2022年高考福建理科数学试题及答案 .pdf

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1、12015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第卷（选择题共 50 分）一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1） 【 2015 年福建，理1，5 分】若集合234i,i,i ,iA（i是虚数单位） ，1, 1B，则ABI等于（）（ A）1（B） 1（C） 1, 1（D）【答案】 C 【解析】由已知得i,1, i,1A，故1, 1ABI，故选 C（2） 【 2015 年福建，理2，5 分】下列函数为奇函数的是（）（A） yx（B）sinyx（C）cosyx（D）xxyee【答案】 D 【解析】函数yx 是非

2、奇非偶函数；sinyx 和cosyx是偶函数；xxyee是奇函数，故选D（3）【2015 年福建，理 3， 5 分】 若双曲线22:1916xyE的左、 右焦点分别为12,F F， 点P在双曲线E上， 且13PF，则2PF 等于（）（A）11（B）9（C）5 （D）3 【答案】 B 【解析】由双曲线定义得1226PFPFa，即2326PFa，解得29PF，故选 B（4） 【2015 年福建， 理 4，5 分】为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，得到如下统计数据表：收入 x （万元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y（万元）6.2 7.5 8

3、.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程?ybxa ，其中?0.76,baybx ，据此估计，该社区一户收入为15 万元家庭年支出为（）（A） 11.4 万元（ B）11.8 万元（C）12.0 万元（D）12.2 万元【答案】 B 【解析】由已知得8.28.610.011.311.9105x（万元） ，6.27.58.08.59.885y（万元） ，故$80.76 100.4a，所以回归直线方程为$0.760.4yx，当社区一户收入为15 万元家庭年支出为$0.76150.411.8y（万元），故选 B（5） 【 2015 年福建，理5，5 分】若变量, x y满足约束条件200220

4、 xyxyxy，则2zxy 的最小值等于（）（ A）52（ B）2（ C）32（D）2 【答案】 A 【解析】 画出可行域， 如图所示， 目标函数变形为2yxz， 当 z最小时， 直线2yxz 的纵截距最大，故将直线2yx 经过可行域，尽可能向上移到过点11,2B时， z 取到最小值，最小值为152122z，故选 A（6） 【 2015 年福建，理6，5 分】阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页

5、- - - - - - - - - 2（A） 2 （B） 1（C）0（D）-1 【答案】 C 【解析】程序在执行过程中,S i的值依次为：0,1Si；0,2Si；1,3Si；1,4Si；0,5Si；0,6Si，程序结束，输出0S，故选 C（7） 【 2015 年福建，理7，5 分】若, l m是两条不同的直线，m垂直于平面，则 “lm” 是“/ /l” 的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】 B 【解析】 若 lm ， 因为 m 垂直于平面，则/ /l或 l，若/ /l，又 m 垂直于平面，则 lm ，所以“ lm ”是“ / /

6、l” 的必要不充分条件，故选B（8） 【2015 年福建，理8，5 分】若,a b是函数20,0fxxpxq pq的两个不同的零点，且, , 2a b这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq 的值等于（）（A） 6（B） 7 （C）8 （D）9 【答案】 D 【解析】由韦达定理得abp ， a bq ，则0,0ab，当, , 2a b适当排序后成等比数列时，2必为等比中项，故4a bq，4ba当适当排序后成等差数列时，2必不是等差中项，当a是等差中项时，422aa， 解得1,4ab；当4a是等差中项时，82aa，解得4,1ab，综上所述，5abp，所以9pq，故选 D（

7、9） 【2015 年福建，理9，5 分】已知1,ABACABACttuu u ruuu ruu u ru uu r，若点p是ABC 所在平面内一点，且4ABACAPABACu uu ruuu ruuu ru uu ruuu r ，则PB PCuuu r u uu r的最大值等于（）（A）13 （B）15 （C）19 （D）21 【答案】 A 【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1,0Bt，0,Ct，1,04 0,11,4APu uu r，即1,4P，所以11, 4PBtuu u r，1,4PCtu uu r，因此111416174PB PCttttu uu ruuu r，因

8、为114244tttt，所以当14tt，即12t时取等号，PB PCu uu r uuu r的最大值等于13，故选 A（10） 【2015 年福建， 理 10， 5 分】若定义在R上的函数fx 满足01f， 其导函数fx 满足1fxk，则下列结论中一定错误的是（）（ A）11fkk（B）111fkk（C）1111fkk（D）111kfkk【答案】 C 【解析】由已知条件，构造函数g xfxkx ，则0gxfxk，故函数g x 在R上单调递增，且101k，故101ggk，所以1111kfkk，1111fkk，所以结论中一定错误的是C，选项 D 不确定； 构造函数 h xfxx ，则10hxfx，

9、所以函数 h x 在R上单调递增，且10k，所以10hhk，即111fkk，111fkk，选项 A，B 无法判断，故选C第卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共5 小题，每小题4 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位置（11） 【2015 年福建，理11，5 分】52x的展开式中，2x 的系数等于（用数字填写答案） 【答案】 80 xyBCAP名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 8 页 - - - - - - - - - 3【解析】52x的展开式

10、中2x 项为2325280Cx，所以2x 的系数等于80（12） 【2015 年福建，理12，5 分】若锐角ABC 的面积为10 3，且5AB，8AC，则 BC 等于【答案】 7 【解析】 由已知得ABC 的面积为1sin20sin1032AB ACAA，所以3sin2A，0,2A，所以3A由余弦定理得2222cos49BCABACAB ACA，7BC（13） 【2015 年福建，理13，5 分】如图，点A的坐标为1,0 ，点C的坐标为2,4 ，函数2fxx ，若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等【答案】512【解析】由已知得阴影部分面积为221754433x dx所以

11、此点取自阴影部分的概率等于553412（14） 【2015 年福建， 理 14，5分】 若函数6,23log,2axxfxx x（0a且1a）的值域是4,，则实数 a的取值范围是【答案】1,2【解析】当2x，故64x，要使得函数fx 的值域为4,，只需13log2afxx x的值域包含于4,， 故1a， 所以13log 2afx， 所以3log 24a， 解得 12a， 所以实数a取值范围是1,2（15） 【2015 年福建， 理 15，5 分】 一个二元码是由0 和 1 组成的数字串*1 2nx xxnNL，其中1,2,kxknL称为第 k 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时

12、会发生码元错误（即码元由0 变为 1，或者由 1 变为 0） ，已知某种二元码127x xxL的码元满足如下校验方程组：456723671357000 xxxxxxxxxxxx，其中运算定义为：000,011,101,110，其中运算定义为：000,011,101,110现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定 k 等于_【答案】 5 【解析】由题意得相同数字经过运算后为0，不同数字运算后为1由45670 xxxx可判断后4 个数字出 错 ； 由23670 xxxx可 判 断 后2 个 数 字 没 错 ， 即 出 错 的 是

13、第4 个 或 第5 个 ； 由13570 xxxx可判断出错的是第5 个，综上，第5 位发生码元错误三、解答题：本大题共6 题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（16） 【2015 年福建，理16，13 分】某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定， 小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1 个进行尝试若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求 X 的分

14、布列和数学期望解： （1）设 “ 当天小王的该银行卡被锁定” 的事件为A，则543( )654P A12（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又1511542(1),(2),(3)16656653P XP XP X所以 X 的分布列为X1 2 3 p161623名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 8 页 - - - - - - - - - 4所以1125()1236632E X（17）【2015 年福建，理 17， 13 分】如图，在几何体 ABCDE

15、 中， 四边形 ABCD 是矩形，AB平面 BEG ，BEEC ，2ABBEEC， G ，F分别是线段BE， DC 的中点（1）求证：/ /GF平面ADE；（2）求平面AEF与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值解：解法一：（1）如图，取AE的中点H，连接 HG ，HD，又 G 是BE中点， 所以/ /GHAB ，且12GHAB ，又F是 CD 中点，所以12DFCD ，由四边形ABCD 是矩形得，/ /ABCD ， ABCD所以/ /GHDF 且 GHDF ，从而四边形HGFD 是平行四边形，所以/ /GFDH ，又DH平面ADE， GF平面ADE，所以/ /GF平面ADE（2）如图，在平面

16、BEG 内，过点B作/ /BQEC ，因为 BECE ，所以 BQBE ，因为AB平面 BEC ， 所以ABBE，ABBQ ， 以B为原点， 分别以,BE BQ BAuu u r uuu r uu u r的方向为x轴，y轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则0,0,2 ,0,0,0 ,2,0,0 ,2,2,1ABEF，因为AB平面 BEC ，所以0,0,2BAuuu r为平面 BEC 的法向量，设( , , )nx y zr=为平面AEF的法向量，又2,0,2AEuuu r，2,2,1AFuuu r，由00n AEn AFuu u ruu u r得220220 xzxyz，取2z=得2,

17、1,2nr从而42cos,323| |n BAn BAnBAuu u ruu u ruuu r，所以平面AEF与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23解法二：（1）如图，取AB中点M，连接,MG MF，又 G 是BE的中点，可知/ /GMAE ，又AE平面,ADE GM平面ADE，所以/ /GM平面ADE在矩形 ABCD 中，由M，F分别是AB， CD 的中点得/ /MFAD ，又AD平面,ADE MF平面ADE，所以/ /MF平面ADE，又因为,GMMFM GMI平面,GMF MF平面 GMF ，所以平面/ /GMF平面ADF，因为 GF平面 GMF ，所以/ /GF平面ADE（2）同解法

18、一（18） 【2015 年福建，理18，13 分】已知椭圆E：22221(a0)xybab+=过点 (0,2） ，且离心率为22e=（1）求椭圆E的方程；（2）设直线:1lxmymR 交椭圆E于A，B两点，判断点9,04G与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由解：解法一：（1）由已知得222222bcaabc解得222abc，所以椭圆E的方程为22142xy+=（2）设点11(,)A xy，22(,)B xy，AB中点为00(,)H xy由221142xmyxy，得22(2)230mymy，所以1222+=2myym +，1223=2y ym +，从而0222ym名师资料总结 - - -

19、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页 - - - - - - - - - 5所以222222200000095525|()()(1)44216GHxymyymymy2221212(-)(-)|44xxyyAB2212(1)(-)4myy221212(1)() -44myyy y22012(1)(-)myy y故222012|525|(1)4216ABGHmymy y222253(1)25-2(2)216mmmm2217216(2)mm0所以|2ABGH，故9(4G,0) 在以A

20、B为直径的圆外解法二：（1）同解法一（2）设点11()A x y，22(,)B xy，则119(,)4GAxyuuu r，229(,)4GBxyuu u r由221142xmyxy，得22(2)230mymy，所以12222myym，12232y ym从而121299()()44GA GBxxy yuu u ruuu r121255()()44mymyy y21212525(1)()416my ym yy222253(1)2522216mmmm22172016(m2)m +=+所以 cos,0GA GBuuu r uuu r，又,GA GBu uu r uu u r不共线，所以AGB 为锐角故

21、点9(4G,0) 在以AB为直径的圆外（19） 【2015 年福建， 理 19， 13 分】已知函数fx 的图像是由函数( )cosg xx=的图像经如下变换得到：先将( )g x图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移2个单位长度（1）求函数fx 的解析式，并求其图像的对称轴方程；（ 2）已知关于x 的方程 fxg xm在 0,2内有两个不同的解，；（i）求实数 m 的取值范围；（ii）证明：22cos()15m解：解法一：（1）将( )cosg xx=的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到2cosyx=的图像，再将2cosyx 的图

22、像向右平移2个单位长度后得到2cos(-)2yx的图像，故( )2sinf xx ，从而函数( )2sinf xx 图像的对称轴方程为()2xkkZ （2） （i）( )( )2sincosf xg xxx215(sincos )55xx5sin()x（其中12sin,cos55）依题意， sin()5mx在区间 0,2 内有两个不同的解,当且仅当 | 15m，故 m 的取值范围是 (5,5) （ii ）因为,是方程5sin()xm在 0,2 内的两个不同的解，所以sin()5msin()5m，当15m时，2()2，即2() ；当511m时，32()2，即32() ，名师资料总结 - - -精

23、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - 6所以cos)cos2()(22sin ()122()15m2215m解法二：（1）同解法一（2） （i）同解法一（ii ）因为，是方程5sin()xm在区间 0,2)内的两个不同的解，所以sin()5m，sin()5m，当15m时，2()2，即2() ；当51m时，32()2，即32() ，所以cos)cos()(于是 cos()cos()()cos()cos()sin()sin()2cos ()sin(

24、)sin()221() ()55mm2215m（20） 【2015 年福建，理20，14 分】已知函数ln 1fxx ， g xkx kR （1）证明：当0 x时， fxx ；（2）证明：当1k ，使得对任意的0,xt 恒有 fxg x ；（3）确定 k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的0,xt ，恒有2|( )( )|f xg xx-，所以 |abab ，所以( )f x 的最小值为 abc，又已知( )f x 的最小值为4，所以4abc（2） 由 （1） 知4abc， 由柯西不等式得2222211()(491)(231)()164923ababccabc，即222118()497abc，当且仅当1132231bac，即8182,777abc时等号成立，故2221149abc 的最小值为87名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -