2022年高考数学一轮复习知识点归纳与总结：平面向量的概念及其线性运算 .pdf

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1、第一节平面向量的概念及其线性运算备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1.了解向量的实际背景2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3.理解向量的几何表示4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6.了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.主要考查平面向量的有关概念及线性运算、共线向量定理的理解和应用，如20XX 年浙江 T5，辽宁 T3等2.考查题型为选择题或填空题. 归纳 知识整合 1向量的有关概念名称定义向量既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或称模 ) 零向量长度为零的向量叫做零向量，其方向是任意的

2、，零向量记作0 单位向量长度等于 1 个单位的向量平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共线向量规定：0与任一向量平行名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 15 页 - - - - - - - - - 相等向量长度相等且方向相同的向量相反向量长度相等且方向相反的向量探究 1.两向量共线与平行是两个不同的概念吗？两向量共线是指两向量的方向一致吗？提示：方向相同或相反的一组非零向量，叫做平行向量， 又叫共线向量， 是同一个概念 显然两向量平行或共

3、线，其方向可能相同，也可能相反2两向量平行与两直线(或线段 )平行有何不同？提示： 平行向量也叫共线向量，这里的“平行 ”与两直线 (或线段 )平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上2向量的线性运算向量运算定义法则 (或几何意义 )运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律： abba (2)结合律： (ab)ca(bc) 减法求 a 与 b 的相反向量 b的和的运算叫做 a 与 b 的差aba(b) 数乘求实数 与向量 a的积的运算(1)| a| |a| (2)当 0 时， a 与 a 的方向相同；当 0 时， a 与 a 的方向相反；当 0 时， a0 (a)( ) a (

4、)a aa (ab) a b探究 3. 0 与 a0 时， a 的值是否相等？提示： 相等，且均为0. 4若 |ab|ab|，你能给出以a，b 为邻边的平行四边形的形状吗？提示： 如图，说明平行四边形的两条对角线长度相等，故四边形是矩形3共线向量定理向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b a. 探究 5.当两个非零向量a，b共线时，一定有b a，反之成立吗？提示： 成立名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 15 页 - - - -

5、- - - - - 自测 牛刀小试 1下列说法中正确的是() A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度为零C长度相等的两个向量是相等向量D共线向量是在一条直线上的向量解析： 选 B由于零向量与任意向量平行，故选项A 错误；长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，故C 错误；方向相同或相反的两个非零向量是共线向量，故D 错误2.(教材习题改编 )D 是 ABC 的边 AB 上的中点，则向量CD等于 () ABC12BABBC12BACBC12BADBC12BA解析：选 A如图，由于 D 是 AB的中点，所以CDCBBDCB12BABC12BA. 3如图， e1，e2为互相垂直的单位向量

6、，则向量ab 可表示为 () A3e2e1B 2e14e2Ce13e2D3e1e2解析： 选 C连接 a，b的终点，并指向a 的终点的向量是ab. 4(教材习题改编)点 C 在线段AB 上，且ACCB52，则AC_AB，BC_AB. 解析： 如图，ACCB52，AC57AB，BC27AB. 答案：57275(教材习题改编 )化简OPQPMSMQ的结果为 _解析：OPQPMSMQ(OPPQ)(MSMQ) OQQSOS. 答案：OS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，

7、共 15 页 - - - - - - - - - 向量的概念例 1给出下列命题：若 |a|b|，则 ab；若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；若 ab，bc，则 ac；ab 的充要条件是 |a|b|且 ab；若 ab，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是() ABCD自主解答 不正确，长度相等，但方向不同的向量不是相等向量正确ABDC，|AB|DC|且ABDC，又 A，B，C，D 是不共线的四点，四边形 ABCD 为平行四边形； 反之， 若四边形 ABCD 为平行四边形， 则ABDC且|AB|DC|，因此，ABDC. 正确 ab， a，b的

8、长度相等且方向相同；又 bc， b，c的长度相等且方向相同，a，c的长度相等且方向相同，故ac. 不正确当a b时，也有 |a|b|且 ab，故|a|b|且 ab 不是 ab 的充要条件，而是必要不充分条件不正确未考虑b0 这种特殊情况综上所述，正确命题的序号是. 答案 A 解决平面向量概念辨析题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心方向和长度， 如，共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制； 相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是 0；规定零向量与任意向量共线只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解

9、决与向量概念有关的问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - - 1设 a0为单位向量，若a 为平面内的某个向量，则a|a|a0；若 a 与 a0平行，则a|a|a0；若 a 与 a0平行且 |a|1，则 aa0.上述命题中，假命题的个数是() A0 B1 C2 D3 解析： 选 D向量是既有大小又有方向的量，a 与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a 与 a0平行，则a 与 a0的方向有两种情况：一是同

10、向，二是反向，反向时 a |a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3. 向量的线性运算例 2在ABC 中，(1)若 D 是 AB 边上一点，且AD2DB，CD13CACB，则 () A.23B.13C13D23(2)若 O 是ABC 所在平面内一点， D 为 BC边中点，且 2OAOBOC0， 那么 () AAOODBAO2ODCAO3ODD2AOOD自主解答 (1)法一 ：由AD2DB得CDCA2(CBCD)，即CD13CA23CB，所以 23. 法二：因为CDCAADCA23ABCA23(CBCA)13CA23CB，所以 23. (2)因为 D 是 BC 边的中点，所以有OBOC2

11、OD， 所以 2OAOBOC2OA2OD2(OAOD)0?OAOD0?AOOD. 答案 (1)A(2)A 在本例条件下，若|AB|AC|ABAC|2，则 |ABAC|为何值？解： |AB|AC|ABAC|，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - - ABC 为正三角形|ABAC|23.平面向量线性运算的一般规律(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功，除利用向量的加法、减法、数乘运算外，还应充分利用平面几何的

12、一些定理(2)在求向量时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则， 利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解2如图，在 OAB 中，延长 BA 到 C，使 ACBA，在 OB 上取点 D，使 DB 13OB.设OAa，OBb，用 a，b 表示向量OC，DC. 解：OCOBBCOB2BAOB2(OAOB) 2OAOB2ab. DCOCODOC23OB(2ab)23b2a53b. 共线向量定理的应用例 3设两个非零向量a 与 b 不共线，(1)若ABab，BC2a8b，CD3(ab)，求证： A、B、D

13、三点共线(2)试确定实数k，使 kab 和 akb 共线自主解答 (1)ABab，BC2a8b，CD3(ab)，BDBCCD2a8b3(ab)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2a8b3a3b5(ab)5AB. AB、BD共线，又它们有公共点B，A、 B、D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab (akb)，即 kab akb. (k )a(k1)b. a、b 是不共线的两个非零向量，

14、k k10， k210， k 1. 1共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线，也可以由向量共线求参数的值(2)若 a，b 不共线，则 a b0 的充要条件是 0，这一结论结合待定系数法应用非常广泛2证明三点共线的方法若ABAC，则 A、B、C 三点共线3已知a，b 不共线，OAa，OBb，OCc，ODd，OEe，设 tR，如果 3ac,2bd，et(ab)，是否存在实数t 使 C，D，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数 t 的值，若不存在，请说明理由解： 由题设知，CDdc2b3a，CEec(t3)atb，C，D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，使得CEkC

15、D，即 (t3)atb 3ka2kb，整理得 (t33k)a(2kt)b. 因为 a，b 不共线，所以有t33k0，t2k0，解之得 t65. 故存在实数t65使 C，D，E 三点在一条直线上1 个规律 向量加法规律一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量， 即12A A23A A34A A, 1nnAA1nA A.特别地， 一个封闭图形首尾连接而成名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - -

16、 - - 的向量和为零向量2 个结论 向量的中线公式及三角形的重心(1)向量的中线公式若 P 为线段 AB 的中点， O 为平面内一点，则OP12(OAOB)(2)三角形的重心已知平面内不共线的三点A、B、C，PG13(PAPBPC)? G 是 ABC 的重心，特别地，PAPBPC0? P 为 ABC 的重心3 个等价转化 与三点共线有关的等价转化A，P，B 三点共线 ?APAB( 0)?OP(1t)OAtOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， tR)?OPxOAyOB(O 为平面内异于A，P，B 的任一点， xR，yR，xy1)4 个注意点 向量线性运算应注意的问题(1)用平行四边形法

17、则进行向量加法和减法运算时，需将向量平移至共起点；(2)作两个向量的差时，要注意向量的方向是指向被减向量的终点；(3)在向量共线的重要条件中要注意“a0”，否则 可能不存在，也可能有无数个；(4)要注意向量共线与三点共线的区别与联系. 创新交汇 以平面向量为背景的新定义问题1从近几年新课标省份的高考可以看出，高考以新定义的形式考查向量的概念及线性运算的频率较大，且常与平面几何、解析几何、充要条件等知识交汇，具有考查形式灵活，题材新颖，解法多样等特点2解决此类问题， 首先需要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，通过转化思想解决，这是破解新定义信息题难点的关键所在典例 (2011

18、山东高考 )设 A1， A2， A3， A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A12A A( R)，14A A12A A( R)，且112，则称 A3，A4调和分割A1，A2已知点C(c,0)，D(d,0)(c，dR)调和分割点A(0,0)，B(1,0)，则下面说法正确的是() AC 可能是线段AB 的中点BD 可能是线段AB 的中点CC，D 可能同时在线段AB 上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - - DC

19、，D 不可能同时在线段AB 的延长线上解析 根据已知得 (c,0)(0,0) (1,0)(0,0)，即 (c,0) (1,0)，从而得c ；(d,0)(0,0) (1,0)(0,0)，即(d,0) (1,0)，得 d .根据112，得1c1d2.线段 AB 的方程是y0，x0,1 若 C 是线段 AB 的中点，则c12，代入1c1d2 得，1d0，此等式不可能成立，故选项A 的说法不正确；同理选项B 的说法也不正确；若C，D 同时在线段AB 上，则 0c1,01，d1，则1c1d2，与1c1d2 矛盾，若 c0，d1，d0，则1c1，1d0，此时1c1d1，与1c1d2 矛盾；故选项D 的说法

20、是正确的答案 D 名师点评 1本题具有以下创新点(1)命题背景新颖：本题为新定义题目，用新定义考查考生阅读能力与知识迁移能力(2)考查知识新颖：本题把坐标系、向量、点与线段的位置关系通过新定义有机结合在一起，能较好地考查学生的阅读理解能力和解决问题的能力2解决本题的关键有以下两点解决本题的关键是抓住两条：一是A1，A2，A3，A4四点共线；二是112，同时应用排除法变式训练 1定义平面向量之间的一种运算“ ” 如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令 abmqnp，下面说法错误的是() A若 a 与 b共线，则 ab0 BabbaC对任意的 R，有 ( a)b (ab) D(a b)2(a

21、b)2|a|2|b|2解析： 选 B若 a 与 b 共线，则有mqnp0，故 A 正确；因为bapnqm，而 abmqnp，所以有 abba，故 B 错误；因为 a(m ，n)，所以 ( a)bmq np .又 (ab) (mqnp) ( a) b，故 C 正确；因为 (ab)2(a b)2(mqnp)2(mpnq)2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故 D 正确名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - - 2 已知

22、点 A、 B、 C 是直线 l 上不同的三个点， 点 O 不在直线l 上，则关于 x 的方程 x2OAxOBAC0 的解集为 () A?B1 C.152，152D1,0 解析： 选 A由条件可知， x2OAxOB不能和AC共线，即使x0 时，也不满足条件，所以满足条件的x 不存在一、选择题 (本大题共 6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1.如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b表示AD，则AD() Aa34bB.14a34bC.14a14bD.34a14b解析： 选 BCBABACab，又BD3DC，CD14CB14(ab)，ADACCDb14(ab)14a34b. 2设 P

23、是ABC 所在平面内的一点，BCBA2BP，则 () APAPB0BPCPA0 CPBPC0 DPAPBPC0 解析： 选 B如图，根据向量加法的几何意义，BCBA2BP? P是 AC 的中点，故PAPC0. 3已知向量pa|a|b|b|，其中 a、b均为非零向量，则|p|的取值范围是() A0，2 B0,1 C(0,2 D0,2 解析： 选 Da|a|与b|b|均为单位向量，当它们同向时，|p|取得最值2，当它们反向时，|p|取得最小值0.故|p|0,24已知四边形ABCD 中，DCAB，|AC|BD|，则这个四边形的形状是() A平行四边形B矩形C等腰梯形D菱形名师资料总结 - - -精品

24、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - - 解析： 选 B由DCAB可知 AB 綊 CD，所以四边形ABCD 为平行四边形由|AC|BD|知对角线相等，所以平行四边形ABCD 为矩形5(2013 保定模拟 )如图所示，已知点G 是 ABC 的重心，过G 作直线与AB，AC 两边分别交于M，N 两点，且AMxAB，ANyAC，则x yxy的值为 () A3 B.13C2 D.12解析：选 B(特例法 )利用等边三角形，过重心作平行于底面BC 的直线，

25、 易得x yxy13. 6 设 D、E、F 分别是 ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且DC2BD，CE2EA，AF2FB，则ADBECF与BC() A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直解析： 选 A由题意得ADABBDAB13BC，BEBAAEBA13AC，CFCBBFCB13BA，因此ADBECFCB13(BCACAB) CB23BC13BC，故ADBECF与BC反向平行二、填空题 (本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分) 7 在?ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC， M 为 BC 的中点，则MN_(用a，b 表示 )解析： 由AN3NC得 4AN3AC

26、3(ab)，AMa12b，所以MN34(ab) a12b 14a14b. 答案： 14a14b8设 a，b 是两个不共线的非零向量，若8akb 与 ka2b 共线，则实数k_. 解析：因为 8akb 与 ka2b 共线，所以存在实数 ，使 8akb (ka2b)，即 (8k)a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - - (k2 )b 0.又 a，b 是两个不共线的非零向量，故8k0，k2 0，解得 k 4. 答案： 4

27、9(2013 淮阴模拟 )已知 ABC 和点 M 满足MAMBMC0.若存在实数m 使得ABACmAM成立，则 m_. 解析： 由题目条件可知，M 为 ABC 的重心，连接AM 并延长交BC 于 D，则AM23AD，因为 AD 为中线，则ABAC2AD3AM，所以 m3. 答案： 3 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题12 分，共 36 分) 10已知 P 为 ABC 内一点，且 3AP4BP5CP0，延长 AP 交 BC 于点 D，若ABa，ACb，用 a、b表示向量AP，AD. 解： BPAPABAPa，CPAPACAPb，又 3AP4BP5CP0. 3AP4(APa)5(APb)0

28、，AP13a512b. 设ADtAP(tR)，则AD13ta512tb.又设BDkBC(kR)，由BCACABba，得BDk(ba)而ADABBDaBD. ADak(ba) (1k)akb由得13t1k，512tk，解得 t43. 代入得AD49a59b. AP13a512b，AD49a59b. 11设两个非零向量e1和 e2不共线(1)如果ABe1e2，BC3e12e2，CD 8e12e2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - -

29、- - - - 求证： A、C、D 三点共线；(2)如果ABe1e2，BC2e13e2，CD2e1ke2，且A、C、D 三点共线，求k的值解： (1)证明：ABe1e2，BC3e12e2，CD 8e12e2，ACABBC4e1e212(8e12e2)12CD，AC与CD共线又AC与CD有公共点 C，A、C、D 三点共线(2) ACABBC(e1e2) (2e13e2) 3e12e2，A、 C、D 三点共线，AC与CD共线，从而存在实数使得ACCD，即 3e12e2 (2e1ke2)，得32 ，2k，解得 32，k43. 12设点 O 在ABC 内部，且有 4OAOBOC0，求 ABC 的面积与

30、 OBC 的面积之比解： 取 BC 的中点 D，连接 OD，则OBOC2OD，又 4OA(OBOC) 2OD，即OA12OD，O、A、D 三点共线，且 |OD|2|OA|，O 是中线 AD 上靠近 A 点的一个三等分点，SABCSOBC32. 1已知 ABC 的三个顶点A、B、C 及平面内一点P 满足PAPBPCAB，则点 P 与 ABC 的关系为 () AP 在 ABC 内部BP 在 ABC 外部CP 在 AB 边所在直线上名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，

31、共 15 页 - - - - - - - - - DP 是 AC 边的一个三等分点解析： 选 DPAPBPCAB，PAPBPCPBPA，PC 2PA2AP，P 是 AC 边的一个三等分点2平面向量a，b 共线的充要条件是() Aa，b 方向相同Ba，b 两向量中至少有一个为0 C存在 R，使 b aD存在不全为零的实数1，2，使 1a2b0 解析： 选 Da，b 共线时， a，b 方向相同或相反，故A 错 a，b 共线时， a，b 不一定是零向量，故B 错当 b a 时， a，b 一定共线，若b0，a0，则 b a 不成立，故C 错排除A、B、C. 3 ABC 中，点 D 在边 AB 上， C

32、D 平分 ACB.设CBa，CAb，|a|1，|b|2，则CD等于 () A.13a23bB.23a13bC.35a45bD.45a35b解析： 选 BCD 平分 ACB，ACBCADBD. 又CBa，CAb，|a|1，|b|2，ADBD21. CDCBBDa13BAa13(CACB) a13(ba)23a13b. 4.如图所示，在五边形ABCDE 中，点 M、N、P、Q 分别是 AB、CD、BC、DE 的中点， K 和 L 分别是 MN 和 PQ 的中点，求证：KL14AE. 证明 ：任取一点 O，KLOLOK. K、L 为 MN、PQ 的中点OK12(OMON)，OL12(OPOQ)名师资

33、料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - - - - - - - - - 又 M，N，P，Q 分别为 AB，CD，BC，DE 中点，OM12(OAOB)，ON12(OCOD)，OP12(OBOC)，OQ12(ODOE)KLOLOK12(OMON) (OPOQ) 14(OAOBOCOD)(OBOCODOE) 14(OAOE)14AE. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 15 页 - - - - - - - - -