2022年高中函数值域的求法 .pdf

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1、精品资料欢迎下载高中函数值域的求法题型一求函数值：特别是分段函数求值例 1已知 f(x)11 x(xR，且 x1)，g(x)x22(xR). (1)求 f(2)，g(2)的值；(2)求 fg(3) 的值 . 解(1)f(x)11x，f(2)11213. 又g(x) x2 2，g(2)22 26. (2)g(3)32211， fg(3) f(11)1111112. 反思与感悟求函数值时，首先要确定出函数的对应关系f 的具体含义， 然后将变量代入解析式计算，对于fg(x)型的求值，按 “ 由内到外 ” 的顺序进行，要注意fg(x)与 gf(x)的区别 . 跟踪训练4已知函数f(x)x1x2. (1

2、)求 f(2)；(2)求 ff(1). 解(1)f(x)x 1x2，f(2)212234. (2)f(1)111223， ff(1) f(23)23123258. 5.已知函数f(x)x2x1. (1)求 f(2)，f(1x)；(2)若 f(x)5，求 x 的值 . 解(1)f(2)22215，f(1x)1x21x11xx2x2. (2)f(x)x2x15，x2x 60，x2，或 x 3. (3) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 24 页精品资料欢迎下载4.函数 f(x)对任意自然数x 满足 f(x1)f(x)1，f(0

3、) 1，则 f(5) _. 答案6 解析f(1)f(0)111 2，f(2)f(1)1 3，f(3)f(2)1 4，f(4)f(3)15，f(5)f(4)16. 二、值域是函数 y=f(x)中 y 的取值范围。常用的求值域的方法：（1）直接法（2）图象法（数形结合）（3）函数单调性法（4）配方法（5）换元法（包括三角换元） （6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（8）判别式法（9）复合函数法（10）不等式法（11）平方法等等这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数 y=ax+b(a0) 的定义域为R，值域为R ；反比例函数)0(kxky的定义

4、域为 x|x0 ，值域为 y|y0 ；二次函数)0()(2acbxaxxf的定义域为R，当 a0 时，值域为 abacyy4)4(|2 ；当 a0，xxy1=2)1(2xx2，当 x0 时，则当abx2时，其最小值abacy4)4(2min；当 a0）时或最大值（a0）时，再比较)(),(bfaf的大小决定函数的最大（小）值. 若0 xa,b,则a,b是在)(xf的单调区间内，只需比较)(),(bfaf的大小即可决定函数的最大（小）值. 注：若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论 . 练习： 1、求函数y=3+

5、x32的值域解： 由算术平方根的性质，知x32 0，故3+x32 3。函数的值域为, 3.2、求函数5, 0,522xxxy的值域解：对称轴5 ,01x20,420,54,1maxmin值域为时时yxyx1 单调性法例 3 求函数 y=4x x31(x 1/3) 的值域。设f(x)=4x,g(x)= x31,(x 1/3),易 知 它 们 在 定 义 域 内 为 增 函 数 ， 从 而y=f(x)+g(x)=4x-x31在定义域为x1/3 上也为增函数，而且yf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此，所求的函数值域为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

6、 - - -第 4 页，共 24 页精品资料欢迎下载y|y 4/3 。小结 ：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习： 求函数 y=3+x4的值域。 ( 答案：y|y 3) 2 换元法例 4 求函数xxy12的值域解： 设tx1，则)0(122ttty2,21,01max值域为，时当且开口向下，对称轴ytt点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y=xx1的值域。（答案

7、：y|y 3/4 求xxxxcossincossin1的值域；例 5 （三角换元法）求函数21xxy的值域解：11x设, 0cosx2,12, 1)4sin(2sincossincos原函数的值域为y小结： （1）若题目中含有1a，则可设)0 ,cos(22,sinaa或设（2）若题目中含有122ba则可设sin,cosba，其中20（3）若题目中含有21x，则可设cosx，其中0精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 24 页精品资料欢迎下载（4）若题目中含有21x，则可设tanx，其中22（5） 若题目中含有) 0, 0,

8、0(ryxryx， 则可设22sin,cosryrx其中2,03 平方法例 5 （选）求函数xxy53的值域解：函数定义域为：5 ,3x2,24,21 ,0158,5, 31582)5()3(2222原函数值域为得由yxxxxxxxy4 分离常数法例 6 求函数21xxy的值域由1231232xxxy，可得值域1yy小结： 已知分式函数)0(cdcxbaxy，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要求） 内，值域为cayy；如果是条件定义域 （对自变量有附加条件），采用部分分式法将原函数化为)(bcaddcxcadbcay，用复合函数法来求值域。练习求函数6412xxy的值域精选学习资料 -

9、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 24 页精品资料欢迎下载求函数133xxy的值域求函数y=1212xx的值域；（y(-1 ，1) ）例 7 求13xxy的值域解法一：（图象法） 可化为3,431,221,4xxxxy如图，观察得值域44yy解法二：（不等式法）414114) 1(134) 1()3(13xxxxxxxxxx同样可得值域练习 ：1yxx的值域, 1例 8 求函数)1 , 0(239xyxx的值域解： （换元法） 设tx3，则31t原函数可化为8,28,3;2,13, 121,2maxmin2值域为时时对称轴ytytttty例

10、 9 求函数xxy2231的值域解： （换元法） 令1)1(222xxxt，则)1(31tyt由指数函数的单调性知，原函数的值域为,31例 10 求函数)0(2xyx的值域t2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 24 页精品资料欢迎下载解： （图象法） 如图，值域为1 ,0（换元法） 设tx13，则111131113113ttyxxx101101ytt1 ,0原函数的值域为例 13 函数1122xxy的值域解法一：（逆求法）110112yyyx1 , 1原函数的值域为解法二：（换元法） 设tx12，则原函数值域即得11220

11、1ytt解法三：（判别式法） 原函数可化为010) 1(2yxxy1）1y时 不成立2）1y时，110)1)(1(400yyy11y综合 1） 、2）值域 11|yy解法四：（三角换元法）Rx设2,2tanx，则1,12cos,22costan1tan122y原函数的值域为 11|yy2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 24 页精品资料欢迎下载例 14 求函数34252xxy的值域解法一：（判别式法）化为0)53(422yyxyx1）0y时，不成立2）0y时，0得500)53(8)4(yyyy50y综合 1） 、 2）值

12、域50|yy解法二：（复合函数法）令txx3422，则ty511) 1(22xt50y所以，值域 50|yy例 15 函数11xxy的值域解法一：（判别式法）原式可化为解法二：（不等式法）1）当0 x时，321yxx2）0 x时，综合 1）2）知，原函数值域为,31,例 16 ( 选) 求函数)1(1222xxxxy的值域解法一：（判别式法）原式可化为02)2(2yxyx01)1 (2xyx,31,1304)1 (02原函数值域为或 yyy12)(1)(1yxxxx5 t5精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 24 页精品资料

13、欢迎下载,221220)2(4)2(02原函数值域为舍去或yxyyyy解法二：（不等式法） 原函数可化为)1(211111)1(2xxxxxy当且仅当0 x时取等号，故值域为,2例 17 （选）求函数)22(1222xxxxy的值域解： （换元法） 令tx1，则原函数可化为) 31(1ttty。 。 。小结： 已知分式函数)0(2222dafexdxcbxaxy，如果在其自然定义域内可采用判别式法求值域；如果是条件定义域，用判别式法求出的值域要注意取舍，或者可以化为（选）)(二次式一次式或一次式二次式yy的形式，采用部分分式法，进而用基本不等式法求出 函 数 的 最 大 最 小 值 ；如 果

14、不 满 足 用 基 本 不 等式 的 条 件 ， 转 化 为 利 用函 数)0(xxaxy的单调性去解。利用判别式求值域时应注意的问题用判别式法求值域是求函数值域的常用方法，但在教学过程中， 很多学生对用判别式求值域掌握不好。 一是不理解为什么可以这样做， 二是学生对哪些函数求值域可以用判别式法， 哪些函数不能也比较模糊。 本人结合自己的教学实践谈谈对本内容的一点体会。一、判别式法求值域的理论依据例1、 求函数122xxxxy的值域精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 24 页精品资料欢迎下载象这种 分子、分母的最高次为2

15、次的分式函数 可以考虑用判别式法求值域。解：由122xxxxy得：（y-1 ）x2+(1-y)x+y=0 上式中显然 y1,故式是关于 x 的一元二次方程13111,1310)1(4)1(222，xxxxyyy，yyy的值域为又解得令用判别式法求函数的值域是求值域的一种重要的方法，但在用判别式法求值域时经常出错，因此在用判别式求值域时应注意以下几个问题：一、要注意判别式存在的前提条件，同时对区间端点是否符合要求要进行检验例：求函数322122xxxxy的值域。错解：原式变形为0) 13() 12() 12(2yxyxy（）Rx，0)13)(12(4) 12(2yyy，解得21103y。故所求函

16、数的值域是21,103错因：把21y代入方程（）显然无解， 因此21y不在函数的值域内。 事实上，21y时，方程（）的二次项系数为0，显然不能用“”来判定其根的存在情况。正解：原式变形为0) 13() 12() 12(2yxyxy（）（1）当21y时，方程（）无解；（2） 当21y时， Rx， 0) 13)(12(4) 12(2yyy， 解得21103y。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 24 页精品资料欢迎下载综合（ 1） 、 （2）知此函数的值域为)21,103二、注意函数式变形中自变量的取值范围的变化例 2：求函数

17、63422xxxxy的值域。错解：将函数式化为0)36()4()1(2yxyxy（1）当1y时，代入上式得093x，3x，故1y属于值域；（2）当1y时，0)25(2y，综合（ 1） 、 （2）可得函数的值域为Ry。错因：解中函数式化为方程时产生了增根（3x与2x虽不在定义域内，但是方程的根） ，因此最后应该去掉3x与2x时方程中相应的y值。所以正确答案为1|yy，且52y。三、注意变形后函数值域的变化例 3：求函数21xxy的值域。错解：由已知得21xxy，两边平方得221)(xxy整理得012222yyxx， 由0) 1(8)2(22yy， 解得22y。故函数得值域为2,2。错因：从式变形

18、为式是不可逆的，扩大了y的取值范围。由函数得定义域为 1 , 1易知1xy， 因此函数得最小值不可能为2。1x时，1y，1mi ny，故函数的值域应为2, 1。四、注意变量代换中新、旧变量取值范围的一致性例 4：求函数5422xxy的值域。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 24 页精品资料欢迎下载错解： 令42xt，则12tty，02ytyt，由0412y及0y得值域为21, 0(y。错因：解法中忽视了新变元t满足条件2t。设ytyttf2)(，0y，), 2t，2210)2(0)2(0, 0yffy或520y。故函数得

19、值域为520，（。综上所述， 在用判别式法求函数得值域时，由于变形过程中易出现不可逆得步骤，从而改变了函数得定义域或值域。因此，用判别式求函数值域时，变形过程必须等价，必须考虑原函数得定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。练习 ：1 、)0(9122xxxy；解：x0，11)1(91222xxxxy，y11. 另外，此题利用基本不等式解更简捷：11929122xxy(或利用对勾函数图像法 ) 2 、34252xxy0y5. 3 、求函数的值域xxy2；242xxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 24

20、 页精品资料欢迎下载解：令xu20,则22ux, 原式可化为49)21(222uuuy, u0，y49，函数的值域是（-，49. 解：令t=4x2x0 得 0 x4 在此区间内(4x2x)m ax=4 ，(4x2x)min=0 函数242xxy的值域是 y| 0y2 4、求函数y=|x+1|+|x-2|的值域 . 解法 1：将函数化为分段函数形式：)2(12)21(3)1(12xxxxxy，画出它的图象（下图），由图象可知，函数的值域是y|y3. 解法 2：函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点x 到两定点 -1 ，2 的距离之和，易见y 的最小值是3，函数的值域是 3 ，+. 如图

21、5、求函数xxy142的值域解：设xt1则 t0 x=12t代入得tttf y4)1 (2)(24)1(224222ttt t0 y4 6、 （选）求函数66522xxxxy的值域方法一：去分母得(y 1)2x+(y+5)x6y6=0 O12-1xO12-1xO12-1x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 24 页精品资料欢迎下载当 y 1 时xR =(y+5)2+4(y1) 6(y+1)0 由此得(5y+1)20检验51y（有一个根时需验证）时2)56(2551x（代入求根） 2 定义域 x| x2 且 x 3 51y再

22、检验y=1 代入求得x=2 y 1 综上所述，函数66522xxxxy的值域为 y| y1 且 y51 方法二：把已知函数化为函数36133)3)(2()3)(2(xxxxxxxy(x 2) 由此可得y 1， x=2时51y即51y函数66522xxxxy的值域为 y| y 1 且 y51函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1. 求函数的值域。解：显然函数的值域是：例 2. 求函数的值域。解：x1y0 x0 x1), 0()0,(x3y0 x精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共

23、 24 页精品资料欢迎下载故函数的值域是：2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数的值域。解：将函数配方得：由二次函数的性质可知：当x=1时，当时，故函数的值域是：4，8 3. 判别式法例 4. 求函数的值域。解：原函数化为关于 x的一元二次方程（1）当时，解得：（2）当y=1时，而故函数的值域为例 5. 求函数的值域。解：两边平方整理得：（1）解得：但此时的函数的定义域由，得由，仅保证关于 x 的方程：在实数集 R有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为3x3,0 x3 ,2

24、, 1x, 5x2xy24) 1x(y22, 1x4ymin1x8ymax22x1xx1y0 x) 1y(x)1y(21yRx0)1y)(1y(4) 1(223y210 x23,21123,21)x2(xxy0yx)1y(2x222Rx0y8)1y(4221y210)x2(x2x000yx)1y(2x2220精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 24 页精品资料欢迎下载。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。代入方程（1）解得：即当时，原函数的值域为：注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函

25、数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数值域。解：由原函数式可得：则其反函数为：，其定义域为：故所求函数的值域为：5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数的值域。解：由原函数式可得：23,212x00)x2(xxy21y,0ymin2,022222x4122222x4121 , 06x54x33y5y64x3x5y64y53x53,1e1eyxx1y1yex0ex01y1y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结

26、 - - - - - - -第 17 页，共 24 页精品资料欢迎下载解得：故所求函数的值域为例 8. 求函数的值域。解：由原函数式可得：，可化为：即即解得：故函数的值域为6. 函数单调性法例 9. 求函数的值域。解：令则在2，10上都是增函数所以在2，10上是增函数当x=2时，当x=10时，故所求函数的值域为：例 10. 求函数的值域。解：原函数可化为：令，显然在上为无上界的增函数所以，在上也为无上界的增函数1y1)1 , 1(3xsinxcosyy3xcosxsinyy3)x(xsin1y21yy3)x(xsin2Rx 1 , 1)x(xsin11yy31242y4242,42)10 x2

27、(1xlog2y35x1xlogy,2y325x121y,y21yyy8112log2y33min339log2y35max33,811x1xy1x1x2y1xy,1xy2121y,y, 11yy2y, 1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 24 页精品资料欢迎下载所以当 x=1时，有最小值，原函数有最大值显然，故原函数的值域为7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数的值域。解：

28、令，则又，由二次函数的性质可知当时，当时，故函数的值域为例 12. 求函数的值域。解：因即故可令故所求函数的值域为例 13. 求函数的值域。21yyy22220y2,0(1xxyt1x)0t (1tx243)21t (1tty220t0t1ymin0ty), 12) 1x(12xy0)1x(121) 1x(2, 0,cos1x1cossincos11cosy21)4sin(24540,0211)4sin(201)4sin(2221 ,01x2xxxy243精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 24 页精品资料欢迎下载解：原函

29、数可变形为：可令，则有当时，当时，而此时有意义。故所求函数的值域为例 14. 求函数，的值域。解：令，则由且可得：当时，当时，故所求函数的值域为。例 15. 求函数的值域。解：由，可得故可令222x1x1x1x221ytgx2222cosx1x1,2sinx1x24sin412cos2sin21y82k41ymax82k41ymintan41,41)1x)(cos1x(siny2,12x)1x)(cos1x(siny1xcosxsinxcosxsintxcosxsin) 1t (21xcosxsin222) 1t (211t)1t (21y)4/xsin(2xcosxsint2,12x2t22

30、2t223ymax22t2243y223,22432x54xy0 x525|x|, 0,cos5x4)4sin(10sin54cos5y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 24 页精品资料欢迎下载当时，当时，故所求函数的值域为：8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16. 求函数的值域。解：原函数可化简得：上式可以看成数轴上点P（x）到定点A（2） ，间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，当点P在线

31、段AB的延长线或反向延长线上时，故所求函数的值域为：例 17. 求函数的值域。解：原函数可变形为：上式可看成 x轴上的点到两定点的距离之和，由 图 可 知 当 点P为 线 段 与x轴 的 交 点 时 ，故所求函数的值域为例 18. 求函数的值域。045444/104ymax54ymin104,5422)8x()2x(y|8x|2x|y)8(B10|AB|8x|2x|y10|AB|8x|2x|y,105x4x13x6xy222222) 10()2x()20()3x(y)0,x(P) 1,2(B),2, 3(A43) 12()23(|AB|y22min,435x4x13x6xy22精选学习资料 -

32、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 24 页精品资料欢迎下载解：将函数变形为：上式可看成定点 A （3， 2） 到点P （x， 0） 的距离与定点到点的距离之差。即：由图可知： （1）当点 P在x轴上且不是直线 AB与x轴的交点时，如点， 则 构 成， 根 据 三 角 形 两 边 之 差 小 于 第 三 边 ， 有即：（2）当点P恰好为直线AB与 x轴的交点时，有综上所述，可知函数的值域为：注：由例 17 ，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A 、B两点在x 轴的两侧， 而求两距离之差时， 则要使 A， B两点在 x轴的同侧

33、。如：例 17的A，B两点坐标分别为： （3，2） ，在x 轴的同侧；例18的 A ，B两点坐标分别为（3，2） ，在 x轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19. 求函数的值域。解：原函数变形为：当且仅当2222) 10()2x()20() 3x(y)1 ,2(B)0,x(P|BP|AP|y PABP26) 12()23(|AB|BP| AP|2226y2626|AB|BP|AP|26,26() 1,2()1, 2(abc3cba,ab2ba3)Rc,b,a(4)

34、xcos1x(cos)xsin1x(siny2252xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222xcotxtan精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 24 页精品资料欢迎下载即当时，等号成立故原函数的值域为：例 20. 求函数的值域。解：当且仅当，即当时，等号成立。由可得：故原函数的值域为：10. 一一映射法原理：因为在定义域上 x与 y是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21. 求函数的值域。解：定义域为由得故

35、或解得故函数的值域为11. 多种方法综合运用4kx)zk(),5x2s inxsin2yxc o sxs inxsin4yxc o sxs in4227643/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224xsin22xs in2232xsi n22764y2938y938938,938)0c(dcxbaxy1x2x31y21x21x|x或1x2x31y3y2y1x213y2y1x213y2y1x23y23y或,2323,精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 24

36、 页精品资料欢迎下载例 22. 求函数的值域。解：令，则（1） 当时， 当且仅当t=1， 即时取等号，所以（2）当t=0 时，y=0 。综上所述，函数的值域为：注：先换元，后用不等式法例 23. 求函数的值域。解：令，则当时，当时，此时都存在，故函数的值域为注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。3x2xy)0t (2xt1t3x20t21t1t11tty21x21y021, 042432xx21xxx2x1y4234242xx21xxxx21xx21y2222x1xx1x12tanx2222cosx1x1sin21x1x21sin21sinsin21cosy22161741sin241sin1617ymax1sin2ymin2tan1617,2sin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 24 页