高中数学一轮复习课件-正弦定理和余弦定理.pptx

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1、正弦定理和余弦定理考试要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.在在ABC中，若角中，若角A，B，C所对的边分别是所对的边分别是a，b，c，R为为ABC外接圆半径，外接圆半径，则则1.正、余弦定理正、余弦定理2.在在ABC中，已知中，已知a，b和和A时，解的情况如下：时，解的情况如下：A为锐角为锐角A为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系式关系式absin Absin Aabab解的个数解的个数_一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解3.三角形常用面积公式三角形常用面积公式常用结论解解(1)三角形中三边之比等于相应的三

2、个内角的正弦值之比三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边已知三角时，不可求三边.(4)当当b2c2a20时，时，ABC不一定为锐角三角形不一定为锐角三角形.1.思考辨析思考辨析(在括号内打在括号内打“”“”或或“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在在ABC中，若中，若sin Asin B，则，则AB.()(3)在在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当当b2c2a20时，时，ABC为锐角三角形；当为锐角三角形；当b2c2a20时

3、，时，ABC为为直角三角形；当直角三角形；当b2c2a20，所以，所以BDb.例例1 (2021新高考新高考卷卷)记记ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c.已知已知b2ac，点，点D在边在边AC上，上，BDsin ABCasin C.(1)证明：证明：BDb.(2)若若AD2DC，求，求cos ABC.解解法一法一如图所示，过点如图所示，过点D作作DEBC交交AB于于E，因为因为AD2DC，因为因为BEDABC，所以所以cosBEDcos ABC，化简得化简得3c26a211ac0，方程两边同时除以方程两边同时除以a2，因为因为BDb，所以所以9b24a24accos

4、ABCc2.又又b2aca2c22accosABC，所以所以，得，得8ac3a26accosABC，(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以

5、把已知条件化为三角形边的可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系关系.因为因为bc，所以，所以B0，(2)设设ABC的内角的内角A，B，C所对的边分别为所对的边分别为a，b，c，若，若bcos Cccos Basin A，则，则ABC的形状为的形状为_.直角三角形直角三角形ABC为直角三角形为直角三角形.考点和三角形面积有关的问题所以所以a2c23ac3412，解解若选若选，由于，由于ABC的内角的内角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，且，且btan A(2cb)tan B，sin B0，sin Acos B2sin Ccos Asin Bcos A，

6、即即sin(AB)2sin Ccos A，即即sin C2sin Ccos A.化简可得化简可得2cos2Acos A1，则则bc2a.(2)求求ABC的面积的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.解解由由(1)及余弦定理可得及余弦定理可得a2b2c2bc(bc)23bc.与三角形面积有关问题的解题策略：与三角形面积有关问题的解题策略：(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积；(2)把面积作为已知条件之把面积作为已知条

7、件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.注：如果选择条件注：如果选择条件和条件和条件分别解答，按第一个解答计分分别解答，按第一个解答计分.训练训练3 (2020北京卷北京卷)在在ABC中，中，ab11，再从条件，再从条件、条件、条件这两个条件这两个条件中选择一个作为已知，求：中选择一个作为已知，求：(1)a的值；的值；(2)sin C和和ABC的面积的面积.且且ab11.(1)在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得解得解得a8.在在ABC中，由正弦定理，得中，由正弦定理，得ab11，a8，b3，且且ab11.在在ABC中，由正弦定理，可

8、得中，由正弦定理，可得又又ab11，a6，b5.(2)sin Csin(AB)sin(AB)sin Acos Bcos Asin B射影定理的应用设设ABC的三边是的三边是a，b，c，它们所对的角分别是，它们所对的角分别是A，B，C，则有，则有：abcos Cccos B；bccos Aacos C；cacos Bbcos A.注：以注：以“abcos Cccos B”为例，为例，b，c在在a上的射影分别为上的射影分别为bcos C，ccos B，故名射影定理故名射影定理.证明证明如图，在如图，在ABC中，中，ADBC，则，则bcos CCD，ccos BBD，故故bcos Cccos BCD

9、BDBCa，即，即abcos Cccos B，同理可证同理可证bccos Aacos C，cacos Bbcos A.解解法一法一因为因为sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，所以所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin(AC)，所以所以sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B，例例 在在ABC中，角中，角A，B，C的对边分别为的对边分别为a，b，c，若，若ABC为锐角三角形，为锐角三角形，且满足且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，则下列等式成立的是，则下列等式成立的是()A

10、.a2b B.b2aC.A2B D.B2AA即即cos C(2sin Bsin A)0，所以所以cos C0或或2sin Bsin A，即即C90或或2ba，又又ABC为锐角三角形，所以为锐角三角形，所以0C90，故，故2ba.法二法二由正弦定理和余弦定理得由正弦定理和余弦定理得所以所以a2b2c2或或2ba，又又ABC为锐角三角形，所以为锐角三角形，所以a2b2c2，故，故2ba.法三法三由正弦定理及由正弦定理及sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C得得b2bcos C2acos Cccos Aacos C(acos Cccos A)acos Cb，即即2bcos Cacos C，又又因为因为ABC为锐角三角形为锐角三角形，所以所以cos C0，则，则2ba.