.D发散12.下列函数中在区间3 ,0上不满足拉格朗日定理条件的是（）C12.2xxA)1c o s (.xB)1 (.22xxC)1

11、ln(.xC13.求由曲线xyln,直线)0(ln,ln,0abbyayx所围图形的面积为 （）CbaA.22.abBabC.abD.#14.若cedxexfxx11)(，则)(xf（）BxA1.21.xBxC1.21.xD15.点)1 ,2, 3(M关于坐标原点的对称点是（）A)1,2, 3.(A) 1,2,3.(B)1,2,3.(C)1 ,2,3.(D16.向量ba与向量a的位置关系是（）C.A共面.B平行.C垂直.D斜交17.设平面方程为0DCzAx，其中DCA,均不为零，则平面（）B.A平行于x轴.B平行于y轴.C经过x轴.D经过y轴18.设直线方程为00221111DyBDzCyBx

12、A且0,221111DBDCBA，则直线（）C.A过原点.B平行于x轴.C垂直于y轴.D平行于z轴19.直线37423zyx和平面3224zyx的位置关系为（）C.A斜交.B垂直.C平行.D直线在平面上20.已知1)()()(lim2axafxfax，则在ax处（ B）A.)(xf导数存在且0)(afB.)(xf取极大值C.)(xf取极小值D.)(xf导数不存在名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络

13、，仅供参考学习资料三. 计算题#1.)1sincosln(lim220 xxxxx21# 2.41cos0lnlimxtdttxx813.)11(lim22xxx04. xxx10)(coslim21e#5. 2tan)1(lim1xxx26. 求xxxxxln1lim0=1 解：一）原式1limlim1ln)ln1(lim0ln000eexxxxxxxxxxx，二）原式0,ln1,0lnlim,ln1limln0ln0 xxxexxxxexxxxxx1。7.设)(xf为连续函数，计算xaaxdttfaxx)(lim2)(2afa8.dxx)sin(lncxxx)cos(ln)sin(ln29

14、.dxx02cos12210.dxxaxa2202416a11.设xxycos)(sin，求ysincossinlnsin)(sin2cosxxxxxx#12.设0cos20ln0 xyttdtdte，求dydxxx2cos213.设)(xf在 1 ,0上连续，求积分dxxxfxxfsin)(coscos)(cos222提示：原式2222)(cossincos)(cosxxdfxdxxf222222cos)(cos)(cossincos)(cosxdxxfxxfxdxxf)0(2 f14.dxxxx84132cxxx22ar c t an2584ln23215.设) 1()(3tefytfx，

15、其中f可导，且0)0(f，求0tdxdy3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料#16.dxxx232)1 (arcsincxxxx221ln1arcsin17.dxxx042sinsin提示：原式1cossincossin0022dxxxdxxx18.dxx202)1 (1发散19.dxex2ln01)41(220.12xxdxcx1arccos21.xdxx4223cos)4(

16、2322.dxxx3ln21ln (3 )2xc23.dxexx22ln0311ln242#24.)1(2xxeedxarctanxxeec25.dx2x12x126.设x1)e(fx，求)x(flnxxc27.dxcosxx353331sincos3xxxc28.dxx1xarcsinx222arcsin1lnxxxc29.1x1xdx33221(1)(1) 3xxc#30.)x1(xdx10101lnln 110 xxc#31.已知)(xf的一个原函数为lnx)sinx1(，求dx)x(f xcos ln1sin(1sin)lnxxxxxx32.dxx1x1xln211ln(1)21xxx

17、cx#33.dxx) 1x(ln2ln(1)44arctanxxxxc#34.dxeeexxx20cossinsin235.dxxaxa02214本题不作要求36.已知)x(为连续函数，令名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料0 x,00 x,)x1(lndtdu)u()1t()x(f2x0t02试讨论)(xf在0 x处的连续性与可微性。连续，可微#37.设)(xf在 1 ,0上可

18、导，且满足210dx)x(xf2)1 (f，证必存在一点) 1 ,0(，使)(f)(f。提示：利用积分中值定理和Rol l e定理#38.设)(xf在 1 ,0上连续，单调减且取正值，证：对于满足10的任何,有dx)x(fdx)x(f0。000( )( )( )( )( )( )()( )f x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dxf x dx提示：39.设)(xf在), 0上连续，单调不减且0)0(f，试证：0 x0,0 xdt,) t (ftx1)x(Fx0n在),0上连续且单调不减。 （0n）40.dx)e1(xln11x131111221111(ln(1)l

19、n(1)ln(1)xttxxtedtxexdxxe dxx dx原#41.设dte)x(f22x1t，求10dx)x(xf。11(1)4e42.dtxtt1011321123xtxxtx43.)( ,badxxba22220202baxabx44.设)(xf在),(上连续，且对)()()(,yfxfyxfyx， 求dxxfx112)()1( )f x提示：为奇函数#45.dxexIx4421sin名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 13 页 - - - - -

20、 - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料22222222244sinsinsin(1 1)sin( ),()1111sin1sinsin( )( )sin121sin2xxxxxxxxxexexf xfxeeeexxxf xfxxexdx提示：原46.31sinlim6002xxtxextdtte47.设向量2, 1 ,2,3 ,2, 1,1 , 3,2cba，向量r满足brar,，且14Prrjc求向量r。14,10,248.1）求过z轴和点)2,1 , 3(的平面方程，03yx2）求过三点)0,6 ,0(),4,3,2(),0 ,3 ,2(RQP的平面方程。012623zyx

21、49.求过点)3,2, 1(),1,1,2(QP且垂直于平面06532zyx的平面方程。01639zyx50.求过点)2, 1 , 3(A且通过直线12354:zyxL的平面方程。0592298zyx51.求与平面0522zyx平行且与三坐标所构成的四面体体积为1的平面方程。032223zyx52.求过点)0,4 ,2(M且与直线023012:zyzxL平行的直线方程。13422zyx53.求点)0,2 , 1(A在平面012zyx上的投影。)32,32,35(54.求过直线0405:zxzyxL且与平面01284zyx成4角的平面方程。012720zyx本题不作要求55.若动点到坐标原点的距

22、离等于它到平面4z的距离，该动点轨迹表示何种曲面？16822zyx旋转曲面四.列表讨论函数xexy的单调区间、极值及曲线的凹凸区间、拐点、渐近线。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料#五.设orxxxxxf0, 00,sin21)(，求xdttfx0)()(在),(内的表达式。xxxxdttfxx, 10),1(cos210,0)()(0六.设)(xf在),(内连续，证明)()(

23、)()(0afxfdttftxdxdx。七.设20 ,0,2:; 0,2,2:2221aaxyxyDyxaxxyD1.试求1D绕x轴旋转得旋转体体积1V；2D绕y轴旋转得旋转体体积2V；2.问当a为何值时1V2V得最大值？并求该最值。)32(5451aV，42aV，1a，1(V5129)max2V八.已知xxxf22tan2cos)(sin，求)(xf。提示：uuuufxxxxf121)(sin1sinsin21)(sin2222，cxxxf1ln)(2九.设cy与22xxy相交于第一象限 （如图）。1.求使得两个阴影区域面积相等的常数c；2.在 1 的情况下，求区域I绕x轴旋转的旋转体体积。

24、提示：IIIIIIIIIIIIssss，202031)2(bbcdxxxcdxbb，又22bbc，43,23cb,23,21243212xxxxyy，24041V。#十.设0cos)()(xdxxfxxf，证：22)(20dxxf。I Y X 0 C II III (b,c) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料提示：设Axdxxf0cos)(，2A十一 .设直线baxy与直线

25、1,0 xx及0y所围成的梯形面积为A，求ba,，使这块面积绕x轴旋转所得体积最小。)0,0(ba提示：badxbaxAbabadxbaxV2)(),3()(1022102，Aba,0时，体积最小#十二 .求抛物线12xy在)1 ,0(内的一条切线， 使它与两坐标轴和抛物线12xy所围图形的面积最小。提示：切线)1,0(),0,21(),(2)1(222xBxxAxXxxY，330)() 1(2)1(2110222xxsdxxxxs，所求切线为34332xy十三 .求通过直线3122zyx与平面15zyx的交点，且与平面05432zyx垂直相交的直线方程。473424zyx十四 .证明0113

26、02xxdxx在区间)1 , 0(内有唯一的实根。提示：令0) 1()0(113)(02FFxdxxxFx，再证唯一性。本题不作要求十五 . 设)(xf可导，且dttxftxFfnnxn)()(,0)0(01，证：)0(21)(lim20fnxxFnx010011( )()( )( )nnnnxtuxxnnnxF xtf xtdtf u duf u dunn提示：十六 . 设)x(f , 0 x满足)x1(x02,xdx)x(f求)2(f。2x (1 x)0f (x)dxx,提示：对求导十七 . 证：)x(f ,dx)x(xf21dx)x(fx2a02a03连续，0a，并求dx)x(sinx2

27、203。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 13 页 - - - - - - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料223222200011()()( )122xtaaax f xdxx f xdxt f t dt所求值为十八 . 求dte) t2()x(f2x0t的最大、小值。21,1e最小值为最大值为十九 . 已知,5)2(f ,3)2(f , 1)0(f求10dx)2x(fx。2二十 . 已知,2dxxsinx0求dxxxsin022。221

28、x提示：用分部积分，先将凑入微分二十一 . 设dte)x(f22x1t, 求10dx)x(xf。41同题二十二 .0,xdt,t1lnt)x(fx1求)x1( f)x(f。21(ln )2x二十三 .1) 设)(xf在 1 ,0上连续，在)1 ,0(内可导，且1)x(f0 ,0)0(f，证：dx)x(f)dx)x(f(103102。( )1f x提示：可利用已知条件知2)设,)(baCxf，证：dxxfabdxxfbaba)()()(22。提示：22( )( )()( )( , )( )0 xxaaF xf t dtxaft dtxa bF x设#3) 设,)(baCxf，且0)(xf，证：2

29、)()(1)(abdxxfdxxfbaba21( )( )()( )( )xxaaF xf t dtdtxaFxf t提示：设4) 设,)(baCxf, 且严格单调增加，证：babadxxxfdxxfba)(2)()(。( )2( )()( )( )xxaaF xtf t dtaxf t dtFx提示：设5) 设)(xf在,ba上可导，且0)(,)(afMxf，证：2)(2)(abMdxxfba。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 13 页 - - - -

30、- - - - - 学习资料收集于网络，仅供参考学习资料 , ,( )( )( )()( , )( )( )()bbaaxa bf xf afxaa xf x dxfxa dx提示：有微分中值定理：二十四 . 设)(xf在,0上连续，在),0(内可导，且0sin)(cos)(00 xdxxfxdxxf，证明：一个),0(，使得0)(f。证：在),0(内0sinx，由0sin)(0 xdxxf可知，)(xf在),0(内不能恒正或负，由于)(xf的连续性可知)(xf在),0(内必有零点。 若能证明零点有两个以上，则可由罗尔定理可得证。反证：若),0(0 x是)(xf的唯一零点，则当0 xx, )()sin(0 xfxx就恒正或负，于是0)()sin(00dxxfxx，而dxxfxxxxdxxfxx)()sincoscos(sin)()sin(000000)(cossin)(sincos0000dxxxfxdxxxfx，矛盾，所以)(xf在),0(内至少有两个零点，由罗尔定理便得证。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 13 页 - - - - - - - - -