2022年高三第一轮复习教案第四讲：空间的两个平面 .pdf

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1、第四讲空间的两个平面教学目的：掌握两个平面的位置关系；两个平面平行和两个平面垂直的判定和性质定理，并能解决相关的证明和计算问题教学重点：两个平面平行和两个平面垂直的判定和性质定理教学难点：两个平面平行和两个平面垂直的判定和性质定理，并能解决相关的证明和计算问题【知识概要】知识点 1 两个平面的位置关系（ 1）两个平面平行 没有公共点。若与 平行，记作 . （ 2） 两个平面相交 有一条公共直线。若与 有交线 a，记作 a. 指出：画两个互相平行的平面时，表示平面的两个平行四边形的对应边应画平行；画两个相交平面时：（ 1）先画表示两个平面的平行四边形的相交的两边；（2）再画出表示两个平面交线的线

2、段；（ 3）过第 (i)步图中线段的端点分别引线段，使它平行且等于第(ii)步图中表示交线的线段. （ 4）最后画表示两个平面的平行四边形的其它边。知识点 2 两个平面互相平行两平面平行：两平面没有公共点；知识点 3 两个平面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 指出：垂直于同一直线的两个平面平行.也可以用来作面面平行的判定定理.即 AA ， AA .知识点 4 两个平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 即 ，a, bab. 指出： （1）两个平面平行， 其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.这为线面平行进

3、一步提供了证明方法，但分居两平行平面的直线有平行与异面两种可能. （ 2） 一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，它也垂直于另一个平面. 这为线面垂直进一步提供了证明方法（ 3）经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行. 知识点 5两个平行平面的距离和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两平行平面的公垂线，它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离指出：和两个平行平面同时垂直的直线与两异面直线公垂线不同的是有无数条.根据线面垂直的性质定理可知这些公垂线相互平行且公垂线段都相等知识点 6 二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平

4、面叫做二面角的面 . 棱为 AB。 面为 ， 的二面角，记作二面角 AB ， 如果棱用 a表示， 则记作二面角 a 。指出： （1）平面几何中可以把角理解为一个旋转量，同样一个二面角也可以看作以一个半平面以其棱为轴旋转而成的. 二面角的范围是0， 知识点 7 二面角的平面角以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 指出：（1） 它是一个 “ 平面角 ” ，因此两边必须在同一平面内 . 二面角的平面角的两边都必须与棱垂直.画二面角和它的平面角，最常见的两种形式：直立式与平卧式.（见上方图形）精选学习资料 - - - - - - -

5、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页二面角的大小，可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是几度，就说这个二面角是几度.特别地：平面角是直角的二面角叫做直二面角. 二面角的范围是0， （ 2）确定二面角的平面角的方法： 定义法：在棱上选择有关点，过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个平面的交线所成的角为二面角的平面角 三垂线法：已知二面角一个面内一点到另一个面的垂线时，利用三垂线定理或它的逆定理可得到平面角 利用特殊图形的性质，构造二面角的平面角 由射影关系式S=Scos，即 cos=S

6、S，可以不用作出平面角而求得 （了解） 用异面直线上两点距离公式：EF=mnnmdcos2222，求得 （了解）知识点 8 两个平面互相垂直如果两个平面与 所成二面角为直二面角，则称两个平面与 垂直，记作 。知识点 9 两个平面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直. 指出： （1）平面与平面的垂直问题可以转化为直线与平面的垂直问题，即线面垂直可以导致面面垂直. （ 2）垂直于平行平面中的一个平面必垂直于另一个平面.即 ,r r知识点 10 两个平面垂直的性质定理如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面. 指出： (1) 过一平面内一

7、点而垂直于另一平面的直线必在这平面内. （2）相交平面同时垂直于第三个平面，则交线垂直于第三平面. （ 3）过不垂直于平面的一直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 【基础题典例解析】例 1（两个平面的垂直）在三棱锥SABC 中， ASB BSC 60 ，ASC 90 ，且 SASBSC。求证：平面ASC平面 ABC.证：取 AC 的中点 O，连 SO、BO ，由已知，得SAB、SBC 都是正三角形 .BC ABa,SA SCa,又 SO AC，BO AC ， SOB 就是二面角SAC B 的平面角 . 又 SA AB a,SC BC a,AC AC, ACSACB. SOBO 22a.在 SO

8、B中，SBa, SOB 90 .即平面 SAC 平面 ABC. 方法二：过S 作 SO 平面 ABC ，垂足是 O.SASBSC，S 在平面内的射影是ABC 的外心。同前面的证明， 可知 ABC 是直角三角形， O 在斜边 AC 上.又平面 SAC 经过 SO。 平面 SAC 平面 ABC 例 2 （求二面角的大小）在棱长为1 的正方体AC1中，P 是 AD 的中点，求二面角A-BD1-P 的大小。解：EADPEPPADABD于作过平面平面111PE平面 ABD1。 过 P 作 PFD1B 于 F，连 EF，则 EFD1B， PFE 为二面角 A-BD1-P 的平面角，如图所示。RtAD1DR

9、t PEA, ADAPDDPE1，而 AP=21，DD1=1，AD1=2，PE=42。在 PBD1中，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页PD1=PB=25。 PFD1B， BF=21BD1=23。在 RtPFB 中， PF=2222BFPB。在 Rt PFE 中， sin PFE=21PFPE， PFE=30 。例 3 （求二面角的大小）在正方体1111DCBAABCD中，求二面角111CBDA的大小解： 在平面BCD11内作11BDEC， 交1BD于 E 连结EA1， 设正方体棱长为a， 在 11BDA和 11B

10、DC中，aDCDA1111，aBCBA211，11BDBDa3，11BDA11BDC，11BDEC，11BDEA，11ECA为二面角111CBDA的平面角在 Rt11DBC中，9011BCD，111112121BDECBCDC， aaaaEC32321,在11ECA中，ECEA11a32，aCA211，2132322)2(3232cos22211aaaaaECA，110ECA180，12011ECA. 例 3 （求二面角的大小）四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 是正方形， PA底面 ABCD ，PAAB，Q 是 PC 中点 AC， BD交于 O 点（ 1）求二面角QBD C 的大小：（2

11、）求二面角B QDC 的大小解： （1）连 QO ，则 QO PA 且 QO21PA21AB, PA面 ABCD ，QO 面 ABCD ，面 QBD 过 QO， 面 QBD 面 ABCD ，故二面角QBD C 等于 90 （ 2）过 O 作 OH QD ，垂足为H，连 CH 面 QBD 面 BCD ，又 CO BD ，CO 面 QBDCH 在面 QBD 内的射影是OH ， OH QD ， CHQD 于是 OHC 是二面角的平面角设正方形ABCD 边长 2，则 OQ 1，OD2，QD 3 OH QD OQ OD ， OH 32又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

12、- - - - - -第 3 页，共 10 页OC2，RtCOH 中： tanOHC OHOC2323， OHC 60 , 故二面角BQD C等于 60 【综合题典例解析】例 1 已知 BCD 中， BCD =90 ，BC=CD =1，AB平面 BCD ， ADB =60 ，E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且(01 . )AEAFACAD（ 1）求证：不论为何值，总有平面BEF平面 ABC ；（ 2）当 为何值时，平面BEF 平面 ACD ？解： （1） AB平面 BCD ， ABCD， CD BC 且 AB BC=B ，CD平面 ABC. 又) 10(ADAFACAE，不论 为何值，恒

13、有EFCD ， EF平面 ABC ，EF平面 BEF,不论 为何值，恒有平面BEF 平面 ABC. （ 2）由（ 1）知， BEEF ，平面BEF 平面ACD ， BE平面ACD ， BEAC.BC=CD=1 ，BCD=90 ， ADB=60 ，,660tan2,2 ABBD,722BCABAC由,76,76,2ACAEAEACAEAB故当76时，平面 BEF 平面 ACD. 例 2 如图 ,已知边长为a 的正三角形ABC 的中线 AF 与中位线DE 相交于 G,将此三角形沿DE 折成二面角 A DEB。（ 1）求证：平面AGF 平面 BCED ；（ 2）当二面角A DEB 为多大时，异面直线

14、AE与 BD 互相垂直？证明你的结论。解： （1） ABC 是正三角形， AF 是 BC 边的中线，AFBC。又D、 E 分别是 AB、AC 的中点， DE21BC。 AFDE ，又 AFDE=G ，AGDE， GFDE ， DE 平面 AFG ，又 DE?平面 BCED ，平面AFG 平面 BCED 。（ 2） AGDE ， GF DE ， AGF是二面角 A DEB 的平面角。 平面 AGF 平面 BCED=AF ，作 AHAG 于 H ， AH平面 BCED 。假设 AE BD ，连 EH 并延长 AD 于 Q，则 EQ AD 。 AG DE ， H 是正三角形ADE 的重心，也是中心。

15、AD=DE=AE=2a， AG=AG=43a,HG=31AG=123a。在 Rt AHG中， cosAGH=GAHG=31. AGF = - AGH, cos AGF= -31， AGF=arcos(-31)，即当 AGF=arcos(-31)时， AE BD。例 3 如图，已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是菱形，且 C1CB= BCD=60 。（ 1）证明： C1CBD ；（ 2） 假定 CD=2 ， C1C=23， 记面 C1BD 为 ， 面 CBD 为 ， 求二面角 BD 的平面角的余弦值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

16、- - - - -第 4 页，共 10 页（ 3）当1CCCD的值为多少时，能使A1C平面 C1BD？请给出证明。解： （1）如图 7-19(b), 连结 A1C1、AC，设 AC 和 BD 交于 O，连C1O。四边形 ABCD 是菱形， ACBD ，BC=CD 。又 BCC1=DCC1，C1C=C1C， C1BC C1DC ，C1B=C1D。 DO=OB ， C1O BD，又 ACBD ，AC C1O=O ，BD平面 AC1，又 C1C平面 AC1， C1CBD 。（ 2）由（1）知 AC BD ，C1OBD ， C1OC 是二面角 BD 平面角。在 C1BC 中， BC=2 ，C1C=23

17、， BCC1=60 ，C1B2=22+（23）2 2 223 cos60 =413。 OCB=30 ， OB=21BC=1 ，C1O2=C1B2-OB2=413-1=49， C1O=23，即 C1O=C1C。作 C1HOC，垂足为H，则点 H 是 OC 的中点，且OH=23，所以 cosC1OC=OCOH1=33。（ 3）当1CCCD=1 时， 能使 A1C平面 C1BD 。 1CCCD=1， BC=CD=C1C， 又 BCD= C1CB= C1CD ，由此可推得BD=C1B=C1D。三棱锥CC1BD 是正三棱锥。设 A1C 与 C1O 相交于 G。 A1C1 AC，且 A1C1OC=2 1，

18、C1GGO=2 1。又 C1O 是正三角形C1BD 的 BD 边上的高和中线，点G 是正三角形 C1BD 的中心， CG 平面 C1BD，即 A1C平面 C1BD 。证明二：由（ 1）知， BD平面 AC1，又 A1C平面 A1C1， BDA1C。当1CCCD=1 时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BDA1C 的证法可得BC1A1C。又 BD BC1=B， A1C平面 C1BD。例 4三棱锥 PABC 中，PC 平面 ABC ， PC=AC=2 ， AB=BC ， D 是 PB 上一点，且 CD 平面 PAB. （ 1）求证： AB平面 PCB ；（ 2）求异面直线AP 与 BC 所成角的

19、大小；（ 3）求二面角CPAB 的大小 . 解： （1） PC平ABC ，AB平面 ABC ， PC AB. CD平面 PAB，AC平面 PAB， CDAB. 又 PC CD=C ， AB平面 PCB. （ 2）过点 A 作 AFBC ，且 AF=BC ，连结 PF，CF.则 PAF 为异面直线PA 与 BC 所成的角 . 由（1）可得 ABBC，CF AF. 由三垂线定理， 得 PFAF.则 AF=CF=6,222CFPCPF，在 RtPFA 中，,326tanAFPFPAF异面直线PA 与 BC 所成的角为.3（ 3）取 AP 的中点 E，连结 CE、 DE. PC=AC=2 ， CE P

20、A， CE=2. CD平面 PAB. 由三垂线定理的逆定理，得DE PA. CED 为二面角CPAB 的平面角 . 由（ 1）AB平面PCB ，又 AB=BC ，可求得BC=2.在 RtPCB 中，622BCPCPB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页.32622PBBCPCCD在 RtCDE 中，,36232sinCECDCED二面角CPA B 的大小为36arcsin。方法二：（1）同解法一 . （2）由（ 1）AB平面 PCB ， PC=AC=2 ，又 AB=BC ，可求得BC=2.以 B 为原点，如图建立坐

21、标系 .则 A（0，2，0） ，B（ 0，0，0）.C（2，0，0） ，P（2，0，2） ，)2,2,2(AP，)0, 0,2(BC.则.20022BCAP.212222|,cosBCAPBCAPBCAP异面直线AP 与 BC 所成的角为.3（ 3）设平面 PAB 的法向量为m=(x ，y，z). )0,2,0(AB，则.0,0MAPmAB即.0222,02zyxy解得zxy2,0令1z，得)1, 0,2(m。设平面 PAC 的法向量为n=),(zyx.).0,2,2(),2,0,0(ACPC则.0,0nACnPC即.022,02yxz解得yxz, 0令1x，得 n=（1，1，0）.33232

22、|,cosnmnmnm二面角 C PAB 的大小为.33arccos例 5如图所示，四棱锥PABCD 的底面是边长为a 的菱形， A60 ，PC平面 ABCD ， PCa,E 是 PA 的中点 . （ 1）求证平面BDE 平面 ABCD. （ 2）求点 E 到平面 PBC 的距离 . （ 3）求二面角AEBD 的平面角大小 . 解： （1）设 O 是 AC ，BD 的交点，连结EO. ABCD 是菱形， O 是 AC、BD的中点， E 是 PA 的中点， EO PC， 又 PC 平面 ABCD ，EO 平面 ABCD ，EO平面 BDE ，平面 BDE 平面 ABCD. （ 2） EO PC，

23、PC平面 PBC ， EO平面PBC ，于是点O 到平面PBC的距离等于E 到平面 PBC 的距离 . 作 OFBC 于 F， EO 平面 ABCD ，PC平面 PBC ，平面PBC 平面 ABCD ，于是 OF平面PBC ，OF 的长等于O 到平面 PBC 的距离 . 由条件可知，OB2a,OF2a2343a，则点 E 到平面 PBC 的距离为43a. （ 3）过 O 作 OG EB 于 G，连接 AG 。 OE AC， BDAC 。 AC 平面 BDE ， AG EB(三垂线定理 )。 AGO 是二面角A EBD 的平面角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

24、 - - - - - -第 6 页，共 10 页OE 21PC 21a,OB 23a。 EBa.OGEBOBOE43a，又 AO 21a. tan AGO OGAO332。 AGO arctan332. 例 6 已知四棱锥PABCD 中，底面ABCD 是矩形， PA平面 ABCD ，AP=AD=1 ，AB=2 ，E、F分别是 AB、PD 的中点 . （ 1）求证： AF/ 平面 PEC ；（2）求 PC 与平面 ABCD 所成角的大小；（ 3）求二面角PEC D 的大小 . 解： （1）取 PC 的中点 O，连结 OF 、OE.DCFO /，且.21DCFO./ AEFO又 E 是 AB 的中

25、点，且AB=DC ， FO=AE. 四边形AEOF 是平行四边形 . AF/OE. 又OE平面 PEC ，AF平面 PEC ， AF/ 平面 PEC. （2）连结 AC. PA平面 ABCD ， PCA 是直线 PC 与平面 ABCD 所成的角 . 在PACRt中，.5551tanACPAPCA即直线 PC 与平面ABCD 所成角的大小为.55arctan（ 3）作AM CE ，交 CE延长线于M，连结PM. 由三垂线定理，得PMCE. PMA是二面角P ECD 的平面角 . 由 AME CBE ，可得22AM.2221tanPMA二面角PECD 的大小为.2arctan方法二：以A 为原点，

26、如图建立直角坐标系.则 A（0，0，0） ， B（2，0，0） ，C（2，1，0） ，D（ 0，1，0） ，)21,21,0(F，E（1，0，0） ，P（0，0，1） . （ 1）取 PC 的中点 O，连结 OE. 则).21,21,1 (O),21,21,0(),21,21, 0(EOAF./ EOAF又 OE平面 PEC ，AF平面PEC ， AF/ 平面 PEC. （ 2）由题意可得) 1, 1 ,2(PC，又平面 ABCD 的法向量是).1,0 ,0(PA66|,cosPCAPPCPAPCPA，即直线PC 与平面 ABCD 所成角的大小为.66arccos（ 3）设平面PEC 的法向量

27、为).,(zyxm).10, 1(),1, 0, 1(ECPE则.0,0ECmPEm可精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页得. 0, 0yxzx令 z= 1，则 m=（ 1，1， 1）. 由（2）可得平面ABCD 的法向量是).1,0, 0(PA.3331|,cosPAmPAmPAm二面角PECD 的大小为.33arccos例 7 在如图所示的多面体中，已知正方形ABCD 和直角梯形ACEF 所在的平面互相垂直，EC AC ，EFAC ，AB2，EFEC 1。（ 1）求证：平面BEF 平面 DEF ；（ 2）求二面角

28、ABFE 的大小。解： （1） 平面 ACEF 平面 ABCD ，EC AC， EC平面 ABCD ；连接 BD 交 AC 于点 O，连接 FO ，正方形ABCD 的边长为2， AC BD 2； 在直角梯形ACEF中， EFEC1，O 为 AC 中点， FOEC ，且 FO 1；易求得 DF BF2，DE BE3，由勾股定理知DF EF，BF EF ， BFD 是二面角BEFD 的平面角，由BF DF 2，BD 2可知 BFD 90o，平面BEF 平面 DEF 。（ 2） 取 BF 中点 M，BE 中点 N，连接 AM、 MN、AN ， ABBFAF2，AM BF，又 MNEF，EFBF， M

29、NBF， AMN 就是二面角A BFE 的平面角。易求得3622AMAB，1122MNEF；在 RtAPN中，可求得222114ANAPNP，在AMN中，由余弦定理求得6cos3AMN,6arccos3AMN。解法二：（1） 平面 ACEF 平面ABCD ，EC AC ， EC 平面ABCD ；建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz ，则)0,2,2(A，)0,2,(0B,)0, 0,2(D,) 1 ,0,(0E,) 1 ,22,22(F,)0,22,22(EF，) 1 ,2,(0BE，)1 , 0,2(DE。设平面BEF、平面 DEF 的法向量分别为)1 ,() 1 ,(2211yxnyxm，

30、则0222211yxEFm0121yBEm，0222222yxEFn, 0122xDEn. 由解得22.22;22,222211yxyx,) 1 ,22,22() 1 ,22,22(nm, 012121nm，nm，故平面BEF 平面 DEF 。（2）设平面ABF 的法向量为)1 ,(33yxp，) 1,22,22(BF，)0, 0,2(BA，01222233yxBFp，023xBAp，解得330,2xy，(0,2,1)pu r，26cos,323m pm pmpu r u ru r u ru ru r 。由图知， 二面角 ABF E 的平面角是钝角，故所求二面角的大小为36arccos。例 8

31、 如图，二面角MDC N 是 度的二面角，A 为 M 上一定点，且ADC 面积为 S，DC a，过点 A 作直线 AB，使 ABDC 且与半平面N 成 30 的角，求变化时， DBC 面积的最大值 . 解： 在 M 内作 AEDC 于 E，则 AE 为 ADC 的高，则有21AE DCS，CDAFEBOCDAFEBMNPCDAFBExzy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页AEaS2.由于 DCAE，DC AB，则有DC AEB 所在的平面，所以DC BE，则 AEB 是二面角MDC N 的平面角，即AEB .又由于

32、 DCAEB 所在平面，且DC 在 N 上，所以平面NAEB 所在平面 . 令 AFBE 于 F，则有 AFN，于是， FB 是 AB 在平面 N 上的射影，所以ABE 是 AB 与 N 所成的角. ABE 30 。在 AEB 中，有)30sin(EB30sinAE， EBaS4sin( +30).据题意，有 (0 ，180 )。当 60 时，有 EBmaxaS4，这时 (SDBC)max21aaS42S. 例 9 如图， 在平面四边形ABCD 中，AB=BC=CD=1，B=90 ，C=135 ，沿对角线AC 将 ABC折起，使平面ABC 平面 ACD. （ I）求证： AB平面 BCD ；（

33、 II）求二面角BADC 的大小 . 解： （I） B=90 ， ABBC. AB=BC ， BCA= BAC=45 。又平面四边形ABCD 中， C=135 ， DCA=90 ， DC AC。平面 ABC 平面 ACD ，平面 ABC 平面 ACD=AC ，DC平面 ACD ， DC 平面 ABC ， ABC。 DC BC=C ， AB平面 BCD 。（ II） 设 AC 的中点为 O， 连结 BO， 过 O 作 OEAD 于 E， 连结 BE.AB=BC ， O 为 AC 中点 .BO AC ，平面 ABC 平面 ACD ，平面 ABC 平面 ACD=AC ，BO平面 ABC ， BO 平

34、面 ACD. OEAD BEAD, BEO 为二面角BAD C 的平面角 . 在 Rt ABC 中， BO=,22AC=2，在 RtDCA 中， AD=3， OE=66. 在 Rt BOE 中， tanBEO=,36622OEBO BEO=60 。二面角BAD C 的大小为60例 10 如图： 四棱锥 PABCD 底面为一直角梯形，ABAD，CDAD，CD=2 AB，PA面 ABCD ，E 为 PC 中点 . （ 1）求证：平面PDC 平面 PAD ；（ 2）求证： BE平面 PAD；（ 3）假定 PA=AD=CD ，求二面角EBDC 的平面角的正切值. 解： （1） PA面 ABCD ， P

35、ADC, DC AD 且 AD PA=A ，DC面 PAD 。 DC面 PDC ，平面PDC 平面 PAD 。（ 2）取 PD 中点 F，连接 EF，FA。 E 为 PC 中点。在 PDC 中， EF21DCEFAB ，四边形 ABEF 为平行四边形，即：BEAF， AF面 PAD 且 BE面 PAD ， BE平面 PAD。（3） 连接 AC ， 取 AC 中点 O， 连接 EO 。 在 PAC 中：EO 21PA， EO 面 ABC ， 过 O 作 OG BD交 BD 于 G，连接 EG ，由三垂线定理知，EGO 为所求二面角E BDC 的平面角。设 PA=AD=CD=2a ， AB=a ， EO=a 。连 DO 并延长交AB 于 B ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页则四边形 AB CD为正方形，且BB =a， O 为 DB 中点，过B 作 BG DB 交 BD 于 G 。 OG=21BG =21BB sinBBG =21BB sinABD =21aaaaaaBDAD51222122?。在 EOG中， tan EGO=551aaOGEO。故二面角EBDC的平面角的正切值为5。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页