2022年高考浙江理科数学试题及答案解析 .pdf

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1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）第卷（选择题共 40 分）一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【 2015 年浙江，理1】已知集合220Px xx，12Qxx，则()RPQIe（）（ A）0,1)（B）(0,2（C）(1,2)（D）1,2【答案】 C 【解析】,02,PQU，0,2RPe，()1,2RPQIe，故选 C【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键（2） 【 2015 年浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm）,则该几何体的体积是（）（

2、A）38cm（B）312cm（C）332cm3（D）340cm3【答案】 C 【解析】图像为正四棱锥与正方体的组合体，由俯视图知：正方体棱长为2，正四棱锥底面边长2，高为 2，所以该几何体的体积3213222233V，故选 C【点评】本题考查三视图与直观图的关系的判断，几何体的体积的求法，考查计算能力（3） 【 2015 年浙江，理3】已知na是等差数列，公差d不为零，前n 项和是nS，若348,a aa成等比数列，则（）（ A）10,0naddS（B）10,0naddS（C）10,0na ddS（D）10,0na ddS【答案】 B 【解析】因为245,aa a成等比数列，所以211134a

3、dadad ，化简得2150a dd，224114646140dSdada ddd，故选 B【点评】本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，是基础题（4） 【 2015 年浙江，理4】命题“*,( )nNf nN且( )f nn的否定形式是（）（ A）*,( )nNf nN 且( )f nn（B）*,( )nNf nN 或( )f nn（C）*00,()nNf nN 且00()f nn（D）*00,()nNf nN 或00()f nn【答案】 D 【解析】 全称命题:pxM ， p x 的否定是0:pxM，0p x，所以命题的否定为：*0nN ，*0fnN或00fnn ，

4、故选 D【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础（5） 【 2015 年浙江，理5】如图，设抛物线24yx 的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点, ,A B C，其中点,A B在抛物线上，点C在y轴上，则na与ACF的面积之比是（）（A）11BFAF（B）2211BFAF（C）11BFAF（D）2211BFAF【答案】 A 【解析】如图所示，抛物线的准线DE的方程为1x，又由抛物线定义知BFBD，AFAE，11BMBDBF，11ANAEAF，11BCFACFBMBFSBCSACANAF， 故选 A【点评】本题主要考查三角形的面积关系，利用抛物线的定义进行转化是解决本题的关键（

5、6） 【 2015 年浙江，理6】设,A B是有限集，定义( , )()()d A Bcard ABcard ABUI，其中( )card A表示有限集 A 中的元素个数（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 2命题：对任意有限集,A B， “AB”是“( , )0d A B”的充分必要条件；命题：对任意有限集,A B C，( ,)( , )( ,)d A Cd A Bd B C（A）命题和命题都成立（B）命题和命题

6、都不成立（C）命题成立，命题不成立（D）命题不成立，命题成立【答案】 A 【解析】由题意，,20dA BcardAcardBcardABI，命题：,0ABcardABcardABd A BUI，,0ABdA B，命题成立命 题 ： 由 维 恩 图 易 知 命 题 成 立 ， 下 面 给 出 严 格 证 明 ：,dA CdA Bd B C222cardAcard CcardACcard Acard BcardABcard Bcard Ccard BCIIIcardACcardABcardBCcard BIIIcardACcardACBcard ABCcardBIUIII，因为0cardACI且0

7、cardACBcardABCcardBUIII，故命题成立，故选A【点评】本题考查了，元素和集合的关系，以及逻辑关系，分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，注意本题对充要条件的考查集合的元素个数，体现两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，属于基础题（7） 【 2015 年浙江，理7】存在函数( )f x满足，对任意xR都有（）（A）(sin2 )sinfxx（B）2(sin 2 )fxxx（C）2(1)1f xx（D）2(2 )1f xxx【答案】 D 【解析】选项A：当4x时，212f；当54x时，212f；选项 B：当4x时，21164f；当54x时，2255116

8、4f；选项 C：当1x时，20f；当1x时，22f；或21fx为偶函数，然而1yx并不是偶函数；选项 D：222111fxxfxx， 令1tx得21f tt ，0t， 再令21tm， 则1tm，1fmm，故函数1fxx可以满足要求，故选D【点评】本题考查函数的定义的应用，基本知识的考查，但是思考问题解决问题的方法比较难（8） 【 2015 年浙江，理8】如图，已知ABC，D是AB的中点，沿直线CD将ACD折成A CD，所成二面角ACDB的平面角为，则（）（A）A DB（B）A DB（C）A CB（D）A CB【答案】 B 【解析】解法一：考查特殊值，用排除法，若CACB ，则当时，A CB，排

9、除 D，当0 时，0A CB，0A DB，排除 A，C，故选 B解法二：当 ACBC 时，A DB；当 ACBC 时，如图，点A投影在AE上，A OE ， 连接AA， 易得ADAAOA ，A DBA OE ，即A DB综上所述，A DB，故选 B【点评】本题考查空间角的大小比较，注意解题方法的积累，属于中档题第卷（非选择题共 110 分）二、填空题：本大题共7 小题，多空题每题6 分，单空题每题4 分，共 36 分（9） 【 2015 年浙江，理9】双曲线2212xy的焦距是，渐近线方程是名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

10、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3【答案】2 3；22yx【解析】2a，1b，焦距223cab，焦距为2 3，渐近线22byxxa【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础（10） 【2015 年浙江， 理 10】 已知函数221,1( )2lg(1),1xxf xxx，则( ( 3)ff，( )f x的最小值是【答案】 0；2 23【解析】( ( 3)log1011230ffff；当1x时，232 23fxxx（当2x时取最小值）当2x时取最小值，当1x时，2log1log10fxx，2 23

11、0Q，fx 的最小值为2 23【点评】本题主要考查了分段函数的函数值的求解，属于基础试题（11） 【2015 年浙江，理 11】 函数2( )sinsincos1f xxxx的最小正周期是， 单调递减区间是【答案】；37,88kkkZ【解析】21cos2123sinsincos1sin21sin 222242xfxxxxxx，所以最小正周期T；单调递减区间：3222242kxk，化简得3788kxk，单调递减区间：37,88kkkZ 【点评】本题考查三角函数的化简，涉及三角函数的周期性和单调性，属基础题（12） 【2015 年浙江，理12】若2log 3a，则22aa【答案】4 33【解析】由

12、2log 3a可知 43a，即23a，所以14322333aa【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题（13） 【2015 年浙江，理13】如图，三棱锥ABCD 中，3ABACBDCD，2ADBC，点,M N分别是,AD BC的中点，则异面直线,AN CM所成的角的余弦值是_【答案】78【解析】取 ND 的中点E， 因为/ /MEAN ， 则EMC 为异面直线AN ， CM 所成的角2 2ANQ，2MENE，2 2MC， 又ENNCQ，223ECENNC，2837cos8222 2EMC【点评】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力（14） 【2015 年浙江，理14

13、】若实数, x y满足221xy，则 2263xyxy 的最小值是【答案】3【解析】221xyQ，630 xy，即 6363xyxy ，如图，直线220 xy将直线221xy分成了两部分：在阴影区域内的, x y 满足 220 xy，即 2222xyxy，此时 2263226324xyxyxyxyxy，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 4利用线性规划可知在3 4,5 5A处取得最小值3；在阴影区域外的, x y 满

14、足 220 xy，即 2222xyxy，此时 22632263834xyxyxyxyxy ，利用线性规划可知在3 4,5 5A处取得最小值3综上，当35x，45y时， 2263xyxy 的最小值为3【点评】本题考查直线和圆的位置关系，主要考查二元函数在可行域内取得最值的方法，属于中档题（15） 【2015 年浙江，理15】已知12,e err是空间单位向量，1212eerr，若空间向量br满足1252,2b eb er rrr，且对于任意, x yR，12010200()()1(,)bxeyebx ey exyRru ru u rru ru u ru uuu r，则0 x，0y，br【答案】0

15、1x，02y，2 2br【解析】121212121cos,cos,2eee ee ee eu ru u ru r u u rQ，12,3e e， 不妨设113,022eu r，21,0,0eu u r，, ,bm n tr，则由题意知113222b emnru r，252b emr u u r，解得52m，32n，53,22btr，125133,2222bxeyexyx tu ru u rQ，22221251332222bxeyexyxtu ru u r22222243457224yxxyyxytxyt ， 由 题 意 ， 当1exx，2eyy时 ，22243224yxyt 取到最小值1，此时

16、21t，故2225382 222btr【点评】本题考查空间向量的数量积，涉及向量的模长公式，属中档题三、解答题：本大题共5 题，共 74 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（ 16） 【 2015 年浙江，理16】 （本小题满分14 分）在( )nf nn中，内角*,( )nNf nN 所对边分别为*,( )nNf nN 已知4A，22212bac （）求 tanC 的值；（）若( )nf nn的面积为7，求 b 的值解：（）由22212bac及正弦定理得2211sinsin22BC，故2cos2sinBC 又由4A，即34BC，得cos2sin22sincosBCCC ，解得 tan2

17、C（）由 tan2C得2 5sin5C，5cos5C，又sinsinsin4BACC，故3 10sin10B，由正弦定理得2 23cb，又4A，1sin32bcA，故6 2bc，故3b【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题（17） 【2015 年浙江， 理 17】 （本小题满分15 分）如图，在三棱柱111ABCAB C中，090BAC，2ABAC，14A A，1A在底面 ABC 的射影为 BC 的中点，D为11BC的中点（）证明：1A D平面1ABC；（）求二面角11ABDB的平面角的余弦值解：解法一：名师资料总结

18、- - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 5（）设E为 BC 的中点，连1,A E AE由题1AE平面 ABC ，故1A EAE因 ABAC ，故AEBC ， 从而AE平面1ABC由,D E分别11,B C BC的中点，得1/ /DEB B且1DEB B，从而1/ /DEA A， 且1DEA A， 所以1AAED为平行四边形， 故1/ /A DAE 又AE平面1ABC，故1A D平面1A BC（）作1A FBD于F，连1B F，由题2A

19、EEB，01190A EAA EB，得114ABA A由11A DB D，11A BB B，得11ADBB DB由1AFBD，得1B FBD，因此11AFB为二面角11ABDB的平面角由12A D，14AB，0190DA B，得3 2BD，1143A FB F，由余弦定理得111cos8A FB解法二：（）如图，以BC 中点为原点O ， CB 方向为 x轴正方向， OA 为y轴正方向，1OA为 z 轴正方向，建立空间直角坐标系2BC，2 2AC，221114AOAAAO，易知10,0,14A，2,0,0B，2,0,0C，0,2,0A，0,2,14D，12,2,14B，10,2,0A Duuuu

20、 r，2,2,14BDuuu r，12,0,0B Duuuu r，2 2,0,0BCuu u r，10,0, 14OAuuur，110A D OAuu uu r u uu r，11A DOA，又10AD BCuu uu ruuu r，1ADBC，又1OABCOQI，1AD平面1ABC（）设平面1A BD的法向量为1111,nxyzu u r，知11120nA Dyu u r uu uu r，111122140nBDxyzu u ruuu r，则取17,0,1nu u r，设平面1B BD的法向量为2222,nxyzuu r，则2122222140nB Dxyzuu ruuu u r，2220n

21、BDxuu ruu u r，则取20,7,1nu u r，12121211cos,82222nnn nnnu u ruu ru u r uu ru u ru u r，又知该二面角为钝角，所以其平面角的余弦值为18【点评】本题考查空间中线面垂直的判定定理，考查求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题（18） 【2015 年浙江，理18】 （本小题满分15 分）已知函数2,fxxaxb a bR ，记,Ma b 是 |fx在区间1,1 上的最大值（）证明：当|2a时，,2Ma b；（）当, a b满足,2Ma b，求 |ab 的最大值解： （）由2224aafxxb，得对称轴为直线2a

22、x，由 |2a，得| 12a，故 fx 在1,1 上单调，因此,max |1 |,|1 |M a bff当2a时，1124ffa， 故 4 |1 |1 |ff， max |1 |,|1 |2ff， 即,2Ma b；当2a时 ，1124ffa， 故 4|1 |1 |ff，max |1 |,|1 |2ff， 即,2Ma b综上，当|2a时，,2Ma b（）由,2Ma b得 |1| |1 |2abf， |1| |1 |2abf，故 | 3ab， | 3ab，由|0|0ababababab，得|3ab当2a，1b时，|3ab，且2|21|xx在1,1的最大值为2，即2, 12M，故 |ab 的最大值为

23、3【点评】 本题考查了二次函数闭区间上的最值求法；解答本题的关键是正确理解,Ma b 是 fx 在区间1,1 上的最大值，以及利用三角不等式变形（19） 【2015 年浙江，理19】 （本小题满分15 分）已知椭圆2212xy上两个不同的点,A B关于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 6直线12ymx对称（）求实数m 的取值范围；（）求AOB 面积的最大值（O 为坐标原点） 解 ：（ ） 由 题 知0m， 可 设

24、直 线AB：1yxbm， 代 入 椭 圆 方 程 并 整 理 得222224210mxmbxmb因 直 线AB与 椭 圆2212xy有 两 个 不 同 的 交 点 ， 故2222820mmm b将AB中点2222,22mbm bMmm代入直线方程12ymx得2222mbm由得63m或63m（）令2130,2tm，则21886|21tttABt，且 O 到AB的距离为121tdt，故AOB 的面积21112|222222S tABdt， 当且仅当12t时，等号成立， 故AOB 面积的最大值为22【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点

25、坐标公式、线段垂直平分线的性质、三角形面积计算公式、弦长公式、均值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题（20） 【2015 年浙江， 理 20】 （本小题满分15 分）已知数列na满足112a且21nnnaaanN，数列2na的前 n 项和为nS，证明：（）112nnanNa；（）112221nSnNnnn解： （）由题210nnnaaa，即1nnaa，故12na由111nnnaaa得12111110nnnaaaaaL，故102na，从而111,21nnnaaa，即112nnaa（）由题21nnnaaa，故11nnSaa由1111=nnnnaaaa和112nnaa得，11112nnaa，故11112nnnaa，因此111212nanNnn，由得112221nSnNnnn【点评】本题是一道数列与不等式的综合题，考查数学归纳法，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -