2022年高中圆锥曲线推论拓展 .pdf

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1、椭圆4点 P处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P处的外角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8设 A1、A2为椭圆的左、右顶点，则PF1F2在边 PF2或 PF1上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于 A2或 A1. 9椭圆22221xyababo的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.

2、10假设000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab. 11假设000(,)P xy在椭圆22221xyab外 ，则过 Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221x xy yab. 12 AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴且过原点的弦， M 为 AB 的中点， 则22OMABbkka. 13 假设000(,)Pxy在椭圆22221xyab内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 14假设000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po的弦

3、中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 15 假 设PQ是 椭 圆22221xyab a b 0 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则122222121111(|,|)rOPrOQrrab. 16假设椭圆22221xyabab0上中心张直角的弦L 所在直线方程为1AxBy(0)AB,则(1) 222211ABab;(2) 424222222 a Ab BLa Ab B. 17给定椭圆1C：222222b xa ya bab0, 2C：222222222()abb xa yabab,则(i)对1C上任意给定的点000(,)P xy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点 M

4、(2222002222(,)ababxyabab. (ii)对2C上任一点000(,)Pxy在1C上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过0P点. 18设000(,)Pxy为椭圆或圆 C:22221xyab(a0,. b0)上一点， P1P2为曲线 C 的动弦 ,且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为k1, k2, 则直线P1P2通过定点00(,)M mxmy(1)m的充要条件是212211m bkkm a. 19过椭圆22221xyab(a0, b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

5、- - - -第 1 页，共 18 页B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y常数 . 20椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12F PF，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PFSb，2222(tan,tan)22abPcbcc. 21假设 P 为椭圆22221xyabab0上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22accoac. 22椭圆22221xyabab0的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc, 2( ,0)Fc00(,)M

6、xy). 23假设椭圆22221xyabab0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当0e21时，可在椭圆上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 24P 为椭圆22221xyabab0上任一点,F1,F2为二焦点， A 为椭圆内一定点，则2112| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A FP三点共线时，等号成立 . 25椭圆22221xyabab0上存在两点关于直线l ：0()yk xx对称的充要条件是22220222()abxab k. 26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直 . 2

7、7过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 28P 是椭圆cossinxaybab0上一点，则点P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211sine. 29设 A,B 为椭圆2222(0,1)xyk kkab上两点，其直线AB 与椭圆22221xyab相交于,P Q,则APBQ. 30在椭圆22221xyab中，定长为2moma的弦中点轨迹方程为2222222221 ()cossinxyabmab,其中2222tanb xa y,当0y时, 90. 31设 S为椭圆22221xyabab0的通径，定长线段L 的两端点 A,B 在椭圆上移动，记精选学

8、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 18 页|AB|= l ，00(,)M xy是 AB 中点，则当 lS时，有20max()2alxce222(cab,cea);当 lS时，有220max()42axblb,0min()0 x. 32椭圆22221xyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC. 33 椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC. 34设椭圆22221xyabab0的两个焦点为F1、F2,P异

9、于长轴端点为椭圆上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sinsinsincea. 35经过椭圆222222b xa ya bab0的长轴的两端点A1和 A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于 P1和 P2，则212| |PAPAb. 36已知椭圆22221xyabab0 ，O 为坐标原点， P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.122221111|OPOQab;2|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a bab;3OPQS的最小值是2222a bab. 37MN 是经过椭圆222222b xa ya bab0过焦点的任一弦，假设 AB 是经过椭圆中

10、心O 且平行于 MN 的弦，则2|2|ABa MN. 38MN 是经过椭圆222222b xa ya bab0焦点的任一弦，假设过椭圆中心O 的半弦OPMN ，则2222111|a MNOPab. 39设椭圆22221xyabab0,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两顶点 )的交点N 在直线 l ：2axm(或2bym)上. 40设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于 M、N 两点，则

11、MFNF. 41过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点， A1P和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设椭圆方程22221xyab,则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线l ：ykx的共轭直线yk x上,而且22bkka. 43设 A、B、C、D 为椭圆22221xyab上四点 ,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为,，直线AB 与 CD 相交于 P,且 P不在椭圆上 ,则22222222| |cossin| |cossinPAPBbaPCPDba. 44已知椭圆22221xyabab0,点 P 为其上一点 F1, F

12、2为椭圆的焦点，12F PF的外内角平分线为 l ，作 F1、F2分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时， R、S 形成的轨迹方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 18 页222xya(2222222()() ()()b yace xcxycxce xc). 45设 ABC 内接于椭圆，且 AB 为的直径， l 为 AB 的共轭直径所在的直线，l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l 上一点，则 CD 与椭圆相切的充要条件是D 为 EF 的中点 . 46过椭圆22221xyabab0的右焦点 F

13、 作直线交该椭圆右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 47设 Ax1 ,y1是椭圆22221xyabab0上任一点，过 A 作一条斜率为2121b xa y的直线L，又设 d 是原点到直线L 的距离 , 12,r r分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则1 2rr dab. 48已知椭圆22221xyab ab0和2222xyab 01 ，一直线顺次与它们相交于A、B、C、D 四点，则 AB=|CD. 49已知椭圆22221xyab ab0 ,A、B、是椭圆上的两点， 线段 AB 的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)P x, 则22220ababxaa.

14、50设P 点是椭圆22221xyab ab0上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 1 22tan2PF FSb. 51设过椭圆的长轴上一点Bm,o作直线与椭圆相交于P、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点 ， 连 结AP和AQ分 别 交 相 应 于 过B点 的 直 线MN ：xn于M ， N两 点 , 则90MBN222()amaambna. 52L 是经过椭圆22221xyab ab0长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线， E、F 是椭圆两个焦点， e 是离心率 ,点 PL ，假设EPF，则是锐角且 sine或sinarce当且仅当|

15、abPHc时取等号 . 53L 是椭圆22221xyab ab0的准线， A、B 是椭圆的长轴两顶点 ,点 PL ，e 是离心率，EPF，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则是锐角且 sine或sinarce当且仅当|abPHc时取等号 . 54L 是椭圆22221xyab ab0的准线， E、F 是两个焦点， H 是 L 与 x 轴的交点，点PL ，EPF,离心率为 e，半焦距为c，则为锐角且2sine或2sinarce当且仅当22|bPHacc时取等号 . 55已知椭圆22221xyab ab0 ，直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点，将 A、B 与椭圆左焦

16、点 F1连结起来，则2222112(2)| |abbF AF Ba当且仅当 ABx 轴时右边不等式取等号，当且仅当A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 18 页56设 A、B 是椭圆22221xyab ab0的长轴两端点， P 是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA， c、 e 分 别 是 椭 圆 的半 焦距 离 心 率 ， 则 有 (1)22222| cos|sabPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 57设 A、B 是椭圆22

17、221xyab ab0长轴上分别位于椭圆内异于原点 、外部的两点，且Ax、Bx的横坐标2ABxxa， 1假设过A 点引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，则PBAQBA； 2假设过 B 引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，则180PBAQBA. 58设 A、B 是椭圆22221xyab ab0长轴上分别位于椭圆内异于原点 ，外部的两点， 1假设过 A 点引直线与这椭圆相交于P、Q 两点， 假设 B P 交椭圆于两点，则P、Q 不关于 x 轴对称 ，且PBAQBA，则点 A、B 的横坐标Ax、Bx满足2ABxxa； 2假设过 B 点引直线与这椭圆相交于P、Q 两点，且180PBAQBA,则点 A、B

18、的横坐标满足2ABxxa. 59设,A A是椭圆22221xyab的长轴的两个端点，QQ是与AA 垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点 P 的轨迹是双曲线22221xyab. 60 过 椭 圆22221xyaba b 0的 左 焦 点 F 作 互 相 垂 直的 两条 弦 AB 、 CD 则2222282()|ababABCDaba. 61到椭圆22221xyab ab0两焦点的距离之比等于acbc 为半焦距的动点M 的轨迹是姊妹圆222()xayb. 62到椭圆22221xyab ab0的长轴两端点的距离之比等于acbc 为半焦距的动点 M 的轨迹是姊妹圆222()( )abxyee. 63到椭圆

19、22221xyab ab0的两准线和 x 轴的交点的距离之比为acbc 为半焦距的动点的轨迹是姊妹圆22222()()abxyeee 为离心率 . 64已知P 是椭圆22221xyab ab 0上一个动点，,AA是它长轴的两个端点,且AQAP,AQA P，则 Q 点的轨迹方程是222241xb yaa. 65椭圆的一条直径 (过中心的弦 )的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项 . 66设椭圆22221xyab ab0长轴的端点为,A A,11(,)P xy是椭圆上的点过P 作斜率为2121b xa y的直线 l ，过,A A分别作垂直于长轴的直线交l 于,M M,则精选

20、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 18 页12|AMAMb.2四边形MAAM 面积的最小值是 2ab. 67已知椭圆22221xyab ab0的右准线 l 与 x 轴相交于点 E，过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点 ,点C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点 . 68OA、OB 是椭圆2222()1xayab a0,b0的两条互相垂直的弦， O 为坐标原点，则1直线 AB 必经过一个定点2222(,0)abab.(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点Q 的轨迹方

21、程是222222222()()ababxyabab(0)x. 69(, )P m n是椭圆2222()1xayabab0上一个定点， P A、P B 是互相垂直的弦，则1直线 AB 必经过一个定点2222222222()()(,)abm abn baabab.2以 P A、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是22224222222222222()()()()aba mb nabnabxyababab( xm且 yn). 70 如果一个椭圆短半轴长为b， 焦点 F1、 F2到直线 L 的距离分别为 d1、 d2， 那么 1212d db，且 F1、F 2在 L 同侧直线 L 和椭圆

22、相切 .2212d db，且 F1、F2在 L 同侧直线 L 和椭圆相离， 3212d db，或 F1、F2在 L 异侧直线 L 和椭圆相交 . 71AB 是椭圆22221xyabab0的长轴， N 是椭圆上的动点，过N 的切线与过 A、B的切线交于 C 、 D 两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点M 的轨迹方程是22241(0)xa yy. 72设点00(,)P xy为椭圆22221xyab ab0的内部一定点， AB 是椭圆22221xyab过定点00(,)P xy的 任 一 弦 ， 当 弦AB平 行 或 重 合 于 椭 圆 长 轴 所 在 直 线 时22222200max2()(| |

23、)a ba yb xPAPBb. 当弦AB垂直于长轴所在直线时, 22222200min2()(| |)a ba yb xPAPBb. 73椭圆焦三角形中 , 以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值a+c 与 a-c. 76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c. 77椭圆焦三角形中 , 内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率 ). 注: 在椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78椭圆焦三角形中 ,

24、 内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 79椭圆焦三角形中 , 半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80椭圆焦三角形中 , 椭圆中心到内点的距离、 内点到同侧焦点的距离、 半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例 . 81椭圆焦三角形中 , 半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例 . 82椭圆焦三角形中 , 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线, 则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83椭圆焦三角形中 , 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线, 则椭圆中心与垂足的距离精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

25、- - - - - -第 6 页，共 18 页为椭圆长半轴的长 . 84椭圆焦三角形中 , 过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线, 垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85 椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e. 86椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87椭圆焦三角形中 , 非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88椭圆焦三角形中 , 过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交, 则以两交点为直径的圆必过两焦点 . 89. 已知椭圆22221(0,0)xyabab(包括圆在内 )上有一

26、点 P ,过点 P 分别作直线byxa及byxa的平行线，与直线 OP 分别交于,R Q,O为原点，则： . 1222|OMONa； 2222|OQORb. 90. 过平面上的 P点作直线1:blyxa及2:blyxa的平行线，分别交x轴于,MN，交 y 轴于,R Q. 1 假 设222|OMONa， 则 P 的 轨 迹 方 程 是22221(0,0)xyabab.(2) 假 设222|OQORb，则 P 的轨迹方程是22221(0,0)xyabab. 91. 点 P 为椭圆22221(0,0)xyabab(包括圆在内 )在第一象限的弧上任意一点，过P 引x轴、 y 轴的平行线，交y 轴、x轴

27、于,M N，交直线byxa于,Q R，记OMQ与ONR的面积为12,S S，则：122abSS. 92. 点 P 为第一象限内一点，过P 引x轴、 y 轴的平行线，交y 轴、x轴于,MN，交直线byxa于,Q R，记OMQ与ONR的面积为12,S S，已知122abSS，则 P 的轨迹方程是22221(0,0)xyabab. 双曲线4点 P处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P处的内角 . 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必

28、与以实轴为直径的圆外切. 8设 A1、A2为双曲线的左、右顶点，则PF1F2在边 PF2或 PF1上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于 A2或 A1. 9双曲线22221xyaba0,b0的两个顶点为1(,0)Aa,2( ,0)A a，与 y 轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab. 10假设000(,)P xy在双曲线22221xyab a0,b0上，则过0P的双曲线的切线方程是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 18 页00221x xy yab. 11假设000(

29、,)Pxy在双曲线22221xyaba0,b0外 ，则过 Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab. 12AB 是双曲线22221xyaba0,b0的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则22OMABbkka. 13假设000(,)P xy在双曲线22221xyaba0,b0内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab. 14假设000(,)Pxy在双曲线22221xyaba0,b0内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab. 15 假 设PQ 是 双 曲

30、线22221xyab b a 0 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则122222121111(|,|)rOPrOQrrab. 16 假设双曲线22221xyabba 0 上中心张直角的弦 L 所在直线方程为1AxBy(0)AB,则(1) 222211ABab;(2) 424222222|a Ab BLa Ab B. 17给定双曲线1C：222222b xa ya bab0, 2C：222222222()abb xa yabab,则(i)对1C上任意给定的点000(,)P xy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点 M(2222002222(,)ababxyabab. (ii)对2C上任一

31、点000(,)Pxy在1C上存在唯一的点M ,使得M 的任一直角弦都经过0P点. 18设000(,)Pxy为双曲线22221xyaba0,b0上一点，P1P2为曲线 C 的动弦 ,且弦 P0P1, P0P2斜率存在，记为 k1, k 2, 则直线 P1P2通过定点00(,)M mxmy(1)m的充要条件是212211m bkkm a. 19过双曲线22221xyaba0,bo上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y常数 . 20双曲线22221xyaba0,bo的左右焦点分别为F1，F2，点 P 为双曲线上任

32、意一点12F PF，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PFSb co，2222(tan,cot)22abPcbcc. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 18 页21假设 P 为双曲线22221xyaba0,b0右或左支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点 , 12PF F, 21PF F，则tant22cacoca或tant22cacoca. 22双曲线22221xyaba0,bo的焦半径公式： (1(,0)Fc, 2( ,0)Fc当00(,)M xy在右支上时，10|MFexa,20|MFexa. 当00(,)

33、M xy在左支上时，10|MFexa,20|MFexa. 23假设双曲线22221xyaba0,b0的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为 L，则当1e21时，可在双曲线上求一点P，使得 PF1是 P到对应准线距离d 与 PF2的比例中项 . 24P 为双曲线22221xyaba0,b0上任一点 ,F1,F2为二焦点， A 为双曲线内一定点，则21|2|AFaPAPF,当且仅当2,A FP三点共线且 P 和2,A F在 y 轴同侧时，等号成立 . 25双曲线22221xyaba0,b0上存在两点关于直线l ：0()yk xx对称的充要条件是22220222()abxab k. 26过双曲线焦半

34、径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直 . 28P 是双曲线sectanxayba0，b0上一点，则点P 对双曲线两焦点张直角的充要条件是2211tane. 29设 A,B 为双曲线2222xykaba0,b0，0,1kk上两点，其直线AB 与双曲线22221xyab相交于,P Q,则APBQ. 30在双曲线22221xyab中，定长为 2mm0的弦中点轨迹方程为2222222221()cossinxyabmab,其中2222tanb xa y,当0y

35、时, 90. 31设 S 为双曲线22221xyaba0,bo的通径，定长线段L 的两端点 A,B 在双曲线上移动， 记|AB|= l ，00(,)M xy是 AB 中点， 则当 lS时， 有20min()2alxce222(cab,cea);当 lS时，有220min()42axblb. 32 双 曲 线22221xyab a 0,b 0 与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是22222A aB bC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页33双曲线220022()()1xxyyaba0,b0

36、与直线0AxByC有公共点的充要条件是2222200()A aB bAxByC. 34设双曲线22221xyaba0,b0的两个焦点为 F1、F2,P异于长轴端点为双曲线上任意一点，在 PF1F2中，记12F PF, 12PF F,12F F P，则有sin(sinsin)cea. 35经过双曲线22221xyaba0,b0的实轴的两端点A1和 A2的切线，与双曲线上任一点的切线相交于 P1和 P2，则212| |PAPAb. 36 已知双曲线22221xyabba 0 ， O 为坐标原点，P、 Q 为双曲线上两动点， 且OPOQ.122221111|OPOQab;2|OP|2+|OQ|2的最

37、小值为22224a bba;3OPQS的最小值是2222a bba. 37MN 是经过双曲线22221xyaba0,b0过焦点的任一弦 (交于两支 )，假设 AB 是经过双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦，则2|2|ABa MN. 38MN 是经过双曲线22221xyabab0焦点的任一弦 (交于同支 )，假设过双曲线中心O的半弦 OPMN ，则2222111|a MNOPab. 39设双曲线22221xyaba0,b0,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与双曲线相交于P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点 )的交点 N 在直线l ：2

38、axm上. 40设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交P、Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M、N 两点，则 MFNF. 41过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点， A1P和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设双曲线方程22221xyab,则斜率为k(k0)的平行弦的中点必在直线l ：ykx的共轭直线yk x上,而且22bkka. 43设 A、B、C、D 为双曲线22221xyaba0,bo上四点 ,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为,，直线 AB 与

39、 CD 相交于 P, 且 P不在双曲线上 ,则22222222| |cossin| |cossinPAPBbaPCPDba. 44已知双曲线22221xyaba0,b0,点 P 为其上一点 F1, F 2为双曲线的焦点，12F PF的外内角平分线为 l ，作 F1、F2分别垂直 l 于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时， R、S 形成的轨迹方程是222xya(322224223222()()() ()a b xcabxb ca cxc yab c y). 45设ABC 三顶点分别在双曲线上，且 AB 为的直径，l 为 AB 的共轭直径所在的直线，精选学习资料 - - - - - - - - -

40、 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l 上一点，则 CD 与双曲线相切的充要条件是D 为 EF的中点 . 46过双曲线22221xyaba0,b0的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则|2PFeMN. 47设 Ax1 ,y1是双曲线22221xyaba0,b0上任一点，过 A 作一条斜率为2121b xa y的直线 L，又设 d 是原点到直线L 的距离 , 12,r r分别是 A 到双曲线两焦点的距离，则1 2rr dab. 48已知双曲线22221xya

41、ba0,b0和2222xyab01 ，一条直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则 AB=|CD. 49已知双曲线22221xyaba0,b0,A、B 是双曲线上的两点，线段AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x, 则220abxa或220abxa. 50设 P 点是双曲线22221xyaba0,b0上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF，则(1)2122|1cosbPFPF.(2) 1 22cot2PF FSb. 51设过双曲线的实轴上一点Bm,o作直线与双曲线相交于P、Q 两点，A 为双曲线实轴的左顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于过B 点的直线M

42、N ：xn于 M ，N 两点 ,则90MBN222()amaambna. 52L 是经过双曲线22221xyaba0,b0焦点 F 且与实轴垂直的直线， A、B 是双曲线实轴的两个焦点， e 是离心率 ,点 PL ，假设EPF，则是锐角且1sine或1sinarce当且仅当|abPHc时取等号 . 53L 是经过双曲线22221xyaba0,b0的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线， E、F 是双曲线的准线与 x 轴交点 ,点 PL ，e是离心率，EPF，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则是锐角且1sine或1sinarce当且仅当|abPAc时取等号 . 54L 是双曲线222

43、21xyaba0,b0焦点 F1且与 x 轴垂直的直线， E、F 是双曲线准线与x 轴交点， H 是 L 与 x 轴的交点，点 PL ，EPF,离心率为 e，半焦距为 c，则为锐角且21sine或21sinarce当且仅当221|bPFacc时取等号 . 55已知双曲线22221xyaba0,b0 ，直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交于A、B 两点，将 A、B 与双曲线左焦点 F1连结起来，则222112(2)| |abF AF Ba当且仅当 ABx 轴时取等号 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页

44、56 设 A、 B 是双曲线22221xyaba0,b0 的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)22222|cos|s|abPAac co.(2) 2tantan1e.(3) 22222cotPABa bSba. 57设 A、B 是双曲线22221xyaba0,b0实轴上分别位于双曲线一支内含焦点的区域 、外部的两点，且Ax、Bx的横坐标2ABxxa， 1假设过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，则PBAQBA； 2假设过 B 引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点，则180PBAQBA. 58设 A、B 是双曲

45、线22221xyaba0,b0实轴上分别位于双曲线一支内含焦点的区域 ，外部的两点，1假设过 A 点引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点， 假设 B P 交双曲线这一支于两点，则P、Q 不关于 x 轴对称 ，且PBAQBA，则点 A、B 的横坐标Ax、Bx满足2ABxxa； 2假设过 B 点引直线与双曲线这一支相交于P、Q 两点，且180PBAQBA,则点 A、B 的横坐标满足2ABxxa. 59 设,A A是双曲线22221xyab的实轴的两个端点，QQ是与AA 垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点 P 的轨迹是双曲线22221xyab. 60过双曲线22221xyab a 0,b0的右焦点F

46、 作互相垂直的两条弦AB 、 CD,则2228|abABCDab. 61到双曲线22221xyaba0,b0两焦点的距离之比等于cabc 为半焦距的动点M的轨迹是姊妹圆222()()xecyeb. 62到双曲线22221xyaba0,b0的实轴两端点的距离之比等于cabc 为半焦距的动点 M 的轨迹是姊妹圆222()xayb. 63到双曲线22221xyaba0,b0的两准线和 x 轴的交点的距离之比为cabc 为半焦距的动点的轨迹是姊妹圆222()( )bxayee 为离心率 . 64已知P 是双曲线22221xyaba0,b0上一个动点，,A A是它实轴的两个端点,且AQAP,AQA P，

47、则 Q 点的轨迹方程是222241xb yaa. 65双曲线的一条直径 (过中心的弦 )的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实轴之长的比例中项 . 66设双曲线22221xyaba0,b0实轴的端点为,A A,11(,)P x y是双曲线上的点过P 作斜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页率为2121b xa y的直线 l ，过,A A分别作垂直于实轴的直线交l 于,M M,则12|AMAMb.2四边形MAAM 面积的最小值是 2ab. 67已知双曲线22221xyaba0,b0的右准线 l 与 x 轴相交于

48、点 E ，过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于A、B 两点,点 C 在右准线 l 上，且 BCx 轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 68OA、OB 是双曲线2222()1xayaba0,b0,且ab的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则 1直线 AB 必经过一个定点2222(,0)abba.(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是222222222()()ababxybaba(0)x. 69(, )P m n是双曲线2222()1xayaba0,b0上一个定点， P A、P B 是互相垂直的弦，则1直线 AB 必经过一个定点2222222222()(

49、)(,)abm ban abbaba.2以 P A、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是22224222222222222()()()()aba mb nabnabxybababa( xm且 yn). 70 如果一个双曲线虚半轴长为b， 焦点 F1、 F2到直线 L 的距离分别为 d1、 d2， 那么 1212d db，且 F1、F 2在 L 同侧直线 L 和双曲线相切 ,或 L 是双曲线的渐近线 .2212d db，且 F1、F2在L 同侧直线 L 和双曲线相离，3212d db，或 F1、F2在 L 异侧直线 L 和双曲线相交 . 71AB 是双曲线22221xyaba0,b

50、0的实轴， N 是双曲线上的动点，过N 的切线与过A、 B 的切线交于 C 、 D 两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是22241(0)xa yy. 72设点00(,)P xy为双曲线22221xyaba0,b0的内部 (含焦点的区域 )一定点， AB是双曲线过定点00(,)P xy的任一弦 . (1)如 ab ,则当弦 AB 垂直于双曲线实轴所在直线时22222200min2()(| |)b xa ya bPAPBa. (2) 如 ab , 则 当 弦AB平 行 或 重 合 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 , 22222200min2()(| |)b xa y