2022年高考数学一轮复习教案：第十二篇概率、随机变量及其分布第讲正态分布 .pdf

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1、第 7 讲 正态分布【20XX 年高考会这样考】利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【复习指导】掌握好正态密度曲线的特点，尤其是其中的参数 、 的含义，会由其对称性求解随机变量在特定区间上的概率基础梳理1正态曲线及性质(1)正态曲线的定义函数 ，(x)12 ex222，x(， )，其中实数 和 ( 0)为参数，我们称，(x)的图象 (如图)为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的解析式指数的自变量是x 定义域是 R，即 x(， )解析式中含有两个常数： 和 e，这是两个无理数解析式中含有两个参数： 和 ，其中 可取任意实数， 0 这是正态分布的两个特征数解析式

2、前面有一个系数为12 ，后面是一个以e 为底数的指数函数的形式，幂指数为x222. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 8 页 - - - - - - - - - 2正态分布(1)正态分布的定义及表示如果对于任何实数a，b(ab)，随机变量 X 满足 P(aXb)ba，(x)dx， 则称 X的分布为正态分布， 记作 N( ， 2)(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P( X )0.682 6；P( 2X 2) 0.954 4；P( 32)0.023，则

3、P(2X2)等于( )A0.477 B0.628 C0.954 D0.977 解析 P(2X2)12P(X2)0.954. 答案 C 5设随机变量 X 服从正态分布 N(2,9)，若 P(Xc1)P(Xc1)，则 c 等于( )A1 B2 C3 D4 解析 2，由正态分布的定义知其函数图象关于x2 对称，于是c1c122， c2. 答案 B 考向一 正态曲线的性质【例 1】?若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为14 2. (1)求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2)求正态总体在 (4,4的概率审题视点 要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个

4、参数 ，的值，其中 决定曲线的对称轴的位置， 则与曲线的形状和最大值有关解 (1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y 轴对称，即 0.由12 12 4，得 4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是，(x)14 2ex232，x(， )(2)P(4X4)P(04X04) P( X )0.682 6. 解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 8 页

5、 - - - - - - - - - 【训练 1】 设两个正态分布N(1，21)(10)和 N(2，22)(20)的密度函数图象如图所示，则有( )A12，12B12，12C12，12D12，12解析 根据正态分布 N( ，2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x对称，在 x处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A. 答案 A 考向二 服从正态分布的概率计算【例 2】?设 XN(1,22)，试求(1)P(1X3)；(2)P(3X5)；(3)P(X5)审题视点 将所求概率转化到 ( ， ( 2 ， 2 或 3 ， 3 上的概率

6、，并利用正态密度曲线的对称性求解解 XN(1,22)， 1， 2. (1)P(1X3)P(12X12) P( X )0.682 6. (2)P(3X5)P(3X1)，P(3X5)12P(3X5)P(1X3) 12P(14X14)P(12X12) 12P( 2 X 2 )P( X ) 12(0.954 40.682 6) 0.135 9. (3)P(X5)P(X3)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 8 页 - - - - - - - - - P(X5)121

7、P(3X5) 121P(14X14) 121P( 2 X 2 ) 12(10.954 4)0.022 8. 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上【训练 2】 随机变量 服从正态分布 N(1，2)，已知 P( 0)0.3，则 P( 2)_. 解析 由题意可知，正态分布的图象关于直线x1 对称，所以 P( 2)P( 0)0.3，P( 2)10.30.7. 答案 0.7 考向三 正态分布的应用【例 3】?20XX 年中国汽车销售量达到1 700 万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油

8、量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了 1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0 升，并且汽车的耗油量 服从正态分布 N(8，2)，已知耗油量 7,9的概率为 0.7，那么耗油量大于 9 升的汽车大约有 _辆审题视点 根据正态密度曲线的对称性求解解 由题意可知 N(8，2)，故正态分布曲线以 8 为对称轴，又因为 P(7 9)0.7，故P(7 9)2P(8 9)0.7， 所以 P(8 9)0.35， 而 P( 8)0.5， 所以 P( 9)0.15，故耗油量大于 9 升的汽车大约有 1 2000.15180 辆服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就

9、是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积， 根据正态密度曲线的对称性， 当 P( x1)P( x2)时必然有x1x22 ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论【训练 3】 工厂制造的某机械零件尺寸X 服从正态分布 N 4，19，问在一次正常的试验中，取 1 000 个零件时，不属于区间 (3,5这个尺寸范围的零件大约有多少个？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 8 页 - - - - - - - - - 解 XN 4，19， 4， 13. 不属于区

10、间 (3,5的概率为P(X3)P(X5)1P(3X5) 1P(41X41) 1P( 3 X 3 ) 10.997 40.002 60.003，1 0000.0033(个)，即不属于区间 (3,5这个尺寸范围的零件大约有3 个阅卷报告 19正态分布中概率计算错误【问题诊断】 正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误【防范措施】对正态分布 N( ，2)中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为2而不是 ，同时，记住正态密

11、度曲线的六条性质【示例】? 已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116，64)，则成绩在 140 分以上的考生所占的百分比为 ( )A0.3% B0.23% C1.5% D0.15% 错因 (1)不能正确得出该正态分布的两个参数 ， 导致计算无从下手 (2)对正态分布中随机变量在三个区间内取值的概率数值记忆不准，导致计算出错实录 同学甲 A 同学乙B 同学丙 C 正解 依题意， 116， 8，所以 3 92， 3 140，而服从正态分布的随机变量在( 3 ， 3 )内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间 (92,140)内的考生所占百分比约为99.7%，从而成绩在 140 分以上的考生所

12、占的百分比为199.7%20.15%.故选 D. 答案 D 【试一试】在正态分布 N 0，19中，数值落在 (， 1)(1， )内的概率为 ( )名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 8 页 - - - - - - - - - A0.097 B0.046 C0.03 D0.002 6 解析 0， 13， P(x1 或 x1)1P(1x1)1P( 3 x 3 )10.997 40.002 6. 答案 D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 8 页 - - - - - - - - -