2022年高考专题之空间向量 .pdf

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1、空间向量专题1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注： （1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OBOAABab;BAOAOBab;()OPaR运算律：加法交换律：abba加法结合律：)()(cbacba数乘分配律：baba)(3. 共线向量。（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作ba/。当我们说向量a、b共线（或a/b）时，

2、表示a、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。（2）共线向量定理： 空间任意两个向量a、b（b0） ，a/b存在实数 ，使ab。4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果两个向量,a b不共线，p与向量,a b共面的条件是存在实数, x y使pxayb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量, ,a b c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z，使pxaybzc。若三向量, ,ab c不共面，我们把 , , a b c叫做空间的一个基底，, ,a b c叫做基

3、向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设,O A B C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使OPxOAyOBzOC。6. 空间向量的直角坐标系：（1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组( , )x y z，使zkyixiOA，有序实数组( , )x y z叫作向量A在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页

4、- - - - - - - - - 记作( , , )A x y z，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 , , i j k表示。（3）空间向量的直角坐标运算律：若123(,)aa a a，123( ,)bb b b，则112233(,)abab ab ab，112233(,)abab ab ab，123(,)()aaaaR，1 12233a baba ba b，112233/,()abab ab abR，1 1223 30ababa ba b。若111(,)A x y z，222(,)B xyz，则212121

5、(,)ABxxyyzz。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。（4）模长公式：若123(,)aa aa，123( ,)bb b b，则222123|aa aaaa，222123|bb bbbb（5）夹角公式：1 12233222222123123cos| |a ba ba ba ba babaaabbb。（6）两点间的距离公式：若111(,)A x yz，222(,)B xyz，则2222212121|()()()ABABxxyyzz，或222,212121()()()A Bdxxyyzz（7） 法向量：若向量a所在直线垂直于平面， 则称这个向量垂直

6、于平面， 记作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量 . 向量的常用方法：利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面的法向量， AB是平面的一条射线，其中A，则点 B到平面的距离为|nnAB. . 异面直线间的距离nnCDd (12,l l是两异面直线， 其公垂向量为n，CD、分别是12,ll上任一点，d为12,l l间的距离 ). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - . 直线AB与平面所成角sin|AB mar

7、cABm(m为平面的法向量 ). . 利用法向量求二面角的平面角定理：设21,nn分别是二面角l中平面,的法向量，则21, nn所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,nn方向相同，则为补角，21, nn反方，则为其夹角）. 二面角l的平面角cos|m narcm n或cos|m narcm n（m，n为平面，的法向量） . 7. 空间向量的数量积。（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O，作,OAa OBb， 则A O B叫做向量a与b的夹角，记作,a b； 且规定0,a b，显然有,a bb a；若,2a b，则称a与b互相垂直，记作：ab。（2）向

8、量的模： 设OAa，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模， 记作：|a。（3）向量的数量积：已知向量,a b，则| | cos,aba b叫做,a b的数量积，记作a b，即a b| | | | cos,aba b。（4）空间向量数量积的性质：| cos,a eaa e。0aba b。2|aa a。（5）空间向量数量积运算律：()()()aba bab。a bb a（交换律）。()abca ba c（分配律）。专题练习1. 已知平行六面体ABCD DCBA，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。ABBC；ABADAA；12ABADCC； 1()3ABADAA。GM名师资料总结 - - -

9、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2. 如图正方体1111ABCDA B C D中，11111114B ED FA B，求1BE与1DF所成角的余弦。3. 已知空间三点A（0，2，3） ，B（ 2，1，6） ，C（1， 1，5） 。求以向量,AB AC为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量a分别与向量,AB AC垂直，且 |a|3，求向量a的坐标。4.如图，正四棱柱1111ABCDA B C D中，124AAAB，点E在1CC上且ECEC

10、31（）证明：1AC平面BED；（）求二面角1ADEB的大小A B C D E A1 B1 C1 D1 y x z 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - NMABDCO5.如图，在四棱锥OABCD中，底面ABCD四边长为 1 的菱形，4ABC, OAABCD底面, 2OA,M为OA的中点，N为BC的中点（）证明：直线MNOCD平面；（）求异面直线AB 与 MD 所成角的大小 . 6.如图，在长方体ABCD A1B1C1

11、D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E 在棱 AB 上移动 . （1）证明： D1EA1D；（2）当 E 为 AB 的中点时，求点E 到面 ACD1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D1ECD 的大小为4. D1C1B1A1EDCBA名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 7.如图所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是边长为 1 的菱形， BCD 60，E 是 CD 的中点， PA底面 ABCD ，PA2.

12、（）证明：平面PBE平面 PAB; （）求平面PAD 和平面 PBE 所成二面角（锐角）的大小. 8在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点 M 在 y 轴上，且M 到 A与到 B 的距离相等，则M 的坐标是 _。9已知 A、B、C 三点不共线， 对平面 ABC 外的任一点O，下列条件中能确定点M 与点 A、B、C 一定共面的是（）AOCOBOAOMBOCOBOAOM2COCOBOAOM3121DOCOBOAOM31313110.若向量且向量和垂直向量Rbanbam,(,、则)0（）Anm/BnmCnmnm也不垂直于不平行于,D以上三种情况都可能11.设向量,cba是空间一个基底， 则一定可以与向量baqbap,构成空间的另一个基底的向量是（）AaBbCcDba或12.在棱长为1 的正方体 ABCD A1B1C1D1中， M 和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线 AM 与 CN 所成角的余弦值是（）A52B52C53D1010名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -