2022年高三数学二轮复习专题辅导数学方法之特殊解法 .pdf
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1、【专题五】数学方法之特殊解法【考情分析】近年高考题尽量减少繁烦的运算,着力考查学生的逻辑思维与直觉思维能力,以及观察、分析、比较、简捷的运算方法和推理技巧,突出了对学生数学素质的考查。试题运算量不大,以认识型和思维型的题目为主,许多题目既可用通性、通法直接求解,也可用“特殊”方法求解。其中,配方法、待定系数法、换元法、参数法是几种常用的数学解题方法。这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它们不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法,事半功倍是它们共同的效果。纵观近几年高考命题的趋势,在题目上还是很注意特殊解法应用,应为他起到避繁就简、避免分类讨论、避免转化等作用。预测
2、2013 年的高考命题趋势为:(1)部分涉及函数性质、三角函数变形及求值、方程不等式的参数最值、解析几何求值等知识点的题目会用到这几种特殊解法;(2)这些解题方法都对应更一般的解法,它们的规律不太容易把握,但它们在实际的考试中会节省大量的时间,为后面的题目奠定基础;【知识归纳】1换元法解数学题时,把某个式子看成一个整体,用一个变量去代替它,从而使问题得到简化,这叫换元法。换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量,可以
3、把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式,把复杂的计算和推证简化。它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式,在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 11 页换元的方法有:局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元,是在已知或者未知中,某个代数式几次出现,而用一个字母来代替它从而简化问题,当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式: 422 0,先变形为设 2t(t0 ) ,而变为熟悉的一元
4、二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元,应用于去根号,或者变换为三角形式易求时,主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数yx1x的值域时,易发现x0,1 ,设xsin , 0,2 ,问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设,其中主要应该是发现值域的联系,又有去根号的需要。如变量x、y适合条件xyr (r0)时,则可作三角代换xrcos 、yrsin 化为三角问题。均值换元,如遇到xyS形式时,设xS2t ,yS2t 等等。我们使用换元法时,要遵循有利于运算、有利于标准化的原则,换元后要注重新变量范围的选取,一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围,不能缩小也不能
5、扩大。如上几例中的t0 和 0,2 。2待定系数法要确定变量间的函数关系,设出某些未知系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理论依据是多项式恒等,也就是利用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a 值,都有f(a)g(a);或者两个多项式各同类项的系数对应相等。待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求
6、和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求解。使用待定系数法,它解题的基本步骤是:第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。3参数法参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。换元法也
7、是引入参数的典型例子。辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问题。4配方(凑)法(1)配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“ 完全平方 ” )的技巧,通过配方找到已知和未知的联系,从而化繁为简。 何时配方, 需要我们适当预测,并且合理运用 “
8、裂项 ” 与 “ 添项” 、 “ 配” 与“ 凑 ” 的技巧,从而完成配方。有时也将其称为“ 凑配法 ” 。最常见的配方是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解等问题。(2)配凑法:从整体考察,通过恰当的配凑,使问题明了化、简单化从而达到比较容易解决问题的方法。常见的配凑方法有:裂项法,错位相减法,常量代换法等。【考点例析】1配方(凑)法典例解析例 1(1)(2012 高考重庆) 设tan,tan是方程2320 xx的两个根, 则tan()的值为()(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 【答案】 A;【
9、解析】因为tan,tan是方程2320 xx的两个根,所以3tantan,2tantan,所以3213tantan1tantan)tan(,选 A. ( 2)已知长方体的全面积为11,其 12 条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为()(A)32(B)14(C)5 (D)6 分析:设长方体三条棱长分别为x、y、z,则依条件得:2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24。而欲求的对角线长为222zyx,因此需将对称式222zyx写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的 组 合 形 式 , 完 成 这 种 组 合 的 常 用 手 段 是 配 方 法 , 故)(2)(222
10、2xzyzxyzyxzyx=6211=25。5222zyx,应选 C。点评:本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式,观察和分析三个数学式,容易发现使用配方法将三个数学式进行联系,即联系了已知和未知,从而求解。这也是我们使用配方法的一种解题模式。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页例2 ( 1)设F1和F2为双曲线1422yx的两个焦点,点P 在双曲线上且满足F1PF2=90 ,则 F1PF2的面积是()(A)1 (B)25(C)2 (D)5分析:欲求|212121PFPFSFPF(1),而由已知能
11、得到什么呢?由 F1PF2=90 ,得20|2221PFPF(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4 (3),那么 (2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联 系 呢 ? 我 们 发 现 将 (3) 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即16|2|212221221PFPFPFPFPFPF,故2421)16|(|21|222121PFPFPFPF1|212121PFPFSFPF,选 (A)。点评:配方法实现了“ 平方和 ” 与“ 和的平方 ” 的相互转化。(2)设方程x2kx 2=0 的两实根为p、q,若 (pq)2+(qp)27成立,
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