2022年高中数学公式定理定律概念大全 2.pdf

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1、1 第一章 集合与简易逻辑集合的概念与运算1.1 集合的有关概念（1）定义：某些指定的对象集在一起叫集合；集合中的每个对象叫集合的元素。（2）元素的三要素：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性；表示一个集合要用 。（3）集合的表示法：列举法、描述法、图示法；（4）集合的分类：有限集、无限集和空集，空集记作；（5）元素a和集合 A之间的关系：aA，或aA；（6）常用数集：自然数集： N ；正整数集：*N或N；整数集： Z；有理数集：Q ；实数集： R。*NNZQR1.2 子集（1）定义： A中的任何元素都属于B，则 A叫 B的子集；记作： AB，注意： AB时， A有两种情况：A与 A（2）

2、性质：AAA,； 若CBBA,， 则CA； 若ABBA,则A=B；1.3 真子集（1）定义： A是 B的子集，且 B中至少有一个元素不属于A；记作：BA；（2）性质：,AA；若,AB BC，则AC；1.4 补集 ：（1）定义：记作：,|AxUxxACU且；（2）性质：AACCUACAACAUUUU）（，；1.5 交集与并集（1）交集：|,且ABxxAxBI性质：AAAA,若BBA，则AB（2）并集：|,或ABxxAxBU性质：AAAAA,若BBA，则BA1.6 集合运算中常用结论（1）德摩根公式：();()UUUUUUCABC AC B CABC AC BIUUI.（2）UUABAABBABC

3、 BC AIUUAC BIUC ABRU（3）含 n个元素的集合的所有子集有n2个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 32 页2 2 一元二次不等式的解法2.1一元一次不等式的解法通过去分母、 去括号、移项、合并同类项等步骤化为axb的形式，若0a, 则bxa；若0a, 则bxa；若0a, 则当0b时，xR；当0b时，x。如：已知关于x的 不 等 式0)32()(baxba的 解 集 为)31,(， 则 关 于x的 不 等 式0)2()3(abxba的解集为 _（答：|3x x）2.2二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三

4、者之间的关系: 判别式： =b2-4ac000二次函数)0()(2acbxaxxf的图象一元二次方程)0(02acbxax的根有两相异实数根)(,2121xxxx有两相等实数根abxx221没有实数根一元二次不等式)0(02acbxax的解集,|21xxxxx“”取两边2|abxxR 一元二次不等式)0(02acbxax的解集|21xxxx“”取中间2.4 二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20axbxc的两个根即为二次不等式20(0)axbxc的解集的端点值，也是二次函数2yaxbxc的图象与x轴的交点的横坐标。如（ 1） 不等式32xax的解集是(4,)b，则a=_

5、 （答：18） ； （ 2） 若关于x的不等式02cbxax的 解 集 为),(),(nm， 其 中0nm， 则 关 于x的 不 等 式02abxcx的 解 集 为 _ （ 答 ：),1()1,(nm）；（ 3 ） 不 等 式23210 xbx对 1,2x恒成立，则实数b的取值范围是_（答：） 。2.5 常用等价转换x1 x2 x y O x1=x2 x y O x y O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 32 页3 含参数的不等式ax2b x c0 恒成立问题含参不等式ax2b x c0 的解集是R；其解答分a0( 验

6、证 bxc0 是否恒成立 ) 、a 0（a0 且 0) 的图象是把函数y=f(x) 的图象沿x 轴向左个单位得到的移a；函数 y=f(x+a),(a0) 的图象是把函数y=f(x) 的图象沿y 轴向上平个单位得到的移a；函数 y=f(x)+a,(a0) 的图象是把函数y=f(x) 的图象沿y 轴向下平个单位得到的移 a。（2）对称变换函数)(xfy与函数)( xfy的图象关于直线x=0 对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于直线y=0 对称；函数)(xfy与函数)(xfy的图象关于坐标原点对称；如果函数y=f(x) 对于一切,Rx都有 f(x+a)=f(a-x) ，那么 y=f(x)的

