2022年高考数学一轮复习教案：第四篇三角函数、解三角形第讲任意角、弧度制及任意角的三角函数 .pdf

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1、第 1 讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数【20XX 年高考会这样考】1考查三角函数的定义及应用2考查三角函数值符号的确定【复习指导】从近几年的高考试题看，这部分的高考试题大多为教材例题或习题的变形与创新，因此学习中要立足基础，抓好对部分概念的理解基础梳理1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角(2)终边相同的角终边与角 相同的角可写成 k 360 (k Z)(3)弧度制1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，| |lr，l 是以角 作为圆心角时所对圆弧

2、的长，r 为半径用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值lr与所取的 r 的大小无关，仅与角的大小有关弧度与角度的换算：360 2弧度； 180 弧度弧长公式：l| |r，扇形面积公式：S扇形12lr12| |r2. 2任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r0)，那么角 的正弦、余弦、正切分别是：sin yr， cos xr，tan yx，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数3三角函数线设角 的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P，过 P 作 PM 垂直于 x 轴于 M，则点 M 是点 P 在 x 轴

3、上的正射影 由三角函数的定义知，点 P 的坐标为 (cos_ ，sin_ )，即 P(cos_ ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - sin_ )，其中 cos OM，sin MP，单位圆与x 轴的正半轴交于点A，单位圆在A 点的切线与的终边或其反向延长线相交于点T，则 tan AT.我们把有向线段OM、MP、AT 叫做 的余弦线、正弦线、正切线三角函数线有向线段 MP 为正弦线有向线段 OM 为余弦线有向线段 A

4、T为正切线一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(2)终边落在x 轴上的角的集合 | k ，k Z；终边落在 y 轴上的角的集合|2k ，k Z ；终边落在坐标轴上的角的集合可以表示为 k2，k Z. 两个技巧(1)在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点，|OP|r 一定是正值(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧三个注意(1)注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90 的角是概念不同的三类角，第一类是象限角，第二类、第三类是区间角(2)角度制与弧度制可利用180 rad 进行互化，在同一个

5、式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用(3)注意熟记0 360 间特殊角的弧度表示，以方便解题双基自测1(人教 A 版教材习题改编)下列与94的终边相同的角的表达式中正确的是( )A 2k 45 (kZ) B k 360 94( kZ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - C k 360 315 (kZ) Dk 54(kZ) 解析与94的终边相同的角可以写成2k 94( k Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以

6、只有答案C 正确答案C 2若 k 180 45 (kZ)，则 在( )A第一或第三象限B第一或第二象限C第二或第四象限D第三或第四象限解析当 k2m1(m Z)时， 2m 180 225 m 360 225 ，故 为第三象限角；当 k2m(m Z)时， m 360 45 ，故 为第一象限角答案A 3若 sin 0 且 tan 0，则 是( )A第一象限角B第二象限角C第三象限角D第四象限角解析由 sin 0 知 是第三、四象限或y 轴非正半轴上的角，由tan 0 知 是第一、三象限角是第三象限角答案C 4已知角 的终边过点 (1,2)，则 cos 的值为 ( )A55B.2 55C255D12

7、解析由三角函数的定义可知，r5，cos 1555. 答案A 5(2011 江西 )已知角 的顶点为坐标原点，始边为x 轴非负半轴，若P(4，y)是角 终边上一点，且sin 2 55，则 y_. 解析根据正弦值为负数且不为1，判断角在第三、 四象限， 再加上横坐标为正，断定该角为第四象限角， y0，sin y16 y2255? y 8. 答案8 考向一角的集合表示及象限角的判定【例 1】?(1)写出终边在直线y3x 上的角的集合；(2)若角 的终边与67角的终边相同，求在0,2 )内终边与3角的终边相同的角；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - -

8、 - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - (3)已知角 是第二象限角，试确定2 、2所在的象限审题视点 利用终边相同的角进行表示及判断解 (1)在(0，)内终边在直线y3x 上的角是3，终边在直线y3x 上的角的集合为 3k ，kZ. (2) 672k( kZ)，3272k3(kZ)依题意 0272k32 ? 37k187，kZ. k0,1,2，即在 0,2 )内终边与3相同的角为27，2021，3421. (3)是第二象限角，k 360 90 k 360 180 ，kZ. 2k 360 180 2 2k

9、360 360 ，kZ. 2是第三、第四象限角或角的终边在y 轴非正半轴上k 180 45 2 k 180 90 ，kZ，当 k2m(m Z)时， m 360 45 2m 360 90 ；当 k2m1(mZ)时，m 360 225 2m 360 270 ；2为第一或第三象限角(1)相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差 360 的整数倍(2) 角 的 集 合 的 表 示 形 式 不 是 唯 一 的 ， 如 ： 终 边 在y轴 非 正 半 轴 上 的 角 的 集 合 可 以 表 示 为x x2k 2，k Z ，也可以表示为x x2k 32，k Z.

10、【训练 1】 角 与角 的终边互为反向延长线，则( )A B 180 C k 360 (kZ) D k 360 180 (kZ) 解析对于角 与角 的终边互为反向延长线，则 k 360 180 (k Z)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - k 360 180 (k Z)答案D 考向二三角函数的定义【例 2】?已知角 的终边经过点P(3，m)(m 0)且 sin 24m，试判断角所在的象限，并求cos 和 tan 的

11、值审题视点 根据三角函数定义求m，再求 cos 和 tan . 解 由题意得， r3m2，m3m224m， m0，m 5，故角 是第二或第三象限角当 m5时， r22，点 P 的坐标为 (3，5)，角 是第二象限角，cos xr32264，tan yx53153. 当 m5时， r 2 2，点 P 的坐标为 (3，5)，角 是第三象限角cos xr32264，tanyx53153. 任意角的三角函数值仅与角的终边位置有关，而与角终边上点 P 的位置无关若角已经给出，则无论点P 选择在 终边上的什么位置，角的三角函数值都是确定的【训练 2】 (2011 课标全国 )已知角 的顶点与原点重合，始边

12、与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y2x上，则 cos 2 ( )A45B35C.35D.45解析取终边上一点 (a,2a)，a0，根据任意角的三角函数定义，可得cos 55，故 cos 2 2cos2 135. 答案B 考向三弧度制的应用【例 3】?已知半径为10 的圆 O 中，弦 AB 的长为 10. (1)求弦 AB 所对的圆心角的大小；(2)求 所在的扇形的弧长l 及弧所在的弓形的面积S. 审题视点 (1)由已知条件可得 AOB 是等边三角形，可得圆心角的值；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理

13、- - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - (2)利用弧长公式可求得弧长，再利用扇形面积公式可得扇形面积，从而可求弓形的面积解 (1)由 O 的半径 r10AB，知 AOB 是等边三角形， AOB60 3. (2)由(1)可知 3， r10，弧长 l r310103，S扇形12lr1210310503，而 SAOB12 AB1032121010325032，S S扇形SAOB 50332. 弧度制下的扇形的弧长与面积公式，比角度制下的扇形的弧长与面积公式要简洁得多，用起来也方便得多因此，我们要熟练地掌握弧度制下扇形的弧长与面积公式【训练 3】 已知

14、扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解 设圆心角是 ，半径是 r，则 2rr 40，S12lr12r(40 2r)r(20r)2022100. 当且仅当r20r，即 r 10 时， Smax100. 当 r10， 2 时，扇形面积最大，即半径为10，圆心角为2 弧度时，扇形面积最大考向四三角函数线及其应用【例 4】?在单位圆中画出适合下列条件的角的终边的范围并由此写出角的集合：(1)sin 32； (2)cos 12. 审题视点 作出满足 sin 32，cos 12的角的终边，然后根据已知条件确定角终边的范围解(1)作直线 y32交单位圆于A、B 两点，连接OA、OB

15、，则 OA 与 OB 围成的区域 (图中阴影部分 )即为角 的终边的范围，故满足条件的角的集合为 2k 3 2k 23 ，kZ. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - (2)作直线 x12交单位圆于C、D 两点，连接OC、OD，则 OC 与 OD 围成的区域 (图中阴影部分 )即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为 2k 23 2k 43 ，kZ . 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是：(1)用边界值定出角的

16、终边位置；(2)根据不等式 (组)定出角的范围；(3)求交集，找单位圆中公共的部分；(4)写出角的表达式【训练 4】 求下列函数的定义域：(1)y2cos x 1；(2)ylg(34sin2x)解 (1)2cos x10， cos x12. 由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)定义域为2k 3，2k 3(kZ)(2)34sin2x0，sin2x34，32sin x32. 利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -

17、 - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 定义域为k 3，k 3(kZ)名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - - 规范解答 7 如何利用三角函数的定义求三角函数值【问题研究】三角函数的定义：设是任意角，其终边上任一点P(不与原点重合 )的坐标为 (x， y)，它到原点的距离是r(rx2y2 0)，则 sin yr、cos xr、tan yx分别是 的正弦、余弦、正切，它们都是以角为自变量

18、，以比值为函数值的函数，这样的函数称为三角函数，这里x，y 的符号由终边所在象限确定， r 的符号始终为正，应用定义法解题时，要注意符号，防止出现错误三角函数的定义在解决问题中应用广泛，并且有时可以简化解题过程【解决方案】利用三角函数的定义求三角函数值时，首先要根据定义正确地求得x，y，r 的值；然后对于含参数问题要注意分类讨论【示例 】 ?(本题满分12 分)(2011 龙岩月考 )已知角 终边经过点P(x，2)(x 0)， 且 cos 36x，求 sin 、tan 的值只要确定了r 的值即可确定角经过的点 P 的坐标，即确定角所在的象限，并可以根据三角函数的定义求出所要求的值解答示范 P(

19、x，2)(x0)，P 到原点的距离rx22，(2 分 ) 又 cos 36x，cos xx2236x，x0， x 10， r23.(6 分) 当 x10时， P 点坐标为 (10，2)，由三角函数定义，有sin 66，tan 55；(9 分) 当 x10时， P 点坐标为 (10，2)，sin 66，tan 55.(12 分) 当角的终边经过的点不固定时，需要进行分类讨论，特别是当角的终边在过坐标原点的一条直线上时，在根据三角函数定义求解三角函数值时，就要把这条直线看做两条射线，分别求解，实际上这时求的是两个角的三角函数值，这两个角相差2k ( k Z)，当求出了一种情况后也可以根据诱导公式求

20、另名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 一种情况【试一试】已知角 的终边在直线3x4y0 上，求 sin cos 45tan . 尝试解答 取直线 3x 4y0 上的点 P1(4， 3)，则 |OP1|5，则 sin 35，cos 45，tan 34，故 sin cos 45tan 354545 3425；取直线 3x4y0 上的点 P2(4,3)，则 sin 35，cos 45，tan 34. 故 sin cos 45tan 354545 3445. 综上， sin cos 45tan 的值为25或45. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -