2022年高考数学二轮复习第一部分专题篇专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第六讲导数应用课 .pdf

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1、1 2017届高考数学二轮复习第一部分专题篇专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第六讲 导数应用 ( 二)课时作业理1已知函数f(x) 12x22aln x(a2)x，aR. (1) 当a1 时，求函数f(x) 的图象在点 (1 ，f(1) 处的切线方程(2) 是否存在实数a，对任意的x1，x2(0，) 且x1x2有fx2fx1x2x1a恒成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由解析： (1) 函数f(x) 12x22aln x(a2)x，f(x) x2ax(a2) xxax(x0) 当a1 时，f(x) xxx，f(1) 2，则所求的切线方程为yf(1) 2(x1) ，即

2、 4x2y30. (2) 假设存在这样的实数a满足条件，不妨设0 x1a知f(x2) ax2f(x1) ax1成立，令g(x) f(x) ax12x22aln x2x，则函数g(x) 在(0 ， ) 上单调递增，则g(x)x2ax20，即 2ax22x(x1)21 在(0 ， ) 上恒成立，则a12. 故存在这样的实数a满足题意，其取值范围为，12. 2已知函数f(x) xln x(x1)(axa1)(aR)(1) 若a0，判断函数f(x) 的单调性；(2) 若x1时，f(x)0 恒成立，求a的取值范围解析： (1) 若a0，f(x) xln xx1，f(x) ln x. 当x(0,1) 时，

3、f(x)0，f(x) 为增函数(2) 由题意知f(x) xln x(x1)(axa1)0 在x(1 ， ) 上恒成立，f(x) 为(1，) 上的增函数，f(x)f(1) 0，即f(x)1，只需fxxln xxaxax0在(1 ， ) 上恒成立记h(x) ln xxaxax，x(1， ) ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - 2 则h(x)ax2xa1x2xaxax2，x(1 ， ) 由h(x)0，得x11，x21aa

4、. 若a0，则x21aa0 在(1 ，) 上恒成立，故h(x) 为增函数，h(x)h(1) 0，不合题意若 0a0，h(x) 为增函数，h(x)h(1) 0，不合题意，若a12，x(1 ，) 时，h(x)0 ，h(x) 为减函数，h(x)1 时，f(x)0 恒成立，则a12. 3( 2016长沙一模 ) 某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快，欲将这种食品价格控制在适当范围内， 决定对这种食品生产厂家提供政府补贴，设这种食品的市场价格为x元/ 千克，政府补贴为t元/ 千克，根据市场调查，当16x24 时，这种食品市场日供应量p万千克与市场日需求量q万千克近似地满足关系：p2(x4t14)(x16

5、，t0)，q248ln 20 x(16x24)当pq时的市场价格称为市场平衡价格(1) 将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出函数的值域(2) 为使市场平衡价格不高于每千克20 元，政府补贴至少为每千克多少元？解析： (1) 由pq得2(x4t14) 248ln 20 x(16x24，t0)t13214xln 20 x(16x24)t141x0，t是x的减函数tmin1321424ln 202412ln 202412ln 56；tmax1321416ln 201652ln 54，值域为12ln 56，52ln 54. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -

6、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3 (2) 由(1) 知t13214xln 20 x(16x24)而x20 时，t1321420ln 20201.5( 元/ 千克 ) ，t是x的减函数，欲使x20，必须t1.5( 元 / 千克 )，要使市场平衡价格不高于每千克20 元，政府补贴至少为1.5 元/ 千克4(2016唐山模拟) 已知函数f(x) ln xaxxaex1axx0) (1) 若a1，证明：yf(x) 在 R上单调递减；(2) 当a1时，讨论f(x) 零点的个数解析： (1)

7、证明：当x1 时，f(x) 1x10，f(x) 在1 ， ) 上单调递减，f(x) f(1)0；当x1 时，f(x) ex 110. 所以yf(x) 在 R上单调递减(2) 若xa，则f(x) 1xa1aa1) ，所以此时f(x) 单调递减，令g(a) f(a) ln aa21，则g(a)1a2a0，所以f(a) g(a)g(1) 0，即f(x) f(a)0 ，故f(x) 在a，) 上无零点当x2 时，f(x)0，f(x) 单调递增，又f(0) e10，f12a0，所以此时f(x) 在12a，0 上有一个零点当a2时，f(x)ex 1，此时f(x) 在( ， 2) 上没有零点当 1a2 时，令

8、f(x0) 0，解得x0ln(2 a) 110 ，所以此时f(x) 没有零点综上，当12 时，f(x) 有一个零点5(2016张掖模拟) 设函数f(x) ln xax(aR)(e 2.718 28 是自然对数的底数) (1) 判断f(x) 的单调性；(2) 当f(x)0 在(0 ，) 上恒成立时，求a的取值范围；(3) 证明：当x(0，) 时，x1ex(1x)1x0，此时f(x) 在(0，) 上是增函数，当a0 时，x 0，1a时，f(x)0 ，此时f(x) 在 0，1a上是增函数，x1a，时，f(x)0 时，f(x) 在 0，1a上是增函数，在1a，上是减函数(2)f(x)ln xx在(0

9、， ) 上恒成立，设g(x) ln xx，则g(x) 1ln xx2，当x(0 ，e) 时，g(x)0，g(x) 为增函数， 当x(e，) 时，g(x)0 ，g(x) 为减函数，故当xe时，g(x)取得最大值1e，所以a的取值范围是1e，. (3) 证明：要证当x(0 ，) 时，x1ex(1 x)1xe，设t1x，t(1 ， ) ，只要证t11+1tet，两边取以e为底数的对数，即ln tt1. 由(1) 知当a1 时，f(x) ln xx的最大值为 1，此时x1，所以当t(1 ， ) 时，ln tt1，即得 ln tt1，所以原不等式成立6(2016河南八市联考) 已知函数f(x) ( x2

10、x1)ex，其中 e 是自然对数的底数(1) 求曲线f(x) 在点(1 ，f(1) 处的切线；(2) 若方程f(x) 13x312x2m有 3 个不同的根，求实数m的取值范围解析： (1) 因为f(x)( x2x1)ex，所以f(x) ( 2x1)ex( x2x1)ex( x2x)ex. 所以曲线f(x) 在点 (1，f(1) 处的切线斜率为kf(1) 2e. 又f(1) e，所以所求切线方程为ye2e(x1)，即 2exye0. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4

11、页，共 5 页 - - - - - - - - - 5 (2) 因为f(x) ( 2x1)ex( x2x1)ex( x2x)ex，当x0 时，f(x)0；当 1x0 ，所以f(x)( x2x1)ex在( ，1) 上单调递减， 在( 1,0) 上单调递增， 在(0 ，)上单调递减，所以f(x)在x 1处取得极小值f( 1)3e，在x0 处取得极大值f(0) 1. 令g(x) 13x312x2m，得g(x) x2x. 当x0 时，g(x)0；当 1x0 时，g(x)0 ，所以g(x)在( ， 1) 上单调递增，在( 1,0) 上单调递减，在(0， ) 上单调递增故g(x) 在x 1 处取得极大值g( 1)16m，在x0 处取得极小值g(0) m. 因为方程f(x) 13x312x2m有 3 个不同的根，即函数f(x) 与g(x)的图象有 3 个不同的交点，所以fgfg，即3em. 所以3e16m1. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -