2022年高教版数学职业模块服务类教案.二元线性规划问题的图解法 .pdf

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1、【课题】52 二元线性规划问题的图解法【教学目标】知识目标：了解解线性规划问题的图解法；理解二元一次不等式（组）表示的平面区域，也就是二元一次不等式（组）的几何意义.能力目标：（1）通过对二元一次不等式（组）的几何意义的学习, 培养和提高学生数形结合的能力.（2）通过对图解法解线性规划问题的学习,培养学生的作图能力和对图象的观察能力. 【教学重点】理解二元一次不等式（组）表示的平面区域. 【教学难点】作图能力和对图象的观察能力.【教学设计】（1）通过讲解例题1；2，理解二元一次不等式（组）表示的平面区域. 从而归纳出CByAx0（或）CByAx0 的几何意义 . （2）通过讲解例题3；4，归纳

2、总结出利用图解法解线性规划问题的5 个步骤（3）通过练习，巩固知识【教学备品】教学课件【课时安排】2 课时 (90 分钟) 【教学过程】教学过程教师行为学生行为教学意图时间*新阶段学习导入语建立了线性规划问题的数学模型后，下一步如何求出变量的值，使它们既满足线性约束条件，又能使目标函数达到最大值或最小值，即找出线性规划问题的最优解呢？讲解说明倾听教 师 指明 学 习的重点3 *揭示课题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - -

3、- 教学过程教师行为学生行为教学意图时间了 本节内容大纲要求“了解图解法解二元线性规划问题的方法”. 法通过对图解法解线性规划问题的学习,培养学生的作图能力和对图象的观察能力. 这就是我们将要研究学习的5.2.1 二元一次不等式（组）表示的平面区域 . 介绍说明了解引 入 教学内容5 *创设情景兴趣导入5.2.1 二元一次不等式（组）表示的平面区域. 我们已经知道，含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式，使不等式成立的未知数的值叫做它的 解. 在上节问题2 中，我们看到约束条件中有不等式yx2210，yx39. 由平面解析几何知识可以知道0CByAx(BA,不同时为

4、 0）在平面直角坐标系中表示一条直线.一条直线将一个平面划分成两个半平面. 现考察CByAx0（或）CByAx0 的几何意义 . 巩固知识典型例题例 1 在平面直角坐标系中，指出yx42500 所表示的区域 . 解 将50042yx整理，得12521xy，它在平面直角坐标系中表示斜率为21，截距为 125 的直线 .当该直线上的点的横坐标取x时，纵坐标取12521x. 于是y12521x可以看作横坐标取x， 纵坐标取小于等于12521x的点的全体 .在平面直角坐标系中，表示直线下方（包括直线）的阴影区域如图5- 1 所示.即yx42500 表示直线50042yx下方（包括直线）的阴影区域. 播

5、放课件引导分析引 导学生理 解二 元一 次不 等式观看课件思考自我建构通 过分 析解 决例题理 解讲解例 题 学生 学 习知识点理 解 二元 一 次不 等 式（ 组 ）表 示 的平 面 区域10 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间125250yxyx4-2图 5-1 图 5-2 例 2 在平面直角坐标系中，指出42yx0 所表示的区域 . 解 将042yx整理，得42xy，在平面

6、直角坐标系中表示斜率为2， 截距为 4 的直线。该直线上的点的横坐标取x时，纵坐标取42x. 于是y 2x+4 可以看作横坐标取x，纵坐标取小于等于42x的点全体 .在平面直角坐标系中表示直线42xy及其下方的阴影区域.即 2x- y+40 表示直线042yx及其下方的阴影区域，如图5- 2 所示. 归纳由例 1、例 2 可以看出CByAx0（或CByAx0 ）的几何意义：（1）当0B时，不等式可化为ybkx或ybkx. 表示平面直角坐标系内,在直线bkxy上方（包括直线） 的半平面区域；ybkx表示平面直角坐标系内，在直线bkxy下方（包括直线）的半平面区域; （2）当0B时，不等式可化为x

7、m 或 xm 它们分别表示在平面直角坐标系内,在直线mx右方 ,或在直线x=m 左方（包括直线mx）的平面区域；对于一元二次不等式组所表示的平面区域，那就是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. （ 组） 表示 的平 面区域二 元一 次不 等式（ 组） 表示 的平 面区域归 纳 总结 解 决理 解 二元 一 次不 等 式（ 组 ）表 示 的平 面 区域20 35 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学

8、生行为教学意图时间例如由约束条件（决策变量分别为), yx. 0,03001032005436049yxyxyxyxyxD4x+5y=2003x+10y=3009x+4y=360CF20602040604080O10080B图 5-3 所表示的在平面直角坐标系内的区域，是由直线9x+4y=360,4x+5y=200,3x+10y=300以及两条坐标轴所围成的阴影部分（含边界直线）如图5-3 所示. 指导学生完成不等式组的表示的图像在教师的指导下画出图像实 际 操作45 *动脑思考探索新知概念（1）含有两个未知数，并且未知数的次数都是一次的不等式叫做 二元一次不等式， 使不等式成立的未知数的值叫

9、做它的解. （2）二元一次不等式：CByAx0（或CByAx0 ）的几何意义：5.2.2 图解法例 3 试解二元线性规划 : 总结归纳理解领会记忆带领学生理解概念为后续学习做准备名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间约束条件0,021yxyxyx目标函数yxZ3maxyxx+y=221Az=3z=2z=1z=0-x+y=1O12图 5-4 解在平面直角坐标系中， 分别作出约束条件中各

10、不等式对应的平面区域， 满足线性约束条件的点集是由四个半平面区域的公共部分组成（图5-4 中的阴影部分）图 5-4 中阴影区域（包括边界）上任何一点的都能满足四个不等式； 反之，阴影区域外任一点， 其坐标都不能同时满足这四个不等式. 因此，阴影区域（包括边界）内每一点的坐标都是这个线性规划问题的可行解，所有可行解 的全体就构成了这一线性规划问题的可行域. 现在要在可行域中找出一个使目标函数yxz3取得最大值的解 , 即最优解 . 观察目标函数 z 的可能取值， 不妨令0z，则得到分析讲解教 师引导思考回答理 解题意思考理解领会归纳引 领 学生 理 解解题意55 名师资料总结 - - -精品资料

11、欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间一条直线03yx这条直线上任何一点都能使得目标函数 z取同一个常数值（此时z =0） ，将这条直线叫做等值线 . 分别令 z等于 1，2，就可以做出互相平行的直线族 .,2, 1 zz从图 5-4 中可以看到，当 z得值增加时，等值线就离原点O越来越远 . 于是，这个问题转化为：在上述等值线的平行直线族中， 找出一条直线，使它既与阴影区域相交，又离开直线0z最远 .由图 5-4

12、 可见，经过 A的等值线符合这一要求 . 为 求 点A的 坐 标 ， 解 方 程 组21yxyx得点 A 的坐标为（ 0.5 ，1.5 ）. 所以当 x =0.5，y =1.5时，目标函数Z 取得最大值5.135 .0maxZ答 问题的最优解是 x=0.5，y=1.5 时 Zmax=5 归纳利用图解法解线性规划问题的步骤是：（1）确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数；（2）由线性约束条件，在平面直角坐标系中画出可行域；（3）过原点作出目标函数的0 等值线，即目标函数值等于 0 的直线；（4）将 0 等值线平行移动，观察确定可行域内最大解的位置，一般最优解在可行域的顶点取得. （5）求最值将

13、最优解带入目标函数求值. 例 4 解第 5.1 节中的问题 2. 求满足下面约束条件的目标函数的最小值 . 约束条件：0,0931022yxyxyx讲解强调讲解鼓 励学 生领会思考鼓 励 学生 自 己分 析 鼓励 学 生自 己 分析归 纳 解题步骤65 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间目标函数：yxZ500400min解 作出可行域，如图5-5 所示. yxx+3y=92x+2

14、y=0z=03O355797图 5-5 作出 目标 函数yxz500400的 0 等值 线. 即054yx. 将 0 等值线向可行与平行移动至点A处，这时目标函数取最小值 . 解方程组931022yxyx得点 A 的坐标为（3， 2）所以当 x =3，y=2时目标函数 Z 取得最小值yxZ500400min=4003+5002=2 200.答 问题的最优解为甲、乙两种型号的废钢分别用3 吨和 2 吨时，可使总费用最小，其最小费用为2 200 元. 自 己分析理 解题意思 考解题强 化 解题步骤80 *运用知识强化练习练习 5.2.2用图解法解5.1 节中的例 2 例 2 某工厂生产甲、乙两种产

15、品，每件甲产品要消耗钢材2kg,煤 2kg,产值为 120 元；每件乙产品要消耗钢材3kg,煤 1kg,产值提问巡视思考及时了解学生名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间为 100 元；现钢厂有钢材600kg., 煤 400kg,试确定甲、乙两种产品各生产多少件，才能使该厂的总产值最大？试写出问题的线性约束条件和目标函数. 指导动手求解交流知识掌握情况85 *理论升华整体建构本次课重

16、点学习了图解法解线性规划问题. 二元一次不等式（组）所表示的区域就是各不等式所表示区域的公共部分. 、在用图解法解线性规划问题时，我们发现线性规划问题的可行域是一个凸多边形（或凸的区域）， （所谓凸的区域，是指若有任意两点在区域内，那么这两点所连线段也在该区域内.）从而使问题的最优解可在凸多边形的顶点处找到，因此，我们也可以通过比较各顶点处目标函数的值求出最优解. 图解法解线性规划问题只限于只有两个决策变量的情形.当多于两个决策变量的问题，一般不便于用图解法，因此图解法有很大的局限性 .利用图解法解线性规划问题的步骤是：（1）确定决策变量，列出线性约束条件与目标函数；（2）由线性约束条件，在平

17、面直角坐标系中画出可行域；（3）过原点作出目标函数的0 等值线，即目标函数值等于 0 的直线；（4）将 0 等值线平行移动，观察确定可行域内最大解的位置，一般最优解在可行域的顶点取得. （5）求最值将最优解带入目标函数求值总结归纳理解体会从 整 体再一次突 出 五步 走 解题方法*归纳小结强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？（1）本次课学了哪些内容？（2）通过本次课的学习，你会解决哪些问题了？（3）在学习方法上有哪些体会？引导提问回忆反思培养学生总结学习过程能力88 *继续探索活动探究名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 教学过程教师行为学生行为教学意图时间(1) 阅读理解：教材 5.2 ，学习与训练5.2 ；(2) 书面作业：教材习题5.2 ，学习与训练5.2 训练题；(3) 实践调查：探究生活中的应用线性规划问题的实例说明记录90 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -