2022年高中数学《三角函数》详解+公式+精题 .pdf

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1、高中数学三角函数详解+公式+ 精题附讲解引言三角函数是中学数学的基本重要内容之一，三角函数的定义及性质有许多独特的表现， 是高考中对基础知识和基本技能进行考查的一个内容。其考查内容包括：三角函数的定义、图象和性质，同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦、正切。两倍角的正弦、余弦、正切。、正弦定理、余弦定理，解斜三角形、反正弦、反余弦、反正切函数。要求掌握三角函数的定义，图象和性质，同角三角函数的基本关系，诱导公式，会用“五点法”作正余弦函数及 的简图；掌握基本三角变换公式进行求值、化简、证明。了解反三角函数的概念，会由已知三角函数值求角并能用反三角函数符号表示。由于新教材删去

2、了半角公式， 和差化积， 积化和差公式等内容， 近年的高考基本上围绕三角函数的图象和三角函数的性质， 以及简单的三角变换来进行考查，目的是考查考生对三角函数基础知识、基本技能、基本运算能力掌握情况。2 近年来高考对三角部分的考查多集中在三角函数的图象和性质，重视对三角函数基础知识和技能的考查。 每年有 2 3 道选择题或填空题，或 1 2 道选择、 填空题和1 道解答题。总的分值为15 分左右，占全卷总分的约10 左右。 1 关于三角函数的图象立足于正弦余弦的图象，重点是函数的图象与y=sinx 的图象关系。根据图象求函数的表达式，以及三角函数图象的对称性。如2000 年第 5 题、 17 题

3、的第二问。 2 求值题 这类问题在选择题、填空题、解答题中出现较多， 主要是考查三角的恒等变换。 如 2002 年 15 题。 3 关于三角函数的定义域、 值域和最值问题 4 关于三角函数的性质包括奇偶性、单调性、周期性。一般要先对已知的函数式变形，化为一角一函数处理。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 28 页如 2001 年 7 题。 5 关于反三角函数，2000 2002 年已连续三年不出现。 6 三角与其他知识的结合如1999 年第 18 题复数与三角结合今后有关三角函数仍将以选择题、填空题和解答题三种题型出现，难度

4、不会太大，会控制在中等偏易的程度；三角函数如果在解答题出现的话，应放在前两题的位置， 放在第一题的可能性最大， 难度不会太大。 二、 复习策略1、近几年的高考已经坚决抛弃对复杂三角变换及特殊技巧的考查，重点已转移到对基础和基本技能的考查上。 所以复习中用好教材、打好基础犹为重要。 1 一定要掌握好三角函数的图象，特别是的图象的五点法作图及平移、伸缩作图。 2 熟知三角函数的基本性质、切实掌握判定三角函数奇偶性、确定单调区间及求周期的方法。 3 熟练掌握三角变换的基本公式，弄清公式的推导关系和互相联系，把基本公式记准用熟。* 三角函数公式大全锐角三角函数公式sin = 的对边 / 斜边cos =

5、 的邻边 / 斜边tan = 的对边 / 的邻边cot = 的邻边 / 的对边倍角公式Sin2A=2SinA?CosA 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 28 页Cos2A=CosA2-SinA2=1-2SinA2=2CosA2-1 tan2A=2tanA /1-tanA2注： SinA2 是 sinA 的平方sin2 A 三倍角公式sin3 =4sin sin( /3+ )sin( /3- ) cos3 =4cos cos( /3+ )cos( /3- ) tan3a = tan a tan( /3+a) tan( /3

6、-a) 三倍角公式推导sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式Asin +Bcos =(A2+B2)(1/2)sin( +t) ，其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin +Bcos =(A2+B2)(1/2)cos( -t) ，tant=A/B 降幂公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 28 页sin2( )=(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2 cos2( )=(1+cos(2 )/2=co

7、vers(2 )/2 tan2( )=(1-cos(2 )/(1+cos(2 ) 推导公式tan +cot =2/sin2tan -cot =-2cot21+cos2 =2cos21-cos2 =2sin21+sin =(sin /2+cos /2)2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4si

8、n³a =4sina(3/4-sin²a) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 28 页=4sina( 3/2)²-sin²a =4sina(sin²60 -sin²a) =4sina(sin60 +sina)(sin60 -sina) =4sina*2sin(60+a)/2cos(60 -a)/2*2sin(60 -a)/2cos(60 -a)/2 =4sinasin(60 +a)sin(60 -a) cos3a=4cos³a-3cosa =4cosa(

9、cos²a-3/4) =4cosacos²a-( 3/2)² =4cosa(cos²a-cos²30 ) =4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30 ) =4cosa*2cos(a+30 )/2cos(a-30 )/2*-2sin(a+30 )/2sin(a-30 )/2 =-4cosasin(a+30 )sin(a-30 ) =-4cosasin90 -(60 -a)sin-90 +(60 +a) =-4cosacos(60 -a)-cos(60 +a) =4cosacos(60 -a)cos(60 +a) 上述两式相比可得

10、tan3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a) 半角公式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 28 页tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin2(a/2)=(1-cos(a)/2 cos2(a/2)=(1+cos(a)/2 tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a) 三角和sin( + + )=sin cos cos +cos sin cos +cos c

11、os sin -sin sinsin cos( + + )=cos cos cos -cos sin sin -sin cos sin -sin sin cos tan( + + )=(tan +tan +tan -tan tan tan )/(1-tantan -tan tan -tan tan ) 两角和差cos( + )=cos cos -sin sincos( - )=cos cos +sin sinsin( )=sin cos cos sintan( + )=(tan +tan )/(1-tantan ) tan( - )=(tan -tan )/(1+tantan ) 和差化积si

12、n +sin = 2 sin( + )/2 cos( -)/2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 28 页sin -sin = 2 cos( + )/2 sin( -)/2 cos +cos = 2 cos( + )/2 cos( -)/2 cos -cos = -2 sin( + )/2 sin( - )/2 tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差sin s

13、in = cos( - )-cos( + ) /2 cos cos = cos( + )+cos( - )/2 sin cos = sin( + )+sin( - )/2 cos sin = sin( + )-sin( - )/2 诱导公式sin(- ) = -sin cos(- ) = cos tan ( a)=-tansin( /2- ) = cos cos( /2- ) = sin sin( /2+ ) = cos cos( /2+ ) = -sin 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 28 页sin( - ) = s

14、in cos( - ) = -cos sin( + ) = -sin cos( + ) = -cos tanA= sinA/cosA tan /2 cot tan /2 cot tan tan tan tan 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin =2tan( /2 /1+tan (/2) cos = 1-tan ( /2) /1+tan(/2) tan =2tan( /2)/ 1-tan ( /2) 其它公式(1)(sin )2+(cos )2=1 (2)1+(tan )2=(sec )2 (3)1+(cot )2=(csc )2 精选学习资料 - - - - - - -

15、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 28 页证明下面两式,只需将一式 ,左右同除 (sin )2, 第二个除 (cos )2 即可(4)对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B= -C tan(A+B)=tan( -C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan -tanC)/(1+tan tanC) 整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证同样可以得证,当 x+y+z=n (nZ)时,该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下

16、结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA 2+(cosB2+(cosC2=1-2cosAcosBcosC (8)sinA 2+ sinB 2+ sinC 2=2+2cosAcosBcosC (9)sin +sin( +2 /n)+sin( +2 *2/n)+sin( +2 *3/n)+sin +2 *(n-1)/n=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 28 页cos +

17、cos( +2 /n)+cos( +2 *2/n)+cos( +2 *3/n)+ +cos +2 *(n-1)/n=0 以及sin2( )+sin2( -2 /3)+sin2( +2 /3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 * 三角函数专题复习：1求函数的初相的问题2函数的图象及应用3三角函数的最值问题4角的拆拼在求值中的应用教学目的通过对四个三角函数中的热点问题的专题研究，引导学生复习三角函数中的主要知识点和重点题型的解题方法，深层挖掘三角函数的内在联系，尽量使学生对三角函数知识的掌握融会贯穿。教学重点、难点精选学习资料 - - - - -

18、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 28 页上述四个专题中涉及的核心思想知识分析一求函数的初相的问题在三角函数问题中，我们经常遇到求函数的初相的问题，这一类问题是学习中的难点， 又是高考中的热点，现在我们将相关题型进行归纳，帮助同学们复习相关知识：1、由图象求此类问题，解题的关键是从图象特征入手，寻找解题的突破口。例 1. 如图 1 所示函数的图象，由图可知图 1 A. B. C. D. 解：由已知，易得A2 函数图象过 0，1和，再考虑到精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 28 页

19、故选 C。例 2. 2005年福建函数的部分图象如图 2 所示，则图 2 A. B. C. D. 解：由图象知点3，0是在函数的单调递减的那段曲线上。因此令，得，故选 C。2、由奇偶性求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 28 页例 3. 2003 全国已知函数是 R 上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求的值。解：由是偶函数，得即所以对任意 x 都成立，且，由，解得3、由最值求例 4. 函数以 2 为最小正周期， 且能在 x = 2 时取得最大值，则的一个值是A. B. C. D. 解：当时取得最大值，即

20、当时，故选 A。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 28 页四、由对称性求例 5. 2005 全国设函数，图象的一条对称轴是直线，求。解：因为是函数的图象的对称轴，所以(二) 函数的图象及应用下面我们谈一谈函数的图象在日常生产、生活中的几个应用。1、显示水深例 6. 2004 湖北设是某港口水的深度y米关于时间t时的函数，其中。下表是该港口某一天从0 时到 24 时记录的时间t 与水深 y 的关系：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 经长期观测，函数的图象可以近似地看成函数的图象。下面的函数中，最能

21、近似地表示表中数据间对应关系的函数是A. B. C. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 28 页解：由已知数据，易得的周期为T12 由已知易得振幅A 3 又 t0 时， y12 ，k12 令得故2、确定电流最值例 7. 如图 3 表示电流I 与时间 t 的函数关系式：I =在同一周期内的图象。1根据图象写出I =的解析式；2为了使I =中 t 在任意段秒的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数的最小值是多少？图 3 解： 1由图知A300 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

22、- - - - - -第 15 页，共 28 页由得2问题等价于，即，正整数的最小值为314 。3、显示最大温差例 8. 2002 全国如图4 某地一天从6 时到 14时的温度变化曲线近似地满足函数1求这段时间的最大温差2写出这段曲线的函数解析式。图 4 解： l由图 4 知这段时间的最大温差是30 10 20 2在图 4 中，从 6 时到 14 时的图象是函数的半个周期的图象，解得由图 4 知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 28 页这时将代入上式，可取综上所述，所求解析式为：4、研究商品的价格变化例 9. 以一年为一

23、个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3 月份出厂价格最高为8 元， 7 月份出厂价格最低为4 元；而商品在商店内的销售价格是在8 元基础上按月份也是随正弦曲线波动的，并已知5 月份销售价最高为10 元， 9 月份销售价最低为6 元，假设某商店每月购进这种商品m 件，且当月能售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由。解：由条件可得出厂价格函数为销售价格函数为则利润函数为所以，当时，即 6 月份盈利最大。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 28 页三三

24、角函数的最值问题1、型函数解 决 此 类 问 题 的 关 键 是 把 正 、 余 弦 函 数 转 化 为 只 有 一 种 三 角 函 数 ， 即 化 为，其中角所在象限由点a，b所在象限确定，且例 10. 当时，函数的A. 最大值是l，最小值是1 B. 最大值是 l，最小值是C. 最大值是2，最小值是2 D. 最大值是 2，最小值是 1 解：解析式可化为时，时，故选 D 2、型函数策略：先降次、整理，再化为形如型来解。例 11. 求的最小值， 并求出函数y 取最小值时点x 的集合。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 28

25、页解：当时 ， y 取 最 小 值时 ， 使y取 得 最 小 值 的x的 集 合 为3、型函数此类函数的特点是一个分式，分子、分母分别会有正、余弦的一次式。可先转化为型，再利用三角函数的有界性来求三角函数的最大值和最小值。例 12. 求函数的最大值和最小值。解：去分母整理得即解之得故4、同时出现型函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 28 页此类函数的特点是含有或经过化简整理后出现与式子，处理方法是应用进行转化，变成二次函数的问题。例 13. 函数的最大值为 _ 解法一：令则所以由二次函数的图象知，当时，解法二：令，则由

26、，得于是有当时，由以上的几种形式可以归纳解三角函数最值问题的基础方法：一是应用正弦、 余弦函数的有界性来求； 二是利用二次函数闭区间内求最大、最小值的方法来解决；以后还可以利用重要的不等式公式或利用数形结合的方法来解决。四角的拆拼在求值中的应用例 14. 已知、为锐角，则 y 与 x 的函数关系是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 28 页A. B. C. D. 对此题，不少同学采取的求解思路是：根据已知条件求出cos 、sin 的值后，再将 sin ，cos ， cos ， sin的值同时代入的展开式中，从中解出y 来，

27、思路直接。但运算量非常大， 不可取，而如果利用 “凑”的思想，注意到这就是“凑” ，也就是用已知的角来表示目标角因为 ，继而求出y 与 x 的函数关系式，而x的范围可由ycosB 0 来确定。解：为锐角，且又、为锐角，且于是由，即易得，故选 A。例15. 已 知， 且， 求精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 28 页的值。分析：观察条件和结论中角的种类差异，可配凑角，这样就可以将已知角与待求角联系在一起，实现了由未知角向已知角的转化。解：又，故精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

28、- - -第 22 页，共 28 页【练习】已知，求。提示：配凑角：，可通过求出和的差的余弦来求，较简便。解：又同 学 们 不 难 看 到 ， 上 面 的 例 题 中 我 们 分 别 利 用 了；等“凑”角的技巧。此外根据题目的不同， 还常用的“凑”的技巧有：，及，今后解题时要多关注“配凑”的思想方法。【模拟试题】精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 28 页一、选择题每题5 分，共 60 分1. 使的意义的m 的值为A. B. C. D. 或2. 函数的一个单调增区间是A. B. C. D .3. 假设是夹角为 60 的两

29、个单位向量，则的夹角为A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 4. 已知ABC 的三个顶点A、B、C 及平面内一点P，假设，则点 P与ABC 的位置关系是A. P 在 AC 边上B. P 在 AB 边上或其延长线上C. P 在ABC 外部D. P 在ABC 内部5. 假设，且，则等于A. B. C. D. 6. 假设，则的值等于A. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 28 页7. 在ABC 中，则ABC 是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定形状8. 已知， 且，

30、则的值为A. B. C. D. 9. 已知函数为偶函数 ，其图象与直线y2 的交点的横坐标为 x1，x2 ，假设的最小值为，则A. B. C. D. 10. 已知 O 为原点，点A、B 的坐标分别为a，0 ， 0，a ，其中常数，点 P 在线段 AB 上，且，则的最大值为A. a B. 2a C. 3a D. 11. 已知，p 与 q 的夹角为，则以为邻边的平行四边形的一条对角线长为A. 15 B. C. 14 D. 16 12. 函数在区间a，b 上是增函数，且，则函数在区间 a，b上A. 是增函数B. 是减函数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

31、- - -第 25 页，共 28 页C. 可取得最大值M D. 可取得最小值M 二、填空题每题4 分，共 16 分13. 假设在区间上的最大值为， 则_ 。14. 已知 a 6，2 ，b 4， ，直线 l 经过点 A3， 1 ，且与向量a2b垂直，则直线l 的方程为 _ 。15. 已知，且x， y 都是锐角，则_ 。16. 给出以下命题：在其定义域上是增函数；函数的最小正周期是；函数的单调递增区间是 ；函数有无奇偶性不能确定。其中正确命题的序号是_ 。三、解答题本大题包括6 个小题，共74 分17. 12 分已知，求的值。18. 12 分求值精选学习资料 - - - - - - - - - 名

32、师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 28 页19. 12 分如以下图所示，某地一天从6 时至14时的温度变化曲线近似满足函数。1求这段时间的最大温差；2写出这段曲线的函数解析式。20. 12 分已知，点 M 为直线 OC 上的一个动点，当取最小值时，求及 cos AMB 的值。21. 12 分如以下图所示， AOE 和BOE 都是边长为1 的等边三角形， 延长 OB 到 C，使，连结 AC 交 BE于 D。1用 t 的表示的坐标；2求与所成角的大小。22. 14 分已知。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 28 页1求 a 与 b 的夹角；2求和；3假设，作ABC ，求ABC 的面积。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 28 页