2022年高等数学第七章微分方程试题及答案 .pdf

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1、1 第七章常微分方程一变量可分离方程及其推广1变量可分离的方程（1）方程形式：0yQyQxPdxdy通解CdxxPyQdy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（ 2）方程形式：02211dyyNxMdxyNxM通解CdyyNyNdxxMxM12210, 012yNxM2变量可分离方程的推广形式（ 1）齐次方程xyfdxdy令uxy，则ufdxduxudxdycxcxdxuufdu|ln二一阶线性方程及其推广1一阶线性齐次方程0yxPdxdy它也是变量可分离方程，通解dxxPCey， （c为任意常数）2一阶线性非齐次方程xQyxPdxdy用常数变易法

2、可求出通解公式令dxxPexCy代入方程求出xC则得CdxexQeydxxPdxxP3伯努利方程1 ,0yxQyxPdxdy令1yz把原方程化为xQzxPdxdz11再按照一阶线性非齐次方程求解。4方程：xyPyQdxdy1可化为yQxyPdydx以y为自变量，x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。三、可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式xfyn通解nnnnnnCxCxCxCdxxfy12211次yxfy,令py，则py，原方程pxfp,一阶方程，设其解为1,Cxgp，即1,Cxgy，则原方程的通解为21,CdxCxgy。yyfy,令py，把p看作y的函数，则dydppdxdydy

3、dpdxdpy把y，y的表达式代入原方程，得pyfpdydp,1一阶方程，设其解为,1Cygp即1,Cygdxdy，则原方程的通解为21,CxCygdy。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - - - - 2 四线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程0yxqyxpy（1）二阶非齐次线性方程xfyxqyxpy（2）1若xy1，xy2为二阶齐次线性方

4、程的两个特解，则它们的线性组合xyCxyC2211（1C，2C为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当xyxy21（为常数），也即xy1与xy2线性无关时，则方程的通解为xyCxyCy22112若xy1，xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则xyxy21为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3若xy为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解，则xyxy为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4若y为二阶非齐次线性方程的一个特解，而xyCxyC2211为对应的二阶齐次线性方程的通解（1C，2C为独立的任意常数）则xyCxyCxyy2211是此二阶非齐次线性方程的通解。5设x

5、y1与xy2分别是xfyxqyxpy1与xfyxqyxpy2的特解，则xyxy21是xfxfyxqyxpy21的特解。五二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1二阶常系数齐次线性方程0qyypy其中p，q为常数，特征方程02qp特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式（1）特征方程有两个不同的实根1，2则方程的通解为xxeCeCy2121（2）特征方程有二重根21则方程的通解为xexCCy121（3）特征方程有共轭复根i，则方程的通解为xCxCeyxsincos212n阶常系数齐次线性方程012211ypypypypynnnnn其中nipi, 2, 1为常数。相应的特征方程012211nnnn

6、npppp特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。（1）若特征方程有n个不同的实根n,21则方程通解xnxxneCeCeCy2121（2）若0为特征方程的k重实根nk则方程通解中含有y=xkkexCxCC0121（3）若i为特征方程的k重共轭复根nk2，则方程通解中含有xxDxDDxxCxCCekkkkxsincos121121由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

7、- - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - - 3 六、二阶常系数非齐次线性方程方程：xfqyypy其中qp,为常数通解：xyCxyCyy2211其中xyCxyC2211为对应二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？1xnexPxf其中xPn为n次多项式，为实常数，（ 1）若不是特征根，则令xnexRy（ 2）若是特征方程单根，则令xnexxRy（ 3）若是特征方程的重根，则令xnexRxy22xexPxfxnsin或xexPxfxncos其中xPn为n次

8、多项式，,皆为实常数（1）若i不是特征根，则令xxTxxReynnxsincos（2）若i是特征根，则令xxTxxRxeynnxsincos例题：一、齐次方程1.求dxdyxydxdyxy22的通解解：10)(22222xyxyxxyydxdydxdyxyxy令1,2uudxduxuuxy则0)1(duuxudx11Cxdxduuu，1|lnCuxu，xyuuCceyceexu,12. 011dyyxedxeyxyx解：yxyxeyxedydx11，令yuxuyx,.(将 y 看成自变量 ) dyduyudydx, 所以uueuedyduyu1)1(uuuuueeuueeuedyduy11yd

9、ydueueuu1, ydyeueuduu)(, yyceuu1lnlnlnceuyu1, yxueyxceucy, cyexyx. 二、一阶线形微分方程1.1)0(,0)(ydyxyydx解：可得0) 1(1xyxdydx. 这是以 y 为自变量的一阶线性方程解得)ln(ycyx. 0)1(x, 0c. 所以得解yyxln. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - - 4 2.求微分方程4yxydxdy的通解解：变形得：

10、341yxydydxyyxdydx即，是一阶线性方程3)(,1)(yyQyyPCyyCdyeyexdyydyy413131三、伯努力方程63yxyxy解：356xyyxy，256xxyydxdy，令,5uy56uyy, 25xxuu，255xuxu. 解得)25(25xcxu， 于是35525xcxy四、可降阶的高价微分方程1.求) 1ln()1 (xyyx的通解解：令pypy则,原方程化为)1ln() 1(xppx1) 1ln(11xxpxp属于一阶线性方程111111)1ln(Cdxexxepdxxdxx11)1ln()1ln(1111xCxCdxxx2111)1ln(CdxxCxy212

11、)1ln()(CxxCx2.1)0( ,2)0() ( 22yyyyy，解：令dydppypy ，则，得到ypdydpp22令up2, 得到yudydu为关于 y 的一阶线性方程. 1)0( )0(0|22ypxu，解得yceyu1所以2)0(121)0(0|1ceceyxuy, 0c. 于是1yu, 1ypdxydy1, 112cxy, 2211cxy2)0(y, 得到121c, 得解121xy五、二阶常系数齐次线形微分方程1.0 2 2)4()5(yyyyyy解：特征方程012223450)1)(1(22，ii5,43,21,1于是得解xxccxxccecyxc o s)(s i n)(5

12、43212.0610 5)4(yyyy，14)0( ,6)0( ,0)0( , 1)0(yyyy解：特征方程0610524, 0)22)(3)(1(2名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - - 5 11, 32, i14, 3得通解为)s i nc o s(43321xcxceececyxxx由14)0( ,6)0( ,0)0( , 1)0(yyyy得到211c, 212c, 13c, 14c得特解)s in( c o s

13、21213xxeeeyxxx六、二阶常系数非齐次线形微分方程1.求xeyyy232的通解解： 先求齐次方程的通解， 特征方程为0322， 特征根为1,321。因此齐次方程通解为xxeCeCY231设非齐次方程的特解为1,由于y为特征根，因此设xxAey, 代入原方程可得21A，故原方程的通解为xxxxeeCeCy212312.求方程xyyycos222的通解解：特征方程为022，特征根为1,221，因此齐次方程的通解为xxeCeCY221设非齐次方程的特解为y,由于题目中ii2,2,0不是特征根，因此设xBxAy2sin2cos，代入原方程可得xxBABxABA2cos22sin)422(2c

14、os)422(226BA，026AB解联立方程得101,103BA，因此xxy2sin1012cos103_故原方程的通解为xxeCeCyxx2sin1012cos1032213.xxxyycos22sin3 解：特征根为i，齐次方程的通解为：xcxcysincos21xyy ，xyccxccy1,02121xyy2sin3 ，xcxcxcxcexyx2cos2sinsincos21210待入原式得出：0, 121cc，所以xy2sinxyycos2 ，xxcxcxcxcexyx)sincos(sincos21211待入原式得出：1,021cc，所以xxysin故原方程的通解为xxxxxcxc

15、ysin2sinsincos21七、作变量代换后求方程的解1.求微分方程2322)1(1)(ydxdyxxy的通解解：令,tan,tanvxuy原方程化为uvdvuduvvu322secsecsecsec)tan(tan化简为1)sin(dvduvu再令方程化为则, 1,dvdudvdzvuzzdvdzzsin1sin，,sin11) 1(sin,sin1sincvdzzzcdvdzzzcvdzzzz2sin1sin1，cvdzzzz2cossin1cvzzzsectan最后 Z 再返回 x,y,v 也返回 x, 即可。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

16、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - - 6 2.0)2(0)sin() 1(yyxyx，解：设1dxdudxdyxuyuyxcxuuxdxuduudxduxlnlncotcsclnsin0sinxcyxyxxcuusincos1cotcsc，因为20,2cyx所以xyxyx2sincos13. 21222sin22sin1xeyxyyx解：令yyuyu2sin,sin2则. 得到212221xexuux, 21221122xeuxxux为一阶线性方程解得|)1|ln(2122xxceux.

17、即|)1|ln(sin21222xxceyx. 4.0)cos1(cossinlnyxyyxxy解：令uycos, 则yyusin. 原方程化为0)1(lnxuuxxuxuxxuulnln2, 为贝奴利方程，xuxxuuln11ln12. 令uz1, 则2uuz. 方程化为xzxxzln1ln1, 为一阶线性方程. 解得xcxzln)(. 即xcxylncos1, xycxlncos)(. 八、综合题1.设 f（x） xxsinxdttftx0)()(，其中 f（x）连续，求f（x）解：由表达式可知f（x）是可导的，两边对x 求导，则得xdttfxxxxf0sincos再对两边关于x 求导，得

18、)(cos2sinxfxxxxf即xxxxfxfc o s2s i n属于常系数二阶非齐次线性方程. 对应齐次方程通解xCxCysincos21，非 齐 次方 程 特解 设xDCxxxBAxxysincos_代入 方 程求 出系数A,B,C,D 则得xxxxysin43cos412_，故 f（x）的一般表达式xCxCxxxxxfsincossin43cos41)(212由条件和导数表达式可知f（0） 0，00f可确定出0,021CC因此xxxxxfsin43cos41)(22.已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通

19、解. 解：由线性微分方程的解的结构定理可得，xeyy31，xxeeyy221，xeyyyy22131对应的齐次方程的解，由解xe与xe2的形式，可得齐次方程为02yyy. 设该方程为)(2xfyyy，代入xxexey21，得xexxf21. 所以，该方程为xexyyy212，其通解为xxxxexeeCeC2221. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - - 7 3.设在，其中)()(),()()(xgxfxgxfxF),

20、(内满足以下条件xexgxffxfxgxgxf2)()(,0)0(),()(),()(且（1）求)(xF所满足的一阶和二阶微分方程（2）求出)(xF的表达式解：)(2)2()()(2)()()()()()()()()(2222xFexgxfxgxfxfxgxgxfxgxfxFx可知)(xF所满足的一阶微分方程为xexFxF24)(2)(（2）xxxxxdxceecdxeecdxeeexF22422dx2244)(将10)0()0()0(cgfF代入，可知于是xxeexF22)(4.设函数xyy在,内具有二阶导数，且yxxy,0是xyy的反函数（ 1）试将yxx所满足的微分方程0sin322dy

21、dxxydyxd变换为xyy满足的微分方程；（ 2）求变换后的微分方程满足初始条件00y，230y的解。解： （1）由反函数导数公式知ydydx1即1dydxy，两端关于x 求导得0222ydyxddydxy，所以3222yyyydydxdyxd。代入原微分方程得xyysin（ *）（2）方程（ * ）所对应的齐次方程0yy的通解为xxeCeCY21设方程（ *）的特解为_yA xcos+ Bxsin，代入方程（ * ）求得 A0，B21，故_y21xsin，从而xyysin的通解是xeCeCxyxxsin21)(21. 由230,0)0(yy，得1,121CC，故所初值问题的解为xeexyx

22、xsin21)(. 5.设(x)是以 2为周期的连续函数，0)(20,(0)(x),(x)（1）求微分方程cosx(x)eysinxdxdy的通解（ 2）以上这些解中，有没有以 2为周期的解？若有，求出，若无，说明理由。解： （1）先解对应的齐次方程：xeccosccosxey0ysinxdxdyxexcexcdxdyexcyxxxsincoscoscos带入上式dxxxcxxc，因为dxxx(x)(x)xxceexycxxccoscos（2）若有以2为周期的解，满足：02xfxfcxecxexfcxexfxfxxxcoscos2cos222关键是看x是否为周期函数：dxxxx000220dx

23、x，x不是周期函数， 所以没有2为周期的解。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - - 8 6.已知曲线y f(x) （x0）是微分方程2y/+y/-y=(4-6x)e-x的一条积分曲线，此曲线通过原点， 且在原点处的切线斜率为0，试求： （1）曲线 yf(x) 到 x 轴的最大距离。（2）计算0)(dxxf解：1,210212132221212xexyyy齐次方程通解为：xxececy2211，根据已知条件特解为：xeb

24、xaxY特解代入原式得：1,0 ba，所以xexY2，所以通解为：xxxexececy22211，由已知得：00,00ff所以021cc，所以xexy2求xfy到x轴的最大距离，即求y的最大值。22xxeyx，当0y时，2,0 xx，242,00eff0limlim22xxxxexexf所以xfy到x轴的最大距离为242ef。（2）2202)(002020 xdxeexdexdxxfxx九、微分方程的几何和物理应用1.设函数)0)(xxy二阶可导，且,1)0(,0)(yxf过曲线)(xyy上任意一点),(yxP作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为,1S区间x,0

25、上以)(xyy为曲边的曲边梯形面积记为2S， 并设212SS恒为 1，求此曲线)(xyy的方程。解：)(xyy在点),(yxP的切线方程为：xXxyxyY它与x轴的交点为0,yyx，由于10,0 yxy，因此0 xy于是有yyyyxxyS22121，又因为dttySx02，1221SS1202dttyyyx，两边求导并化简得：2yyy解上述微分方程：设yp，则上述方程化为ydypdppdydpyp2yCp1，即211CxCeyyCdxdy，根据0, 110,1021CCyy。所以曲线方程为：xey2.设曲线L的极坐标方程为)(rr，),(rM为L任一点，)0,2(0M为L上一定点，若极径0OM

26、，OM与曲线L所围成的曲边扇形面积值等于L上0MM两点间弧长值的一半，求曲线L的方程。解：因为drrdxyds2221drs2021由已知可得：drrdrr022022121，两边对求导可得：222rrr， 即drrdrrrr1122， 设trsec，61arcsin1arcsin12CCrCrrrdr名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 11 页 - - - - - - - - - 9 236csc16sinyxrr3.有一在原点处与x 轴相切并在第一象限的光

27、滑曲线，P(x,y)为曲线上的任一点。设曲线在原点与P 点之间的弧长为S1，曲线在 P 点处的切线在P 点与切线跟y 轴的交点之间的长度为S2，且2123SS=xx)1(2，求该曲线的方程。解：设曲线方程为xfy，dxySx0211曲线在 P 点的切线方程为：xXyyY因此与y轴的交点为：xyy,0，因此2222yxxS因为2123SS=xx) 1(2，所以xyxxyx022213112两边求导得出：yyxy1212，解方程得出：3232xy4.设函数xf在, 1上连续， 若曲线xfy，直线1x，1ttx与x轴围成平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积132ftfttV，试求xfy所满足的微分

28、方程，并求922xy的解.解：由题意可知tftftdxxftV12213则tftftdxxf12213，两边对 t 求导，tftttftf2223yxftfxt,，得xyyyx2322，xyxydxdy232令dxduxudxdyxuyxyu,，13uudxdux，当时1, 0 uuxdxuudu31两边积分后得31cxuu，方程通解为ycxxy3，再由922xy，可得1c31xxy5.一个半球体状的雪球，其体积融化的速率与半球面面积S 成正比，比例常数0K，假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为0r的雪堆开始融化的 3 小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少小时。解：设

29、雪堆在时刻t的体积332rV，表面积为22 rS。由已知可得KsdtdV，drrdrrdV2223322222rKdtdrr，于是CKtrKdtdr，由00rrKtrr0，又因为0813VV，30303281332rKr，061rKtrrr0061，雪球全部融化时，60tr，即雪球全部融化需要6 小时。6.有一房间容积为1003m，开始时房间空气中含有二氧化碳0.12%，为了改善房间的空气质量，用一台风量为103m/分的排风扇通入含0.04%的二氧化碳的新鲜空气，同时以相同的风量将混合均匀的空气排出，求排出10 分钟后，房间中二氧化碳含量的百分比？解：设t时刻二氧化碳的浓度为x，在时间间隔dt

30、tt,，浓度改变dxdxxdtdtdxdtxdt10010004. 010010%04. 0101010410010004.04dtxdxdtxdx，两边积分可得：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - - 10 104410410104lntCexCtx因为441081012,0Cxt所以%07.0,101081041044xtext7.有一容积为5003m的水池，原有 1003m的清水，现在每分钟放进23m浓度为 50

31、%的某溶液，同时每分钟放出13m溶液，试求当水池充满时池中溶液浓度。解：设t时刻溶液中溶质的量为x，在时间间隔dttt,，质量改变dx11001001%502txdtdxdxdttx，这是一阶线性微分方程先解对应的齐次方程：tcx100，再解非齐次方程ttcx100ccttxctttc100100211002122因为tttxcxt1 0 01 0 02100,02，当水池充满时，400,500100tt分钟，溶液浓度为%48100 x8.某湖泊的水量为V，每年排入湖泊内含污染物A 的污水量为6V，流入湖泊内不含污染物A 的污水量为6V，流出湖泊的水量为3V，已知 1999 年底中湖中A 的含

32、量为05m，超过国家规定指标，为了治理污染，从2000 年初起，限制排入湖泊中含 A 污水的浓度不超过Vm0，问至多需要经过多少年，湖泊中污染物A 的含量才可降至0m以内。（设湖水中A 的浓度是均匀的） 。解：设从 2000 年初（令此时，0t）开始，第t年湖泊中污染物A 的总量为tm，浓度为Vm，则在时间间隔dttt,上，排入湖泊中A 的量近似为drmdtVVm6600， ，排出量为：dtmdtVVm33，则在时间间隔dttt,上，tm的改变量为：dtmmdm360，分离变量解方程：302tCemm代入初始条件050mm，029mC，于是32912temm令0mm，3ln6t，即至多需要经过

33、3ln6t年，湖泊中污染物A 的含量才可以降至0m以内。9.已知某车间的容积为630303m，其中的空气含%12.0的二氧化碳，现以含二氧化碳%04.0的新鲜空气输入，问每分钟应输入多少，才能在30分钟后使车间空气中二氧化碳的含量不超过%06. 0， （假定输入的新鲜空气与原有空气很快混合均匀，且以相同流量排出）。解：设每分钟应输入3am，t时刻浓度为x，在时间间隔dttt,，浓度改变dxdxdtaxadxdtaxa540010463030%04.04Cdtaxdtaxdxaxadtdx5400104ln54001045400104444dtaCex54004104，因为441081012,0

34、Cxttaex540044108104，当34250106,30maxt名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 11 页 - - - - - - - - - 11 10.有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)(yyx绕 y 轴旋转而成的旋转曲面（如图），容器的底面圆的半径为2 m. 根据设计要求，当以min/33m的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大 （假设注入液体前容器内无液体）. (1) 根据 t 时刻液面的面积，写出t 与)(y

35、之间的关系式；(2) 求曲线)(yx的方程 . 解：液面的面积将以min/2m的速率均匀扩大，因此t 时刻液面面积应为：t22，而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t 与)(y之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t 时刻的液体体积为 3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可. (1) 设在 t 时刻，液面的高度为y， 则由题设知此时液面的面积为ty4)(2, 从而.4)(2yt(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为.12)(33)(022ytduuy上式两边对y 求导，得)()(6)(2yyy，即).(6)(yy解此微分方程，得yCey6)(，其中 C 为任意常数，由2)0(知 C=2，故所求曲线方程为：.26yex名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 11 页 - - - - - - - - -