2022年高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题--直线与圆的方程注高三数学第二轮专题复习必备精 .pdf

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1、学习必备欢迎下载高三数学第二轮专题复习系列(7) 直线与圆的方程注： 【高三数学第二轮专题复习必备精品系列教案习题共 10 讲 全部免费欢迎下载】一、重点知识结构本章以直线和圆为载体，揭示了解析几何的基本概念和方法。直线的倾斜角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章的重点之一，而点斜式又是其它形式的基础；两条直线平行和垂直的充要条件、直线 l1到 l2的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是重点内容；用不等式（组）表示平面区域和线性规划作为新增内容，需要引起一定的注意；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，是解决解析几何两个基本问题的依据；圆的方程、直线（圆）与圆的位置关系、圆的切

2、线问题和弦长问题等，因其易与平面几何知识结合，题目解法灵活，因而是一个不可忽视的要点。二、高考要求1、掌握两条直线平行和垂直的条件，掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系；3、会用二元一次不等式表示平面区域；4、了解简单的线性规划问题，了解线性规划的意义，并会简单的应用；5、了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题的方法；6、掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程的概念。三、热点分析在近几年的高考试题中，两点间的距离公式，中点坐标公式，直线方程的点斜式、斜率公式及两条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透，

3、综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高考命题的大热门，应当引起特别注意，本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容，在高考中极有可能涉及，但难度不会大。四、复习建议本章的复习首先要注重基础，对基本知识、基本题型要掌握好；求直线的方程主要用待定系数法，复习时应注意直线方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系时，应特别注意斜率存在和不存在的两种情形；曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想，随着高考对知识形成过程的考查逐步加强，对坐标法的要求也进一步加强，因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基本步骤，又能根据方程讨论曲线的性质；圆的方程、直线与圆的位置关系，圆的切线问题与弦长问题都是高

4、考中的热点问题；求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，应熟练掌握，还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算。直线【例题】【例 1】已知点 B （1， 4） ，C （16， 2） ， 点 A 在直线 x3y 3 = 0 上，并且使ABC的面积等于21，求点 A 的坐标。解：直线BC 方程为 2x5y 22 = 0,|BC| = 29 ，设点 A 坐标 (3y3,y)，则可求A 到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载BC 的距离为29|2811|y，ABC 面积为 21，2129|28

5、11|2921y，11141170或y，故点 A 坐标为（1170,11177）或（1114,1175）. 【例 2】已知直线 l 的方程为3x+4y12=0, 求直线 l的方程 , 使得：(1) l与 l 平行 , 且过点 (1,3) ; (2) l与 l 垂直 , 且 l与两轴围成的三角形面积为4. 解：(1) 由条件 , 可设 l的方程为3x+4y+m=0, 以 x= 1, y=3 代入 , 得 3+12+m=0, 即得 m= 9, 直线 l的方程为3x+4y9=0; (2) 由条件 , 可设 l的方程为4x3y+n=0, 令 y=0, 得4nx, 令 x=0, 得3ny, 于是由三角形

6、面积43421nnS, 得 n2=96, 64n直线 l的方程是06434yx或06434yx【例 3】过原点的两条直线把直线2x3y12 = 0 在坐标轴间的线段分成三等分，求这二直线的夹角。解：设直线2x3y12 = 0 与两坐标轴交于A，B 两点，则 A（0，4） ，B（6，0） ，设分点C，D，设COD为所求角。2CABC，38212402216ccyx， C（2，38）. 又2DBAD，3421442162000yx， D(4,34)，31,34ODOCkk. 139313413134|1|ODOCODOCkkkktg，139arctg. 【例 4】圆 x2y2x6yc = 0 与直

7、线 x2y3 = 0 相交于 P,Q两点 ,求 c 为何值时 ,OPOQ(O 为原点 ). 解：解方程组消x 得 5y220y12c = 0,)12(5121cyy, 消 y 得 5x2 10 x4c27 = 0,)274(5121cxx, OPOQ,12211xyxy,5274512cc，解得 c = 3. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载【例 5】已知直线 y =2xb 与圆 x2y24x2y15 = 0 相切 ,求 b 的值和切点的坐标 . 解：把 y =2xb 代入 x2y24x2y15

8、= 0, 整理得 5x24(b2)xb22b15 = 0,令= 0 得 b =7 或 b =13, 方程有等根，5)2(2 bx，得 x =2 或 x = 6，代入 y = 2x7 与 y = 2x13 得 y = 3 或 y = 1，所求切点坐标为（2， 3）或（ 6，1）. 【例 6】已知 |a|1,|b|1,|c|1,求证： abc+2a+b+c. 证明：设线段的方程为y=f(x)=(bc1)x+2bc,其中 |b|1,|c|1,|x|1,且 1b1. f( 1)=1bc+2bc=(1bc)+(1 b)+(1c)0 f(1)=bc1+2bc=(1b)(1c)0 线段y=(bc1)x+2b

9、c(1 x1)在 x 轴上方，这就是说，当|a|1,|b|1,|c|1时，恒有abc+2a+b+c. 【例 7】某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，已知镜框对桌面的倾斜角为(90 180)镜框中， 画的上、 下边缘与镜框下边缘分别相距 a m,b m,(ab).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳？解：建立如图所示的直角坐标系，AO 为镜框边， AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C(x,0)(x0),欲使看画的效果最佳，应使ACB 取得最大值 . 由三角函数的定义知：A、B

10、 两点坐标分别为(acos ,asin)、(bcos,bsin),于是直线AC、 BC 的斜率分别为：kAC=tanxCA=xaacossin, .cossintanxbbxCBkBC于是 tanACB=ACBCACBCkkkk1cos)(sin)(cos)(sin)(2baxxabbaxxbaabxba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载由于 ACB 为锐角，且x0,则 tanACBcos)(2sin)(baabba,当且仅当xab=x，即x=ab时，等号成立，此时ACB 取最大值，对应的点为C(a

11、b,0),因此，学生距离镜框下缘abcm 处时，视角最大，即看画效果最佳. 【例 8】预算用 2000 元购买单件为50 元的桌子和20 元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5 倍，问桌、椅各买多少才行？解：设桌椅分别买x,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为0,05.120002050yxxyxyyx由72007200,20002050yxxyyx解得A 点的坐标为 (7200，7200) 由27525,5.120002050yxxyyx解得B 点的坐标为 (25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A(7200，7200)，B(25，

12、275)，O(0，0)为顶点的三角形区域(如右图 ) 由图形直观可知，目标函数z=x+y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到xN,yN*,故取 y=37. 故有买桌子25 张，椅子37 张是最好选择. 【例 9】已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B 含量及成本如下表，若用甲、乙、丙三种食物各x 千克， y千克， z 千克配成100 千克混合食物，并使混合食物内至少含有56000 单位维生素A 和 63000 单位维生素B. 甲乙丙维生素 A（单位 /千克）600 700 400 维生素 B（单位 /千克）800 400 500 成本（元 /千克）11 9 4 （）用x， y 表示混

13、合食物成本c 元；（）确定x，y，z 的值，使成本最低解： （）由题，1194cxyz，又100 xyz，所以，40075cxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载（）由60070040056000, 10080040050063000 xyzzxyxyz及得，463203130 xyxy，所以，75450.xy所以，40075400450850,cxy当且仅当4632050,313020 xyxxyy即时等号成立所以，当x=50 千克， y=20 千克， z=30 千克时，混合物成本最低，为850

14、元点评 ：本题为线性规划问题，用解析几何的观点看，问题的解实际上是由四条直线所围成的区域00463203130 xyxyxy上使得40075cxy最大的点不难发现，应在点M（50，20）处取得【直线练习1】一、选择题1设 M=120110,1101102002200120012000N，则 M 与 N 的大小关系为 ( ) A.MNB.M=N C.MND.无法判断2三边均为整数且最大边的长为11 的三角形的个数为( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对二、填空题3直线 2xy4=0 上有一点P，它与两定点A(4， 1)，B(3，4)的距离之差最大，则 P 点坐标是 _. 4自点 A

15、(3，3)发出的光线l 射到 x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y24x4y+7=0 相切，则光线l 所在直线方程为_. 5函数 f()=2cos1sin的最大值为 _，最小值为 _. xy3x-y=1304x+6y=320M精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载6设不等式 2x1m(x21)对一切满足 |m|2 的值均成立， 则 x 的范围为 _. 三、解答题7已知过原点O 的一条直线与函数y=log8x 的图象交于A、B 两点，分别过点A、B作 y 轴的平行线与函数y=log2x

16、的图象交于C、D 两点 . (1)证明：点C、D 和原点 O 在同一直线上 . (2)当 BC 平行于 x 轴时，求点A 的坐标 . 8设数列 an的前 n 项和 Sn=na+n(n1)b， (n=1,2,),a、b 是常数且b0. (1)证明： an是等差数列 . (2)证明：以 (an,nSn1)为坐标的点 Pn(n=1,2,)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设 a=1,b=21,C 是以 (r,r)为圆心， r 为半径的圆 (r0)，求使得点P1、P2、P3都落在圆 C 外时， r 的取值范围 . 参考答案一、 1.解析：将问题转化为比较A(1， 1）与 B(102001

17、，102000）及 C(102002，102001）连线的斜率大小，因为B、C 两点的直线方程为y=101x，点 A 在直线的下方，kABkAC,即 MN. 答案： A2.解析：设三角形的另外两边长为x,y,则11110110yxyx点(x,y）应在如右图所示区域内当 x=1 时， y=11；当 x=2 时， y=10,11；当 x=3 时， y=9,10,11；当 x=4 时， y=8,9,10,11; 当 x=5 时， y=7,8,9,10,11. 以上共有15 个， x,y 对调又有15 个，再加上 (6，6） ，(7，7） ，(8，8） ，(9，9） ，(10，10） 、(11， 11

18、）六组，所以共有36 个. 答案： C 二、 3.解析：找A 关于 l 的对称点A， A B 与直线 l 的交点即为所求的P 点 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载答案： P(5，6）4.解析：光线l 所在的直线与圆x2+y24x4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案： 3x+4y3=0 或 4x+3y+3=0 5.解析： f()=2cos1sin表示两点 (cos,sin)与(2,1)连线的斜率 . 答案：340 6.解析：原不等式变为(x21)m+(12x) 0,构造线段f(m)=(

19、x2 1)m+12x,2m2,则 f( 2)0,且 f(2)0. 答案：213217x三、 7.(1)证明：设A、B 的横坐标分别为x1、x2，由题设知x11,x21,点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因为A、B 在过点O 的直线上，所以228118loglogxxxx,又点C、D 的坐标分别为(x1,log2x1） 、(x2,log2x2). 由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则228222118112log3log,log3logxxxxkxxxxkODOC由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上 . (2)解：由 BC

20、平行于 x 轴，有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1x2=x13将其代入228118loglogxxxx,得 x13log8x1=3x1log8x1, 由于 x11 知 log8x1 0,故 x13=3x1x2=3,于是 A(3， log83). 9.(1)证明：由条件，得a1=S1=a,当 n 2时，有 an=SnSn1= na+n(n1)b (n1)a+(n1)(n2)b=a+2(n1)b. 因此，当n2 时，有 anan1=a+2(n 1)b a+2(n2)b=2b. 所以 an 是以 a 为首项， 2b 为公差的等差数列. (2)证明： b0,对于 n2,有

21、21) 1(2)1() 1(2)1() 11() 1(11bnbnabnaaabnnnaaaSnSnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载所有的点Pn(an,nSn1)(n=1,2,)都落在通过P1(a,a1)且以21为斜率的直线上.此直线方程为y(a1)=21(xa),即 x2y+a2=0. (3)解：当a=1,b=21时， Pn的坐标为 (n,22n),使 P1(1,0)、P2(2,21)、P3(3,1)都落在圆C 外的条件是222222222)1()3()21()1()1(rrrrrrrrr01

22、08041750) 1(222rrrrr即由不等式 ,得 r1 由不等式，得r252或 r25+2由不等式，得r46或 r4+6再注意到r0,125246=25+24+6故使 P1、P2、P3都落在圆C 外时， r 的取值范围是 (0，1) (1,252)(4+6,+). 【直线练习2】1l1的方程为032yx，l1关于x轴对称的直线为l2，l2关于 y 轴对称的直线为l3，那么直线l3的方程为 ( B) A032yxB032yxC032yxD062yx2与圆xyx22430相外切，且与y轴相切的动圆的圆心的轨迹方程是。2162xy3 已知定点A(1,1) ， B(3,3)， 点 P 在 x

23、轴上，且APB取得最大值， 则 P 点坐标为 （B）A02，B06，C037，D04，解：P点即为过A、B 两点且与 x 轴相切的圆的切点，设圆方程为222)()(bbyax)0, 0(ba所以有06)3()3()1()1(222222babbabba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载4圆022xyx上的点到直线033yx的最知距离为（A）A23B45C43D495 条件甲：方程122nymx表示一双条双曲线， 条件乙：mn00且则乙是甲的（A）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分又

24、非必要条件6设点 P 在有向线段的延长线上 ,点 P 分所成的比为, 则( A) A1B01C10D17如果 AC0 且 BC0, 那么直线Ax + By +C = 0, 不通过 ( C) A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限8若点 (4, m)到直线 431xy的距离不大于3, 则 m 的取值范围是( B) A(0, 10) B 010,C331,31D,0109原点关于直线8625xy的对称点坐标为( D) A 232,B258256,C(3, 4) D(4, 3) 10如果直线yax2 与直线 yxb3关于直线y = x对称 , 那么 ( A) A ab136,B ab136,C a

25、 = 3, b = 2 Da = 3, b = 6 11已知直线ll12和的夹角的平分线为yx, 如果 l1的方程是 axbycab00() ,那么l2的方程是 ( A) A bxayc0B axbyc0C bxayc0D bxayc012如果直线axy220 与直线 320 xy平行 , 那么系数a = ( B) A 3 B 6 C32D2313两条直线A xB yC1110,A xB yC2220 垂直的充要条件是( A) A A AB B12120B A AB B12120精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学

26、习必备欢迎下载CA AB B12121DB BA A1212114如果直线 l 沿 x 轴负方向平移3 个单位 , 再沿 y 轴正方向平移1 个单位 , 又回到原来的位置 , 那么直线 l 的斜率是 ( A) A13B 3 C13D3 15设 a、b、c 分别是 ABC 中, A、 B、C 所对边的边长, 则直线 sin Axayc0与 bxByCsinsin0 的位置关系是( C) A平行B重合C垂直D相交但不垂直16求与点A(1, 2)的距离等于4, 且到 x 轴的距离等于2 的点的坐标 : 。 （3, 2）17直线 L：y=kx-1 与曲线yx2112不相交，则k 的取值范围是( A)

27、A12或 3 B12C3 D12，3 182如果 ac0，b c0，那么直线ax+by+c=0 不通过（C ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限19直线 y=x1 被圆25)1()3(22yx，所截的弦长为（C ）A98B4014C82D984 320斜率为1 的直线与两直线2x+y1=0，022yx分别相交于A，B 两点，线段AB的中点的轨迹方程为（B）A、01yxB、01yxC、032yxD、032yx21 已知双曲线1C 和椭圆2C：124) 1(49)2(22yx有公共的焦点， 它们的离心率分别是1e和2e ，且21111ee。 （1）求双曲线1C 的方程；（2）圆 D 经过双曲

28、线1C 的两焦点，且与 x 轴有两个交点，这两个交点间的距离等于8，求圆 D 的方程。解： （1）椭圆2C的两个焦点坐标是) 1 , 3(),1 ,7(21FF离心率752e由21121ee可知双曲线1C的离心率351e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 19 页学习必备欢迎下载16, 9,2522222acbac故双曲线1C 的方程为116)1(9)2(22yx（2）圆 D 经过双曲线的两个焦点，圆心D 在直线 x= 2 上设圆 D 的方程为2222)1(5)()2(bbyx整理得：02222422bbyxyx令 y=0

29、，得022242bxx设圆 D 与 x 轴的两个交点为（0,1x） ， （0 ,2x） ，则222,42121bxxxx依题意 |21xx|=84)(21221xxxx即 164（2b 22）=64，解得 b=5 所以圆的方程为41)5()2(22yx高三数学专题复习圆【例题】【例 1】设正方形 ABCD 的外接圆方程为x2+y2 6x+a=0(a9)，、点所在直线l 的斜率为31,求外接圆圆心点的坐标及正方形对角线AC、BD 的斜率。解：由 (x 3)2+y2=9a(a1 （B）R3 （C）1R3 （D）R2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

30、 - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载二、填空题8、已知圆50)3()6(10) 1()2(222221yxCyxC：与圆：交于 A、B 两点，则AB 所在的直线方程是_ 。9、直线1xy上的点到圆042422yxyx的最近距离是。10、已知圆的方程是x2y21，则在 y 轴上截距为2的切线方程为。11、过 P（ 2，4）及 Q（3， 1）两点，且在X 轴上截得的弦长为6 的圆方程是三、解答题12、半径为5 的圆过点A(2, 6)，且以 M(5, 4)为中点的弦长为25 ，求此圆的方程。13、已知圆02422myxyx与 y 轴交于 A、 B 两点，圆心为P，若90APB。求 m

31、的值。14、已知定点)0 , 2(A，P点在圆122yx上运动，AOP的平分线交PA于Q点，其中O为坐标原点，求Q点的轨迹方程【圆参考答案】一、选择题1、A2、 C 3、A4、A5、C 6、B7、 C 二、填空题8、2x+y=0 9、12210、22xyxy或11、 (x1)2(y2)2=13 或(x3)2(y4)2=25 三、解答题12、解：设圆心坐标为P(a, b), 则圆的方程是 (xa)2(yb)2=25, (2, 6)在圆上，(a2)2(b6)2=25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为25 ， |PM|2=r252, 即(a5)2(b4)2=20, 联立方程组20)4()5(25

32、)6()2(2222baba, 两式相减得7a2b=3, 将 b=237a代入精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载得53a2194a 141=0, 解得 a=1 或 a=53141, 相应的求得b1=2, b2=53414, 圆的方程是 (x1)2 (y 2)225 或 (x53141)2 (y53414)225 13、解：由题设APB 是等腰直角三角形，圆心到y 轴的距离是圆半径的22倍将圆方程02422myxyx配方得：myx5) 1()2(22圆心是 P(2,1)，半径 r=m5225m解得 m= 3 14、解：在 AOP 中， OQ 是AOP 的平分线212OPOAPQAQ设 Q 点坐标为（ x，y） ；P 点坐标为（ x0，y0）即yyxxyyxx23223212021220000 P（x0，y0）在圆 x2+y2=1 上运动， x02+y02=1 即12322322yx943222yx此即 Q 点的轨迹方程。xyOAPQ精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页