2022年高考数学一轮复习教案：第十二篇概率、随机变量及其分布方法技巧离散型随机变量的应用 .pdf

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1、方法技巧 5 离散型随机变量的应用【考情快递】 主要考查离散型随机变量的分布列、期望与方差的应用， 常以解答题形式出现方法 1：公式法解题步骤直接用公式计算离散型随机变量的分布列、期望与方差适用情况适用于可直接用公式求解的问题. 【例 1】?(2012 黄冈中学月考 )某社区举办 20XX 年上海世博会知识宣传活动，并进行现场抽奖， 抽奖规则是：盒中装有 10 张大小相同的精美卡片， 卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”(世博会吉祥物 )图案，参加者每次从盒中抽取两张卡片，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖(1)活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人笑说：我只知道若从盒中抽两张

2、都不是“海宝”卡的概率是13.求抽奖者获奖的概率；(2)现有甲、乙、丙、丁四个人依次抽奖，抽后放回，另一个人再抽，用 表示获奖的人数，求 的分布列及 E( )，D( )解 (1)设“世博会会徽”卡有n 张，由C2nC21013，得 n6，故“海宝”卡有4 张，抽奖者获奖的概率为C24C210215. (2)由题意知，符合二项分布，且 B 4，215，故 的分布列为 P( k)Ck4215k13154k(k0,1,2,3,4)或01234 P 13154C1421513153C24215213152C34215313152154由 的分布列知， E( )4215815，D( )4215 1215

3、104225. 方法 2：方程法解题步骤1. 利用题干条件列方程；利用方程计算概率问题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 适用情况适用于基本事件的个数可以用集合理论来说明的问题. 【例 2】?某工厂在试验阶段生产出了一种零件，该零件有A、B 两项技术指标需要检测，设各项技术指标达标与否互不影响若有且仅有一项技术指标达标的概率为512，至少一项技术指标达标的概率为1112.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格

4、品(1)求一个零件经过检测，为合格品的概率是多少？(2)依次任意抽出 5 个零件进行检测，求其中至多3 个零件是合格品的概率是多少？(3)依次任意抽取该零件4 个，设 表示其中合格品的个数，求E 与 D . 解(1) 设A 、 B两 项 技 术 指 标 达 标 的 概 率 分 别 为P1、 P2， 由 题 意 得 ：P1 1P2P2 1P1512，1 1P11P21112解得P134，P223，或P123，P234，所以 PP1P212，即一个零件经过检测，为合格品的概率为12. (2)任意抽出 5 个零件进行检测， 其中至多 3 个零件是合格品的概率为1C45125C551251316. (

5、3)依题意知 B 4，12，故 E( )4122，D( )412121. 方法运用训练 5 1(2011 雅礼中学英特班质检 )A、B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得 B 一张卡片，否则 B 赢得 A 一张卡片规定掷硬币的次数达9 次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止设X 表示游戏终止时掷硬币的次数(1)求 X 的取值范围；(2)求 X 的数学期望 E(X)解 (1)设正面出现的次数为m，反面出现的次数为n，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - -

6、 - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 则|mn|5，mnX，1X9，可得：当 m5，n0 或 m0，n5 时，x5. 当 m6，n1 或 m1，n6 时，X7. 当 m7，n2 或 m2，n7 时，X9. 所以 X 的所有可能取值为： 5,7,9. (2)P(X5)2125232116；P(X7)2C15127564；P(X9)11165645564；E(X)511675649556427532. 2甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一

7、直进行到其中一人连胜两局或打满6 局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为12，且各局胜负相互独立，求：(1)打满 3 局比赛还未停止的概率；(2)比赛停止时已打局数 的分布列与期望E( )解 令 Ak，Bk，Ck分别表示甲、乙、丙在第k 局中获胜(1)由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3 局比赛还未停止的概率为P(A1C2B3)P(B1C2A3)12312314. (2) 的所有可能值为 2,3,4,5,6，且P( 2)P(A1A2)P(B1B2)12212212，P( 3)P(A1C2C3)P(B1C2C3)12312314，P( 4)P(A1C2B3B4)P(B

8、1C2A3A4) 12412418，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - P( 5)P(A1C2B3A4A5)P(B1C2A3B4B5) 125125116，P( 6)P(A1C2B3A4C5)P(B1C2A3B4C5) 125125116，故有分布列23456 P 121418116116从而 E( )212314418511661164716(局)3在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3 次；在 A

9、处每投进一球得3分，在 B 处每投进一球得2 分；如果前两次得分之和超过3 分即停止投篮，否则投第三次，某同学在 A 处的命中率 q1为 0.25，在 B 处的命中率为 q2，该同学选择先在A 处投一球，以后都在 B 处投，用 表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为02345 P 0.03P1P2P3P4(1)求 q2的值；(2)求随机变量 的数学期望 E( )；(3)试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过 3 分与选择上述方式投篮得分超过3 分的概率的大小解 (1)设该同学在 A 处投中为事件 A，在 B 处投中为事件 B，则事件 A，B 相互独立，且 P(A)0.25，P( A )

10、0.75，P(B)q2，P( B )1q2. 根据分布列知 0 时，P( ABB )P( A )P( B )P( B ) 0.75(1q2)20.03，所以 1q20.2，q20.8. (2)当 2 时，P1P( A B B AB B)P( A B B )P( AB B) P( A )P(B)P( B )P( A )P( B )P(B) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 0.75q2(1q2)21.5q2(1q2)

11、0.24. 当 3 时，P2P(A BB )P(A)P( B )P( B )0.25(1q2)20.01，当 4 时，P3P( A BB)P( A )P(B)P(B)0.75q220.48，当 5 时，P4P(A B BAB)P(A B B)P(AB) P(A)P( B )P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24，所以随机变量 的分布列为02345 P 0.030.240.010.480.24 随机变量 的数学期望E( )00.0320.2430.0140.4850.243.63. (3)该同学选择都在B 处投篮得分超过 3 分的概率为P( B BBB B BBB)P

12、( B BB)P(B B B)P(BB) 2(1q2)q22q220.896；该同学选择 (1)中方式投篮得分超过3 分的概率为 0.480.240.72. 由此看来该同学选择都在B 处投篮得分超过 3 分的概率大4(2011 效实中学 1 次月考 )一个袋中装有若干个大小相同的黑球，白球和红球已知从袋中任意摸出 1 个球，得到黑球的概率是25；从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是79. (1)若袋中共有 10 个球，求白球的个数； 从袋中任意摸出3 个球，记得到白球的个数为 ，求随机变量 的数学期望 E( )(2)求证：从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的概率不

13、大于710.并指出袋中哪种颜色的球个数最少(1)解 记“从袋中任意摸出两个球， 至少得到一个白球”为事件A， 设袋中白球的个数为x，则 P(A)1C210 xC21079，得到 x5.故白球有 5个随机变量 的取值为 0,1,2,3，由于 P( 0)C35C310112，P( 1)C15C25C310512，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - P( 2)C25C15C310512，P( 3)112， 的分布列是012

14、3 P 112512512112 的数学期望 E( )112051215122112332. (2)证明 设袋中有 n 个球，其中 y 个黑球，由题意得 y25n，由 2yn,2yn1，所以yn112. 记“从袋中任意摸出两个球，至少有1 个黑球”为事件B，则 P(B)C12n5C13n5C22n5C2n25352n5n12535yn1253512710. 所以白球的个数比黑球多，白球个数多于25n，红球的个数少于n5.故袋中红球个数最少名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -