2022年高考数学一轮复习教案：第五篇平面向量第讲平面向量基本定理及其坐标表示 .pdf

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1、第 2 讲 平面向量基本定理及其坐标表示【20XX 年高考会这样考】1考查平面向量基本定理的应用2考查坐标表示下向量共线条件【复习指导】本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算基础梳理1平面向量基本定理如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 a1e12e2，其中不共线的向量e1，e2叫表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1 x2， y1 y2)，ab(x1x2，y1y2)， a (

2、x1， y1)，|a|x21 y21. (2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB(x2x1，y2y1)，|AB|x2x12 y2 y12. 3平面向量共线的坐标表示设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b 0，当且仅当x1y2x2y10 时，向量 a，b 共线一个区别向量坐标与点的坐标的区别：在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OAa，点 A 的位置被向量a 唯一确定，此时点A 的坐标与 a的坐标统一为(x， y)，但应注意其表示形式的区别，如点A(x，y)，向量 aOA(x，y)当平面向量 OA平行移动到

3、O1A1时，向量不变，即O1A1OA(x，y)，但 O1A1的起点 O1和终点 A1的坐标都发生了变化两个防范(1)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向也有大小的信息(2)若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab 的充要条件不能表示成x1x2y1y2，因为 x2，y2有可能等于0，所以应表示为 x1y2x2y10. 双基自测名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - -

4、 - 1(人教 A 版教材习题改编)已知 a1 a2 an0，且 an(3,4)，则 a1a2 an1的坐标为 ( )A (4,3) B(4， 3) C (3， 4) D(3,4) 解析a1 a2an1an(3， 4)答案C 2若向量 a(1,1)，b(1,1)，c(4,2)，则 c( )A 3abB3abC a3bD a3b解析设 cxayb，则xy4，xy2，x3，y 1.c3ab. 答案B 3(2012 郑州月考 )设向量 a(m,1)，b(1，m)，如果 a 与 b共线且方向相反，则m 的值为 ( )A 1 B1 C 2 D2 解析设 a b( 0)，即 m 且 1m .解得 m 1，

5、由于 0， m 1. 答案A 4设向量 a(1， 3)，b(2,4)，若表示向量4a、3b2a、c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量 c( )A (4,6) B (4， 6) C(4， 6) D(4,6) 解析设 c(x，y)，则 4a(3b2a)c0，462x0，12126y0，x4，y 6.答案C 5已知向量a(2， 1)，b( 1，m)， c(1,2)，若 (ab)c，则 m_. 解析ab(1，m1) (ab) c，2 (1)(m1)0， m 1. 答案1 考向一平面向量基本定理的应用【例 1】?(2012 南京质检 )如图所示， 在 ABC 中，H 为 BC 上异于 B，C 的任

6、一点， M 为 AH 的中点， 若AM AB AC，则 _. 审题视点 由 B，H，C 三点共线可用向量AB， AC来表示 AH. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解析由 B，H，C 三点共线，可令AH xAB (1x)AC，又 M 是 AH 的中点，所以 AM12AH12xAB12(1x)AC，又 AM AB AC.所以 12x12(1 x)12. 答案12应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则

7、或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算，共线向量定理的应用起着至关重要的作用当基底确定后，任一向量的表示都是唯一的【训练 1】如图， 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起若ADxAByAC， 则 x _， y_. 解析以 AB 所在直线为x轴，以 A 为原点建立平面直角坐标系如图，令 AB2，则AB(2,0)，AC(0,2)，过 D 作 DF AB 交 AB 的延长线于F，由已知得DF BF3，则AD(23，3)ADxAB yAC， (23，3)(2x,2y)即有232x，32y，解得x132，y32.另解： ADAFFD132AB32AC，所以 x132，y32. 答案13232考向二平面向量

8、的坐标运算【例 2】?(2011 合肥模拟 )已知 A(2,4)，B(3， 1)，C(3，4)，且CM3CA，CN2CB.求 M，N 的坐标和 MN. 审题视点 求CA，CB的坐标，根据已知条件列方程组求M，N. 解 A(2,4)，B(3， 1)，C(3， 4)，CA(1,8)，CB(6,3)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - CM3CA3(1,8)(3,24)，CN2CB 2(6,3) (12,6)设 M(x，y)

9、，则 CM(x3，y 4)x33，y424，得x0，y20.M(0,20)同理可得 N(9,2)， MN(90,220)(9， 18)利用向量的坐标运算解题，主要就是根据相等的向量坐标相同这一原则，通过列方程(组 )进行求解； 在将向量用坐标表示时，要看准向量的起点和终点坐标，也就是要注意向量的方向，不要写错坐标【训练 2】 在平行四边形ABCD 中， AC 为一条对角线，若AB(2,4)，AC(1,3)，则 BD( )A (2， 4) B(3， 5) C (3,5) D(2,4) 解析由题意得 BDADABBCAB(ACAB)AB AC2AB(1,3)2(2,4)(3， 5)答案B 考向三平

10、面向量共线的坐标运算【例 3】?已知 a(1,2)，b(3,2)，是否存在实数k，使得 kab 与 a3b共线，且方向相反？审题视点 根据共线条件求k，然后判断方向解 若存在实数k，则 kabk(1,2)(3,2)(k3， 2k2)，a 3b(1,2)3(3,2)(10， 4)若这两个向量共线，则必有(k3)(4)(2k2)100. 解得 k13.这时 kab103，43，所以 kab13(a3b)即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k 存在向量共线问题中，一般是根据其中的一些关系求解参数值，如果向量是用坐标表示的，就可以使用两个向量共线的充要条件的坐标表示列出方程，根据方程求解其中的参数值【

11、训练 3】 (2011 西安质检 )已知向量 a(1,2)， b(2， 3)，若向量 c 满足 (c a) b，c(ab)，则 c( )A.79，73B.73，79C.73，79D.79，73解析设 c(m，n)，则 ac(1 m,2n)，ab(3， 1)(ca)b， 3(1m)2(2n)，又 c(ab)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 3mn0，解得 m79，n73. 答案D 阅卷报告 5 平面几何知识应用不熟

12、练致误【问题诊断】在平面几何图形中设置向量问题，是高考命题向量试题的常见形式，求解这类问题的常规思路是：首先选择一组基向量，把所有需要的向量都用基向量表示，然后再进行求解【防范措施】一是会利用平行四边形法则和三角形法则；二是弄清平面图形中的特殊点、线段等【示例 】?(2011 湖南 )在边长为1 的正三角形ABC 中，设 BC误 2BD，CA3CE，则 AD BE_. 错因搞错向量的夹角或计算错实录12(填错的结论多种)正解由题意画出图形如图所示，取一组基底AB，AC，结合图形可得 AD12(ABAC)，BE AEAB23ACAB，AD BE12(ABAC) 23ACAB13AC212AB21

13、6AB AC131216cos 60 14. 答案14【试一试】(2011 天津 )已知直角梯形ABCD 中， ADBC， ADC90 ，AD 2，BC1，P 是腰 DC 上的动点，则 |PA3PB|的最小值为 _尝试解析 以 D 为原点，分别以DA、DC 所在直线为x、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DP x. D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，PA(2， x)，PB(1，ax)， PA 3PB(5,3a4x)，|PA3PB|225 (3a4x)225， |PA3PB|的最小值为5. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 答案5 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -