2022年高考数学一轮复习教案：第七篇不等式第讲基本不等式 .pdf

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1、第 4 讲 基本不等式【20XX 年高考会这样考】1考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题2考查应用基本不等式解决实际问题【复习指导】1突出对基本不等式取等号的条件及运算能力的强化训练2训练过程中注意对等价转化、分类讨论及逻辑推理能力的培养基础梳理1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)；(2)baab2(a，b 同号 )；(3)aba b22(a，bR)；(4)a2b22ab22(a，bR)3算术平均数与几何平均数设 a0，b0，则 a，b 的算术平均数为ab2，几何平

2、均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最小值是2 p.(简记：积定和最小) (2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当xy 时， xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大) 一个技巧运用公式解题时， 既要掌握公式的正用， 也要注意公式的逆用，例如 a2b22ab 逆用就是aba2b22；ab2ab(a，b 0)逆用就是 abab22(a，b0)等还要注意 “添、拆项 ”技巧和公式等号成立的条件等两个变形(1)a2b22ab22ab(a，bR，当且

3、仅当a b 时取等号 )；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - (2) a2b22ab2ab21a1b(a0，b0，当且仅当ab 时取等号 )这两个不等式链用处很大，注意掌握它们三个注意(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可(2) 在 运 用 基 本 不 等 式 时 ， 要 特 别 注 意 “ 拆 ”“ 拼 ”“ 凑 ” 等 技 巧

4、 ， 使 其 满 足 基 本 不 等 式 中“正”“ 定”“ 等”的条件(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致双基自测1(人教 A 版教材习题改编)函数 yx1x(x0)的值域为 ( )A (， 22， ) B(0， ) C 2， ) D(2， ) 解析x0， yx1x2，当且仅当x1 时取等号答案C 2下列不等式：a212a；abab2； x21x211，其中正确的个数是( )A 0 B 1 C2 D3 解析不正确，正确，x21x21(x21)1x211211. 答案B 3若 a 0，b0，且 a2b20，则 ab 的最大值为 ( )A.12B1 C

5、2 D4 解析a0，b0， a2b 2，a 2b2 2 2ab，即 ab12. 答案A 4(2011 重庆 )若函数 f(x) x1x2(x2)在 xa 处取最小值，则a( )A 12 B13 C 3 D 4 解析当 x 2 时， x 20，f(x)(x2)1x222 x2 1x 224，当且仅当x21x2(x2)，即 x3 时取等号，即当f(x)取得最小值时，x3，即 a3. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 答

6、案C 5已知 t0，则函数yt24t1t的最小值为 _解析t0， yt24t1tt1t424 2，当且仅当t1 时取等号答案2 考向一利用基本不等式求最值【例 1】?(1)已知 x0，y0，且 2xy 1，则1x1y的最小值为 _；(2)当 x0 时，则 f(x)2xx21的最大值为 _审题视点 第(1)问把1x1y中的 “ 1” 代换为 “2xy”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“ x” ，再利用基本不等式解析(1)x0，y0，且 2xy1，1x1y2xyx2xyy3yx2xy322. 当且仅当yx2xy时，取等号(2)x0，f(x)2xx2 12x1x221，当且仅

7、当x1x，即 x1 时取等号答案(1)3 2 2 (2)1 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小” 常用的方法为：拆、凑、代换、平方【训练 1】 (1)已知 x1，则 f(x)x1x1的最小值为 _(2)已知 0 x25，则 y2x5x2的最大值为 _(3)若 x，y(0， )且 2x8yxy0，则 xy 的最小值为 _解析(1)x1， f(x)(x1)1x11 213 当且仅当x2 时取等号(2)y2x5x2x(25x)15 5x (25x)，0 x25， 5x2,25x0，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -

8、- - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 5x(25x)5x25x221，y15，当且仅当5x25x，即 x15时， ymax15. (3)由 2x8yxy0，得 2x8y xy，2y8x1，xy(xy)8x2y108yx2xy1024yxxy 10224yxxy18，当且仅当4yxxy，即 x2y 时取等号，又 2x8yxy0， x12， y6，当 x12，y6 时， xy 取最小值 18. 答案(1)3 (2)15(3)18 考向二利用基本不等式证明不等式【例 2】?已知 a0， b0，c 0，

9、求证：bcacababc abc. 审题视点 先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到证明a0，b0， c0，bcacab2 bcacab2c；bcaabc2 bcaabc2b；cababc2 cababc2a. 以上三式相加得：2bcacababc2(abc)，即bcacababcabc. 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 2】 已知 a0，b0，c0，且 abc1. 求证：1a1b1c9. 证明a0，b0， c0，且 abc1，名师资料总结 - -

10、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - - 1a1b1cabcaab cbabcc3bacaabcbacbc3baabcaaccbbc3 2229，当且仅当abc13时，取等号考向三利用基本不等式解决恒成立问题【例 3】?(2010 山东 )若对任意x0，xx23x1 a 恒成立，则a 的取值范围是 _审题视点 先求xx23x1(x0)的最大值， 要使得xx23x1a(x0)恒成立， 只要xx23x1(x0)的最大值小于等于a 即可解析若对任意

11、 x0，xx23x1a 恒成立，只需求得yxx23x1的最大值即可，因为x0，所以 yxx23x11x1x312 x1x15，当且仅当x1 时取等号，所以a 的取值范围是15， 答案15，当不等式一边的函数(或代数式 )的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解【训练 3】(2011 宿州模拟 )已知 x0， y0， xyx2y， 若 xym2恒成立，则实数 m的最大值是 _解析由 x0，y0，xyx 2y2 2xy，得 xy8，于是由 m2xy 恒成立，得 m 28，m10，故m 的最大值为10. 答案10 考向三利用基本不等式解实际问题【例 3】

12、?某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度 x 不得超过5 m房屋正面的造价为400 元/m2，房屋侧面的造价为150 元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？审题视点 用长度 x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可还应注意定义域0 x5；函数取最小值时的 x 是否在定义域内，若不在定义域内，不能用基本不等式求最值，可以考虑单调性解 由题意可得，造价y3(2x15012x400)5 800900 x16x5 800(0 x5)，则 y900 x16x5 80

13、09002x16x5 80013 000(元 )，当且仅当x16x，即 x 4 时取等号名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 故当侧面的长度为4 米时，总造价最低解实际应用题要注意以下几点：(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值；(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解【训练 3】 (20

14、11 广东六校第二次联考)东海水晶制品厂去年的年产量为10 万件，每件水晶产品的销售价格为 100 元，固定成本为80 元从今年起，工厂投入100 万元科技成本并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本预计产量每年递增1 万件，每件水晶产品的固定成本g(n)与科技成本的投入次数n的关系是g(n)80n1.若水晶产品的销售价格不变，第n 次投入后的年利润为f(n)万元(1)求出 f(n)的表达式；(2)求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？解 (1)第 n 次投入后， 产量为 (10 n)万件，销售价格为100 元，固定成本为80n1元，科技成本投入为100n万元所以，年利润为

15、f(n)(10n) 10080n1 100n(nN*)(2)由(1)知 f(n)(10n)10080n1 100n1 000 80n19n1520(万元 )当且仅当n19n1，即 n8 时，利润最高，最高利润为520 万元所以，从今年算起第8年利润最高，最高利润为520万元阅卷报告8忽视基本不等式成立的条件致误【问题诊断】利用基本不等式求最值是高考的重点，其中使用的条件是“一正、二定、三相等”，在使用时一定要注意这个条件，而有的考生对基本不等式的使用条件理解不透彻，使用时出现多次使用不等式时等号成立的条件相矛盾.,【防范措施】尽量不要连续两次以上使用基本不等式，若使用两次时应保证两次等号成立的

16、条件同时相等. 【示例 】?已知 a0，b0，且 ab1，求1a2b的最小值错因两次基本不等式成立的条件不一致实录a0，b0，且 ab1，abab2214. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 又1a2b2 2ab，而 ab14，1ab4，1a2b2842，故1a2b的最小值为4 2. 正解a0，b0，且 ab1，1a2b1a2b(a b)12ba2ab32 ba2ab3 2 2. 当且仅当a b1，ba2ab，即a21，b22时，1a2b的最小值为32 2. 【试一试】(2010 四川 )设 ab 0，则 a21ab1a ab的最小值是 ( )A 1 B 2 C3 D4 尝试解答 a21ab1a aba2abab1ab1a aba(ab)1a abab1ab2 a ab 1a ab2 ab1ab2 24. 当且仅当a(ab)1a ab且 ab1ab，即 a2b 时，等号成立答案D 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -