2022年高考数学一轮复习极限数列的极限数学归纳法 .pdf

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1、学习好资料欢迎下载第 92-93 课时：第十二章极限数列的极限、数学归纳法一知识要点（一）数列的极限1. 定义：对于无穷数列 an ，若存在一个常数A，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项aN，使得当nN 时，|an-A|恒成立，则称常数A 为数列 an的极限，记作Aannlim. 2. 运算法则：若 limnna 、 limnnb 存在，则有lim()limlimnnnnnnnabab ；lim()limlimnnnnnnnabab)0lim(limlimlimnnnnnnnnnbbaba3. 两种基本类型的极限： S=)11() 1(1) 1(0limaaaaann或不存在设(

2、)f n、( )g n分别是关于 n 的一元多项式，次数分别是p、q，最高次项系数分别为pa、pb且)(0)(Nnng, 则)()()(0)()(limqpqpbaqpngnfqpn不存在4. 无穷递缩等比数列的所有项和公式：11aSq（|q|1)= ; （4） 2221321l i m ()111nnnnn= ; （5）.)2(lim2nnnn= ; （6） 等比数列 an 的公比为 q=1/3, 则nnnaaaaaa24221lim= ; 例 2将无限循环小数21. 0；1.3221化为分数 . 例 3已知1)11(lim2bannnn, 求实数 a, b 的值; 例 4数列 an,bn满

3、足nlim(2an+bn)=1, nlim(an2bn)=1, 试判断数列 an,bn的极限是否存在，说明理由并求nlim( anbn) 的值. 例 5设首项为 a，公差为 d 的等差数列前n 项的和为 An , 又首项为 a, 公比为 r 的等比数列前 n 项和为 Gn , 其中 a0,|r|0) 的等比数列的前n 项之和为 Sn, 又设 Tn=1(1,2,)nnSnS, 求nnTlim. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - -

4、- - - 学习好资料欢迎下载例 7 an 的相邻两项 an,an+1是方程 x2cnx+n)31(=0的两根， 又 a1=2,求无穷等比 c1,c2, cn, 的各项和 . 例 8在半径为 R的圆内作内接正方形，在这个正方形内作内切圆，又在圆内作内接正方形，如此无限次地作下去，试分别求所有圆的面积总和与所有正方形的面积总和。例 9如图， B1，B2，Bn, 顺次为曲线 y=1/x(x0) 上的点， A1，A2，An顺次为 ox 轴上的点，且三角形OB1A1，三角形 A1B2A2，三角形 An1BnAn为等腰三角形（其中 Bn为直角 ), 如果 An的坐标为 (xn,0). (1) 求出 An

5、的横坐标的表达式 ; (2) 求|lim11nnnnnAAAA. 二例题（数学归纳法）例 1用数学归纳法证明2nn2 (n N,n 5), 则第一步应验证 n= ; 例 2 用数学归纳法证明)1,( ,12131211nNnnn, 第一步验证不等式成立；例 3. 是否存在常数 a,b,c,使得等式 122232 n(n1)212) 1(nn(an2bnc) 对一切自然数 n 成立？并证明你的结论 .(89 年) An1A1 A2 An Bn B3 B2 B1 yxOrn rn+1 an 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - -

6、 - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载例 4. 已知数列 an=n131211, 记 Sn=a1+a2+a3+an, 用数学归纳法证明Sn=(n+1)an-n. 例 5证明：n213121122n (n N,n 2) 例 6证明： xnnan1x+(n1)an能被(x a)2整除(a0). 例 7. 在 1 与 2 之间插入n个正数naaaa,321，使这2n个数成等比数列； 又在 1 与 2 之间插入n个正数nbbbb,321使这2n个数成等差数列记nnnnbbbbBaaaaA321321,（）求数列nA

7、和nB的通项； （）当7n时，比较nA与nB的大小，并证明你的结论例 8若数列 an 满足对任意的n 有：Sn=2)(1naan, 试问该数列是怎样的数列？并证明你的结论. 例 9已知数列bn是等差数列， bbbb112101145，。（）求数列bn的通项bn； （）设数列na的通项 abnanlog11（其中 a0， 且 a1） ，记Sn是数列an的前 n 项和。试比较Sn与131loganb的大小，并证明你的结论。练习（数列的极限）1.已知an 是等比数列 , 如果 a1a2a318,a2a3a49,Sna1a2 an, 那么nnSlim的值等于 ( )(89年) 名师资料总结 - - -

8、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载(A)8 (B)16 (C)32 (D)48 2.)211()511)(411)(311(limnnn的值等于 ( )(91年) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 3. 在等比数列 an 中,a11, 且前 n项和 Sn满足nnna1Slim, 那么 a1的取值范围是 ( )(98年) (A)(1, ) (B)(1,4) (C)(1,2) (D)(1,2) 7.) 等于 ( ) (

9、A)0 (B) (C) (D)5 8122321222)2221(limnnnnnnCCC等于： （A）16 （B）8 （C）4 （D ）2 9 已知各项均为正数的等比数列 an的首项 a1=1,公比为 q, 前 n 项和为 Sn,nnnSS1lim=1,则公比q 的取值范围是：（A）. q1 （B）.0q1 （C）.0q1 10.32323221limnnnnnnnn的值为 ( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不存在11. 已知an 是公差不为 0 的等差数列， Sn是an 的前 n 项和，那么nnnSnalim等于_. 12. 已知等差数列 an 的公差 d0，首项 a10，Snn

10、n1i1iinSlim则,aa1_.(93 年) 13. 如果nnalim存在，且9423limnnnaa，则nnalim_ 14.11)2(3)2(3limnnnnn_.(86 年) 15.)1n2n1n31n21n1(lim2222n_.(87 年) 16. 已知等比数列 an 的公比 q1，a1b(b0)，则n876n321naaaaaaaalim_. 17求nnnnnaaaalim= （a0); 18数列81 .0,8100.0,810000.0, 的前 n 项和及各项和 S= . 19.nlimnnn21)1(21211212121122.= . 20. 已知数列 a1,a2, an

11、, 的前项和 Sn与 an的关系是 Snban1nb)(11, 其中 b 是与名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载n 无关的常数 , 且 b1；. 求 an和 an1的关系式 ; . 写出用 n 和 b 表示 an的表达式 ; . 当 0b1 时, 求极限 Sn.(87 年) 21在边长为 a 的正方形 ABCD 中内依次作内接正方形AiBiCiDi(i=1,2,3,), 使内接正方形与相邻前一个正

12、方形的一边夹角为, 求所有正方形的面积之和 . 22已知直线 L：xny=0(n N), 圆 M ：(x+1)2+(y+1)2=1,抛物线 :y=(x 1)2, 又 L 与 M 交于点 A、B，L 与交于点 C 、D ，求22|limCDABn. 23. 设 a1)n(n3221n (n 1,2,3 ),b1)n(nann (n 1,2,3 ), 用极限定义证明21limnnb.(85 年) 练习（数学归纳法）1由归纳原理分别探求：(1) 凸 n 边形的内角和 f(n)= ; (2) 凸 n 边形的对角线条数f(n)= ; (3) 平面内 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交

13、于同一点，则该n 个圆分平面区域数 f(n)= . 2平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任何三条不过同一点，该n 条直线把平面分成f(n) 个区域，则 f(n+1)=f(n)+ . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载3当 n 为正奇数时，求证xn+yn被 x+y 整除，当第二步假设n=2k1 时命题为真，进而需验证 n= ，命题为真。4用数学归纳法证明 (n+1)(n+2) (n+n)=2n1

14、 2 3 (2n 1)(n N), 从“k 到 k+1”左端应增乘的代数式为 . 5. 用数学归纳法证明： an+1+(a+1)2n -1可以被 a2+a+1整除(nN). 6若 ai0(i=1,2,3,n), 且 a1+a2+an=1,证明： a12+a22+an2n1. (n2,n N) 7已知 An=(1+lgx)n,Bn=1+nlgx+2)1(nnlg2x, 其中 nN,n 3,),101(x, 试比较AN与 Bn的大小 . 8数列 an 中，naaaaannnn122,12,211试证：. 9. 试证：不论正数 a,b,c 是等差数列还是等比数列，当n1,nN且 a,b,c 互不相等

15、时，都有 an+cn2bn.(n N). 10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn, 且 a1=1,Sn=n2an (n N), (1) 试求出 S1,S2,S3,S4, 并猜想 Sn的表达式；(2) 证明你的猜想，并求出an的表达式。11已知 an满足：(n1)an+1=(n+1)(an1),a2=6,bn=n+an(nN).(1) 求出 bn的通项公式，(2) 是否存在非零常数p、q 使数列 qpnan 成等差数列？若存在，试求出q、q 的关系，若不名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - 学习好资料欢迎下载存在，说明理由 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -