2022年高三数学教案：导数的概念及应用 .pdf

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1、课时考点2 导数的概念及应用高考考纲透析： 理科(1)了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。(2)熟记基本导数公式；掌握两个函数和、 差、积、商的求导法则 .了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。(3)理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 (导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。文科(1)了解导数概念的某些实际背景。(2)理解导数的几何意义。(3)掌握函数， y=c(c 为常数 )、y=xn(n N+)的

2、导数公式，会求多项式函数的导数。(4)理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念 .并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。 (5)会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值。高考风向标：导数的概念及运算，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值，尤其是利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。高考试题选：)(xf是函数)(xf的导函数，)(xfy的图象如下图，则)(xfy的图象最有可能的是2. 设曲线xeyx(0 在点 Mt,e-t处的切线l与 x 轴 y 轴所围成的三角形面积为S t . 求切线l的方程；求S t 的最大值 .3. 已知 a

3、 为实数，)(4()(2axxxf， 求导数)(xf；假设0) 1(f，求)(xf在-2，2 上的最大值和最小值；假设)(xf在， 2和 2 ，+ 上都是递增的，求a 的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页热点题型1:函数的最值已知函数f(x)= x3 3x29xa, I求 f(x)的单调递减区间； II假设 f(x)在区间 2，2上的最大值为20，求它在该区间上的最小值解： I f (x) 3x2 6x9令 f (x)0，解得 x3，所以函数f(x)的单调递减区间为，1 ， 3，II因为 f(2)812

4、18a=2a，f(2) 81218a22a，所以 f(2)f(2)因为在 1，3上 f (x)0，所以 f(x)在1, 2上单调递增，又由于 f(x)在2，1上单调递减， 因此 f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间 2，2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a 2故 f(x)=x33x29x2，因此 f(1) 1392 7，即函数 f(x)在区间 2， 2上的最小值为7变式新题型1：已知2, 1,6)(3xbaxaxxf的最大值为3，最小值为29，求ba,的值。解题分析： 对a的符号进行分类讨论，比较区间端点函数值及极值点的大小。热点题型2:函数的极值已知函数xbxaxxf3)(2

5、3在1x处取得极值 . 1讨论)1(f和)1(f是函数)(xf的极大值还是极小值；2过点)16,0(A作曲线)(xfy的切线，求此切线方程. 1解：323)(2bxaxxf，依题意，0)1()1(ff，即. 0323, 0323baba解得0,1ba. )1)(1(333)(,3)(23xxxxfxxxf. 令0)(xf，得1, 1xx. 假设), 1()1,(x，则0)(xf，故)(xf在) 1,(上是增函数，)(xf在),1 (上是增函数 . 假设) 1, 1(x，则0)(xf，故)(xf在)1,1(上是减函数 . 所以，2)1(f是极大值；2)1(f是极小值 . 2解：曲线方程为xxy3

6、3，点)16,0(A不在曲线上 . 设切点为),(00yxM，则点 M 的坐标满足03003xxy. 因)1(3)(200 xxf，故切线的方程为)(1(30200 xxxyy注意到点 A0，16在切线上，有)0)(1(3)3(16020030 xxxx化简得830 x，解得20 x. 所以，切点为)2,2(M，切线方程为0169yx. 变式新题型2：已知cbxaxxxf23)(和23)(2xxxg假设)(xfy在点1x处有极值，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页且曲线)(xfy和)(xgy在交点0,2 处有公切线。

7、 1 求cba,的值， 2 求)(xfy在 R 上的极大值和极小值。解题分析： 关健点是：曲线)(xfy和)(xgy在交点 0,2处有公切线构造两个方程。热点题型3:函数的单调性(理科 )已知函数bxaxxf26)(的图象在点M 1，f(x)处的切线方程为x+2y+5=0. 求函数y=f(x)的解析式；求函数y=f(x)的单调区间 . 简明答案：362)(2xxxf；)(xf在)323 ,(和),323(上是减函数，在)323,323(上是增函数。文科 已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P 0，2 ，且在点 M 1，f1 处的切线方程为076yx. 求函数)(xfy的解析式； 求函数)

8、(xfy的单调区间 . 简解： 233)(23xxxxf，233)(23xxxxf在)21 ,(和),21 (上是增函数，在)21 ,21 (上是减函数。变式新题型3：已知函数cbxaxxf24)(的图象经过点 0,1 ，且在1x处的切线方程是2xy，1求)(xfy的解析式；2求)(xfy的单调递增区间。解题分析： 关健点是：在1x处的切线方程是2xy构造两个方程。热点题型4:分类讨论在导数中应用已知Ra，函数|)(2axxxf。1当2a时，求使xxf)(成立的x的集合；2求函数)(xfy在区间2, 1上的最小值。解： 1由题意，|2|)(2xxxf当2x时，xxxxf)2()(2，解得0 x

9、或1x；当2x时，xxxxf)2()(2，解得21x综上，所求解集为21 ,1 ,0；2设此最小值为m当1a时，在区间2,1 上，23)(axxxf因为)2, 1(,032323)(2xaxxaxxxf则)(xf是区间2, 1上的增函数，所以afm1)1(；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页当21a时，在区间2, 1上，0|)(2axxxf，则0)(af知0)(afm；当2a时，在区间2, 1上，32)(xaxxf，xaxxaxxf32332)(2假设3a，在区间)2 , 1(内0)(xf，从而)(xf为区间2, 1

10、上的增函数，由此得：1)1 (afm；假设32a，则2321a当ax321时，0)(xf，从而)(xf为区间a32, 1上的增函数；当232xa时，0)(xf，从而)(xf为区间2,32a上的减函数因此，当32a时，1)1(afm或)2(4)2(afm；当372a时，1)2(4aa，故)2(4 am当337a时，)2(41aa，故1am综上所述，所求函数的最小值时当时当时当时当37, 1372),2(421,01,1aaaaaaam变式新题型4：已知Ra，求函数axexxf2)(的单调区间。备选题：已知 a 0，函数 f (x) = x3a，x0， +)设 x1 0，记曲线y = f (x)在点 M (x1，f (x1)处的切线为 l 求l 的方程；设l 与 x 轴交点为 x2，0 证明： x231a； 假设x131a，则31a x2 31a ，则03,021311231xaxxxax，且由 x2 31a ，所以31a x2 x1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页