2022年高中数学-数列求和的类型及方法例题解析-新人教A版 .pdf

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1、学习必备欢迎下载数列求和的类型及方法一、分组求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可。例： Sn=-1+3-5+7- +(-1)n(2n-1) 解法：按n 为奇偶数进行分组，连续两项为一组。当 n 为奇数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ +(-2n+1) =221n+(-2n+1) =-n 当 n 为偶数时：Sn=(-1+3)+(-5+7)+(-9+11)+ +(-2n+3)+(2n+1) =22n=n Sn=练习：求数列的前n 项和：231,71,41, 1112naaan，解：

2、设)231()71()41() 11(12naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12naaaSnn（分组）当 a1 时，2) 13(nnnSn2) 13(nn（分组求和）当1a时，2) 13(1111nnaaSnn2)13(11nnaaan二、错位相减这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列2nbn 的前 n 项和，其中 2n 、 bn 分别是等差数列和等比数列。例：求数列2,222,323,424,n2n, 的前 n 项和。解：Sn=2+2 22+323+424+ n2n2Sn= 22+2 23+3 24+n2n+1-n (n

3、为奇数 ) n （ n 为偶数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载(1-2) Sn=2+ 22+ 23+2n- n2n+1=1122212nnn11 22()nnSn练习：求数列,22,26,24,2232nn前 n 项的和 . 解：由题可知，nn22的通项是等差数列2n 的通项与等比数列n21的通项之积设nnnS222624223214322226242221nnnS（设制错位）得1432222222222222)211 (nnnnS（错位相减）1122212nnn1224nnnS三、倒序相加法如果

4、一个数列中，与首末两端“等距离”的两项之和(或“系数”之和 )等于首末两项之和（或等于首末两项“系数”之和）， 那么就可以把正着写的和与倒着写的和的两个和式相加，从而可求出数列的前 n和例 8 已知函数11( )31xf x，数列na中，123123( ),( ),( )afafafnnn，( )kkafn，11(),( )nnnnafafnn，求数列na的前 n 项和nS解：1111( )(1)3131xxf xfx=1111313113xxx，123()( )( )nSfffnnn+1()nfn+()nfn，设1231( )( )( )()nSffffnnnn把上式右边倒序得：1221()

5、()( )( )nnSffffnnnn两式相加得11222( )()( )()nnSffffnnnn+ +11()()nffnn=1nn，2nS1( )(1)(1)22nnnSSffnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载四、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如：例：求数列311，421，531，)2(1nn，的前n 项和 S 解：)2(1nn=211(21nn）Sn=)211(

6、)4121()311(21nn=)2111211 (21nn=42122143nn例 4 求数列11nn的前 n 项和nS解：因为1nann，所以nS=(21)+(32)+(43)+ +(1nn)=11n例5已知数列na的前 n 项和nS满足：20nnSSnn，求数列11nnaa的前 n 项和nT解：由已知得()(1)0nnSnSn，所以0nSn，即2nSn1111naS当时,当 n2 时, 221(1)nnnaSSnn=2n-1所以，数列na的通项公式为21nan因为11nnaa1(21) (21)nn111()2 2121nn所以，nT111 11(1)()232 35111()2 212

7、1nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载=11(1)22121nnn解析：要先观察通项类型，在裂项求和，而且要注意剩下首尾两项，还是剩下象上例中的四项，后面还很可能和极限、求参数的最大小值联系。五、通项分析法通过对数列的通项进行分析、整理，从中发现数列求和的方法，这也是求数列前n 项和的一种基本方法例9已知数列na中，21231,121,12221 ,aaa23241222221 ,a求数列na的前 n 项和nS解：数列na的通项公式是：21212222nnna222121(1222)n23(22nn2221)112121212nn1(21)(21)nn13 22n，2(3 12)(3 22)(3 22)nS+ 1(3 22)n213(1 222)2nn3(12 )23 23212nnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页