2022年高考第二轮复习函数导数数列专题 .pdf

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1、函数、导数、数列专项复习例1设函数)(xf定义域为R，当0 x时，1)(xf，且对任意Ryx,，有)()()(yfxfyxf证明：（1）1)0(f（2）对任意的Rx，0)(xf且)(xf在R上是增函数 . （3）设集合)1()()(| ),(22fyfxfyxA. , 1)(|),(RccyxfyxB，若BA，求c的取值范围 . 解： （1）取0 x，1y，有) 1()0()10(fff即)1()0()1(fff又0)1(f，1)0(f（2）当0 x时，01)(xf；当0 x时， （I）知1)0(f当0 x时 ，1)0()()()(fxxfxfxf， 又0 x，1)( xf，1)(0 xf，综

2、上所述，对任意的Rx，有0)(xf设21xx，)()()()()()()()(121112111212xxfxfxfxxfxfxxxfxfxf012xx，1)(12xxf，)()(12xfxf)(xf是R上的增函数 . （3）)1 ()()(:22fyfxfA) 1()(22fyxf，122yx，即 1|),(22yxyxA)0(1)(:fcyxfB0cyx，即0|),(cyxyxBBA，直线0cyx与圆122yx相离或相切名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共

3、12 页 - - - - - - - - - 故12|c2c或2c例 2 若函数1) 1(2131)(23xaaxxxf在区间)4, 1(内为减函数，在区间),6(为增函数，试求当取a的取值范围 . 解：1) 1(2131)(23xaaxxxf1)( 2aaxxxf)1()1()( axxxf令0)( xf，解得1x或1ax（1）当11a时，在区间)4, 1(内0)( xf，那么)(xf在)4, 1(内为增函数，不合题意 . （2）当411a时，在区间)4, 1(内0)( xf不恒成立，那么)(xf在)4, 1 (内不为减函数，不合题意. （3）当614a时，在区间)4, 1(内0)( xf，

4、所以)(xf在)4, 1(内为减函数， 。在区间),6(内，0)( xf，所以)(xf在),6(内为增函数，此时75a. （4）当61a时，在区间),6(内0)( xf不恒成立，那么)(xf在),6(上为增函数不成立，不合题意，综上所述知75a为所求 . 例 3 用总长为14.8m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积. 解：设容器底面边长为xm， 则另一边长为mx)5.0(， 高为xxx22. 34)5.0(448.14由022 .3x和0 x得6. 10 x设容器的容积为3ym，则有)22.3)(5.

5、0(xxxy)6 .10(x整理，得：xxxy6.12.2223名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - 所以6.14.462xxy令0 y，有06 .14.462xx，即0411152xx解得：11x，15142x（不合题意，舍去）从而在定义域)6.1 ,0(内只有在1x时，使0 y，由题意，若x过小（接近0）或过大（接近 1.6）时，y值很小（接近0） ，因此，当1x时，y取得最大值 . 8.12.15.11最大y这

6、时，高为2. 1122 .3答：容器的高为m2. 1容积最大，最大容积为38 .1m. 例 4 已知函数)sin(cos)(xxexfx， 将满足0)( xf的所有正数x从小到大排成数列nx（I）证明)(nxf为等比数列 . （II）记nS是数列)(nnxfx前n项和，求nSSSnn21lim解：)sin(cos)(xxexfxxexxexxexfxxxsin2)cossin()sin(cos)( 令0)( xf，得0sin2xex，解得nx，n为整数nxn,3 ,2, 1n（I）nxnnnnexf)1()(，则exfxfnn)()(1所以，数列)(nxf是公比eq的等比数列，是首项exf)(

7、（II）nxn（),3 ,2, 1n是首项为，公差为的等差数列，而数列)(nxf是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - 首项为exf)(1，公比eq的等比数列，所以)(nnxfx是由等差，等比数列对应项的积组成的数列，求和时可以用错位相减的方法)()()(2211nnnxfxxfxxfxS)321(12nnnqqqnqS，其中eq)1(2(12nnnnqqnqqqqS所以)11()1(12nnnnnnnqqqqnqq

8、qqqqSS)11(1nnnnqqqqnqS化简得：1212221)1()1 (nnnnqqqqqqqqS，其中eq这样数列nS的通项分解为3 个部分，第一部分是常数列，第二部分是等比数列，第三部分又是由等差、等比数列对应项乘积组成的数列，分别对这三个数列求和，就可以得到数列nS的前n项和即有：)21 ()1()1()1 ()1(12122221nnnnqqqnqqqqnqqqnSSS22322)1()1 ()1(2)1(qqqqnqqqnn1|eq0limnnq所以2221)1()1(limeeqqnSSSnn例5已知na是由非负整数组成的数列，满足01a，32a，,5,4, 3),2)(2

9、(211naaaannnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - （I）求3a；（II）证明,5 ,4 ,3,22naann（III ）求na的通项公式及前n项和nS. 解： （I）由题设得：1043aa，且43,aa均为非负整数，所以3a的可能的值为1， 2，5，10 若13a，则104a，235a与题设矛盾若53a，则24a，2355a与题设矛盾若103a，则14a，605a，536a与题设矛盾所以23a（II）用

10、数学归纳法证明：当3n时，213aa，等式成立 假设当)3(kkn时等式成立，即22kkaa由题设有：)2)(2(211kkkkaaaa因为022kkaa所以211kkaa也就是说，当1kn时，等式211kkaa成立根据和，对于所有3n，有211nnaa，而22nnaa（III ）当n为偶数时，4)2(42)2(26442nnnnnaaaaa123)2(626nnnaan当n为奇数时，1)1(42142nnaaaannnnnna)1(，,3, 2, 1n当n为偶数时，)()()()(1654321nnnaaaaaaaaS名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

11、- - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - ) 1(21) 1(4321nnnn当n为奇数时，nnnnaaaaaaaS)()()(1243211) 1(211) 1()2(4321nnnnn即为奇数时当为偶数时当nnnnnnSn1)1(21)1(21例 6 设0a为常数，且)(2311Nnaannn（I）证明对任意1n，012) 1(2) 1(351aannnnnn（II）假设对任意1n，都有1nnaa，求0a的取值范围 . 证明：（I）法一：（数学归纳法）（i）00012123aaa，即012

12、1aa，当1n时，等式成立。（ii）假设)1(kkn时等式成立，即012) 1(2) 1(351aakkkkkk那么01112) 1(2) 1(352323aaakkkkkkkkk011112) 1(2) 1(351akkkkk也就是说，当1kn时，等式也成立。根据(i)(ii) 可知，等式对于任何Nn成立。法二：132331323231111111nnnnnnnnnnnaaaaaa)513(2)513( 311nnnnaa513nna是公比为32，首项为510a的等比数列nnnaa)32)(51(5130即012) 1(2)1(351aannnnnn名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载

13、- - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - （II）01111123)1(523)1(32aaannnnnnn所以)(1Nnaann等价于201)23() 15() 1(nna)(Nn（1）当n为奇数时，式：20)23(15na51)23(5120na3151)23(5110a（2）当n为偶数时，式：20)23(15na51)21(5120na0511510a综上所述，式对任意Nn成立，有3100a故0a的取值范围是)31, 0(练习1已知a为实数，)(4()(2

14、axxxf（1）求导数)( xf；（2）若0) 1( f，求)(xf在2,2上的最大值和最小值；（3）若)(xf在2,和),2上都是递增的，求a的取值范围。解： （1）axaxxxf44)(23，423)( 2axxxf（2）令0)1(1f，解得21a，此时43)( 2xxxf由0)( xf，得：1x或34x又29) 1(f，2750)34(f，0)2(f，0)2(f所以)(xf在2,2上最大值为29，最小值为2750（3）423)( 2axxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -

15、- - 第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - )( xf为开口向上且过点)4,0(的抛物线，由条件知：0)2( f，0)2( f即028084aa解得：22a所以a的取值范围是2,22已知函数),2,0(2)(2Raxxaxxf（1）若)(xf在2,0上是增函数，试求a的取值范围；（2）求)(xf的最小值解： （1）3322)2(2)( xaxaxf依题意322)( xaxf在2 ,0上，恒有：0)( xf，0223xa，即3xa又)0, 83x，0a（2）322)( xaxf，令30)( axxf当03a，即0a时，0)( xf在2,0(上恒成立，2,0()(xf上是

16、增函数. )(xf在2,0(上无最小值 . 当203a，即08a时若),0(3ax时，0)( xf，若2,(3ax时0)( xf33min3)()(aafxf当23a即8a时，0)( xf在2,0(上恒成立 . )(xf在2,0(上是减函数，44)(minaxf综上所述，当0a时，)(xf无最小值。 当08a时，3min3)(axf， 当8a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - 时，494)(minxf3已知0a，函

17、数), 0(,1)(xxaxxf，设ax201，记曲线)(xfy在点)(,(1xfxM处的切线为l（I ）求l的方程；（II ）设l与x轴交点为)0,(2x，证明（i ）ax102（ii ）若ax11，则axx121解： （I ）21)( xxf，由此得切线l的方程为)(1112111xxxxaxy（II ）依题意，切线方程中令0y，有)2()1()(11011111212111axxxaxxxxxxxax即)2(112axxx其中ax201(i)ax201，21ax，0)2(112axxx又aaxax1)1(212ax102，当且仅当ax11时，ax12(ii)当ax11时，11ax，121

18、ax，1112)2(xaxxx且由 (i)ax12所以axx1214设0a，求函数)ln()(axxxf), 0(x的单调区间 . 解：axxxf121)( )0(x当0,0 xa时，0)42(0)( 22axaxxf0)42(0)( 22axaxxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - )1(164)42(22aaa（i ）当1a时，0，所以，对所有的0 x，有0)42(22axax即1a时，0)( xf，此时，)

19、(xf在),0(内单调递增 . （ii ）当1a时，0，对1x，有0)42(22axax，即0)( xf，此时，)(xf在)1 ,0(内单调递增，在), 1(内单调递增。又知函数)(xf在1x处连续，因此，函数)(xf在),0(内单调递增 . （iii）当10a时，令0)( xf即0)42(22axax，解得aax122或aax122因此函数)(xf在区间)122,0(aa内单调递增，在区间),122(aa内也单调递增。令0)( xf即0)42(22axax，解得aaxaa122122因此，函数)(xf在区间)122,122(aaaa内单调递减 . 5已知Ra，求函数axexxf2)(的单调区

20、间 . 解：axaxaxeaxxaexxexf)2(2)( 22令0)( xf即0)2(2axeaxx0axe022axx解不等式：022axx0)2(axx当0a时，解得0 x，0a时，解得：ax2或0 x，当0a时，解得ax20，令0)( xf，即0)2(axx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 12 页 - - - - - - - - - 当0a时，解得0 x，当0a时，解得：02xa当0a时，解得0 x或ax2综上所述：在0a时，函数)(xf在区间)

21、0 ,(内为减函数，在区间), 0(为增函数。在0a时，函数)(xf在区间)2,(a内为增函数，在区间)0,2(a为减函数，在区间),0(内为增函数。在0a时，函数)(xf在区间)0,(内为减函数，在区间)2,0(a内为增函数，在区间),2(a内为减函数。6等差数列na的公差0d，它的一部分组成数列nkkkkaaaa,321为等比数列， 其中11ka，52ka，173ka（1）求等比数列nkkkkaaaa,321的公比q；（2）记nknf)(，求)(nf的解析式；（3）求nkkk21的值 ; 解： （1）依题意有：17125aaa)16()4(1121daada解得：da21324241115

22、dddadaaaq（2）31nnkkaa3)1()1(111dkadkann，又da21，231nnkk)1(311nnkk 1nk是等比数列，111323)1(1nnnkk1321nnk名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 12 页 - - - - - - - - - 132)(1nnf（3）1331312)331(2121nnnkkknnnn7 （ I）已知数列nc，其中nnnc32且数列1nnpcc的等比数列，求常数p；（II）设na、nb是公比不相等的

23、两个等比数列，nnnbac，证明数列na不是等比数列；解： （I）因为1nnpcc是等比数列，故有)()(11221nnnnnnpccpccpc将nnnc32代入上式，得：)32(32)32(32)32(32111122211nnnnnnnnnnnnppp即：3)3(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(11112nnnnnnpppppp整理得：032)3)(2(61nnpp解得2p或3p（II）设na、nb的公比分别为nnnbacqpqp,为记nc不是等比数列，只需记3122ccc事实上：pqbaqbpaqbpac11221221211222)()()(221122122121211131qpbaqbpaqbpabacc由于qp，pqqp222，又11,ba不为零3122ccc故nc不是等比数列. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 12 页 - - - - - - - - -