7、图象关于直线ax对称。如果函数 y=f(x) 对于一切,Rx都有 f(x+a)=f(b-x) ， 那么 y=f(x)的图象关于直线2abx对称。函数)(xafy与函数)(xafy的图象关于直线x=0 对称。函数)(xafy与函数 y=f(b-x) 的图象关于直线x=2ba对称)(xfy)(xfy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 32 页7 )(xfy)( xfy)(1xfy与)(xfy关 于直线xy对称。（3）伸缩变换)0(),(axafy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的纵坐标伸长)1(a或缩短)10(a到原来的a

8、倍。)0(),(aaxfy的图象，可将)(xfy的图象上的每一点的横坐标伸长)10(a或缩短)1(a到原来的a1倍。4、函数的反函数4.1 、求反函数的步骤：求原函数)(xfy，)(Ax的值域 B 把)(xfy看作方程，解出)(yx；x，y 互换的)(xfy的反函数为)(1xfy，)(Bx。4.2 、函数与反函数之间的一个有用的结论：abfbaf)()(1 4.3 、原函数)(xfy在区间,aa上单调递增（减），则一定存在反函数，且反函数)(1xfy也单调递增（减） ；但一个函数存在反函数，此函数不一定单调。5、函数、方程与不等式 5.1 、 “实系数一元二次方程02cbxax有实数解”转化为

9、“042acb” ，你是否注意到必须0a；当a=0 时， “方程有解”不能转化为042acb。若原题中没有指出是“二次”方程、函数或不等式，你是否考虑到二次项系数可能为零的情形？5.2 、利用二次函数的图象和性质，讨论一元二次方程实根的分布。设21,xx为方程)0( ,0)(axf的两个实根。若,21mxmx则0)(mf；3120 xyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 32 页8 当在区间),(nm内有且只有一个实根时，当在区间),(nm内有且只有两个实根时，若qxpnxm21时注意：根据要求先画出抛物线，然后写出图象成

10、立的充要条件。注意端点，验证端点。第三章 基本初等函数（）我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a): 不论 x 为何值 ,y 总为正数 ; b): 当 x=0 时,y=1.考虑端点，验证端点。)2(0)()()1 (nfmf0)(0)(20nfmfnabm0)()(0)()(qfpfnfmf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 32 页9 对数函数a): 其图形总位于y 轴右侧 , 并过(1,0)

11、点b): 当 a1 时, 在区间 (0,1) 的值为负；在区间(- ,+ )的值为正；在定义域内单调增.幂函数a 为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。令 a=m/n a): 当 m为偶数 n 为奇数时 ,y 是偶函数 ; b): 当 m,n 都是奇数时 ,y 是奇函数; c): 当 m奇 n 偶时 ,y 在(- ,0)无意义 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 32 页10 三角函数( 正弦函数 ) 这里只写出了正弦函数a): 正弦函数是以2 为周期的周期函数b): 正弦函数是奇函数且反三角函数( 反正弦函数 )这里

12、只写出了反正弦函数a): 由于此函数为多值函数, 因此我们此函数值限制在- /2, /2 上 , 并称其为反正弦函数的 主值 .初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数 . 有关运算性质1.指数运算：，aaaaapp01010()aaaaaamnmnmnmn(010)，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 32 页11 2. 对数运算：，logloglogaaaMNMN MN00logloglogloglogaaaanaMNMNMnM，1对数恒等式：ax

13、axlog对数换底公式：logloglogloglogaccanabbabnmbm第四章 基本初等函数（）1、角的换算(1)换算关系 :8157)180(1)(180弧度弧度(2)弧长公式 :rl扇形面积公式:22121rlrS2、特殊角的三角函数值0 03004506009001800270sin0 2122231 0 1cos1 2322210 10 tan0 331 3不存在0 不存在cot不存在31 330 不存在0 3、任意角的三角函数rysin，rxcos，xytan，yxcot，xrsec，yrcsc三角函数值的符号规律：“一全二正弦，三切四余弦”4、诱导公式：“2k，奇变偶不变

14、，符号看象限”k2222正弦sinsinsinsinsincoscos余弦coscoscoscoscossinsin正切tantantantantancotcot余切cotcotcotcotcottantan212( 1) sin,()sin()2( 1)s ,()nnnncon为偶数为奇数，212( 1)s,()s()2( 1)sin,()nnconncon为偶数为奇数5、同角三角函数的基本关系式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 32 页12 平方关系1cossin22；22sectan1；22csccot1商式关系

15、tancossin；cotsincos倒数关系1cottan；1seccos; 1cscsin。记忆方法：上弦，中切，下割，左正，右余，中间一6、两角和与差公式sinsincoscossinsinsincos令22coscoscossinsincoscossin令222tantantantantan1211222cossintantantan2212coscossincos2212212222sin()sin()sinsin( 平方正弦公式 ); 22cos()cos()cossin. 7、三角函数的图像和性质sinyxcosyxtanyxxAysin（ A、0）定义域R R R 值域 1,

16、11, 1R AA,周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数当,0 非奇非偶当, 0 奇函数单调性22,22kk上为增函数；223,22kk上为 减 函 数（Zk）2,12kk； 上为增 函数12,2kk上为减函数（Zk）kk2,2上为增函数（Zk）)(212),(22AkAk上为增函数；)(232),(22AkAk上 为 减 函 数（Zk）ZkkxRxx,21|且精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 32 页13 注意：xysin与xysin的单调性正好相反；xycos与xycos的单调性也同样相反一般地，若)(xfy在,ba

17、上递增（减），则)(xfy在,ba上递减（增） xysin与xycos的周期是)sin( xy或)cos( xy（0）的周期2T2tanxy的周期为2（2TT，如图，翻折无效） )sin( xy的对称轴方程是2kx（Zk） ，对称中心 （0,k） ；)cos( xy的对称轴方程是kx（Zk） ，对称中心（0 ,21k） ；)tan( xy的对称中心（0,2k） xxyxy2cos)2cos(2cos原点对称当 tan, 1tan)(2Zkk； tan, 1tan)(2Zkkxycos与kxy22sin是 同 一 函 数 , 而)( xy是 偶 函 数 ， 则)cos()21sin()(xkxx

18、y函数xytan在R上为增函数 （ ） 只能在某个单调区间单调递增若在整个定义域，xytan为增函数，同样也是错误的xysin不是周期函数；xysin为周期函数（T） ；xycos是周期函数（如图） ；xycos为周期函数（T） ；212cos xy的周期为（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：Rkkxfxfy),(5)(8. 正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin，AbcSsin21；余弦定理：2a=Abccbcos222cosA=bcacb2222解斜三角形的常规思维方法是：（1）已知两角和一边（如A、B、c） ，由 A+B+C = 求 C，由正弦定理求a、b（2）已知两边

19、和夹角（如a、b、C） ，应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C = ，求另一角（3）已知两边和其中一边的对角（如a、 b、A） ，应用正弦定理求B，由 A+B+C = 求 C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况（4）已知三边a、b、 c，应用余弦定理求A、B，再由 A+B+C = ，求角 COyxyxy= cos|x|图象1/2yxy=|cos2x+1/2|图象精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 32 页14 9函数)sin(xAy的图象可以通过下列两种方式得到：（

20、1）倍横坐标缩短到原来的图象左移1)sin(sinxyxy)sin(xy)sin( xAyA倍纵坐标伸长为原来的（2）图象左移倍横坐标缩短到原来的)sin(sin1xyxy)sin(xy)sin( xAyA倍纵坐标伸长为原来的第五章立体几何1、平面的基本性质：公理 1： 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。公理 2：如果两个平面有一个公共点，那它们还有其它公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理 3：经过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。推论 2：经过两条相交直线，有且仅有一

21、个平面。推论 3：经过两条平行线，有且仅有一个平面。公理 4：平行于同一直线的两条直线互相平行2、.空间两条直线的位置关系：2.1 、位置关系：平行、相交、异面2.2 、异面直线所成的角：关键是选点平移，范围是（0， /2 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法找角。一般点选择在特殊的位置上（常用中位线、平行四边形）；证角；求角。3、直线与平面3.1 、位置关系：在面内、相交、平行3.2 、直线与平面平行判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。3.3、直

22、线与平面垂直判定定理： 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行4、直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是00.900 5、三垂线定理及其逆定理：定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直；逆定理：在平面内的一条直线, 如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。4、平面与平面精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 32 页15 4.1 、位置关系：平行，相交4.2

23、、两个平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行另：垂直于同一条直线的两个平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行另：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，必垂直于另一个平面如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面两平面间的距离问题点到面的距离问题体积法直接法4.3 、两个平面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。性质定理： 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。4.4 、二面角定义法：在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的

24、垂线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角。三垂线法： 找二面角的一个面的垂线，再由垂足向棱作垂线得斜足，连斜足与另一面上点。5、简单几何体5.1 棱柱（1）棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形（2）相关计算：长方体的对角线222cba，ShV棱柱5.2 棱锥(1)正棱锥的定义（底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面的中心）(2)正棱锥性质各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等，它叫做正棱锥的斜高棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内的射

25、影也组成一个直角三角形。(3)相关计算：ShV31棱锥5.3 球（ 1）相关计算：2rS圆rC2圆，球S=4R2，球V34R3（ 2）球的截面的性质：球心和截面圆心的连线垂直于截面球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 有下面的关系：22dRr（ 3）两点的球面距离：经过这两点的大圆在这两点间的一段劣孤的长度. 5.4 正多面体：正多面体的种数有欧拉公式： V+F-E=2 其中： V 顶点数E 棱数F 面数5.5 空间向量在立体几何中的应用：（ 1）两异面直线所成角：ba,coscos（ 2）直线与平面所成角：na,cossin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归

26、纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 32 页16 （ 3）二面角：先求21,cosnn在根据图形情况作答（ 4）点到平面的距离：nnABd（A 为所给点， B 为平面内任意一点）第六章平面向量1、加法与减法的代数运算：(1)向量加法满足：平行四边形法则- “同一起点” 、三角形法则- “首尾相接” 。向量减法满足：三角形法则- “同一起点，指向被减数”（2）若 a=（11, yx）,b=（22,yx）则 ab=（2121,yyxx）2、实数与向量的积：a(1) 长度：a=a ;方向：当0 时，a与a同向；当0 时，a与a反向； 当=0 时，a=0(2) 若a=（11, yx）

27、，则a=（11, yx） (3) 两个向量共线的充要条件：向量 b 与非零向量a共线有且仅有一个实数，使得 b=a 若a=（11, yx） ,b=（22,yx）则ab01221yxyx3、向量的数量积：(1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=a bcos其中bcos称为向量b在a方向上的投影(2) 若 a=（11, yx）,b=（22, yx）则 ab=2121yyxx（3）性质：abab=002121yyxx（a，b为非零向量）; a=2121yxaa; cos=baba=222221212121yxyxyyxx（4）运算律：不满足消去律、乘法结合律4P 分有向线段21PP

28、所成的比：(1)若点 P 分有向线段21PP成定比，则=21PPPP(2) 定比分点坐标公式：若点),(),(),(222111yxPyxPyxP，点 P分有向线段21PP成定比，则112121xxxyyy（ 1） ，中点坐标公式：222121xxxyyy（3）若点),(),(2211yxByxA，则212222)()(yyxxAB(4) 若),(),(),(332211yxCyxByxA， 则 ABC的重 心G的 坐 标是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 32 页17 33321321yyyxxx，5平移公式：将),(

29、yxF按),(kha平移后得到) , ( yxF，则有kyyhxx第七章 平面解析几何1、直线和圆1. 直线的倾斜角与斜率：直线的倾斜角范围是0,，直线的斜率：BAkxxyykk,tan12121. 直线方程的几种形式：点斜式：)(00 xxkyy， 斜截式：bkxy两点式：121121xxxxyyyy， 截距式：1byax一般式：0CByAx1. 两条直线的位置关系（1）平行：若斜率存在： l1：y=k1x+b1；l2： y=k2x+b2有l1l2k1=k2且 b1b2；（2）垂直：若斜率存在：l1：y=k1x+b1；l2：y=k2x+b2有l1l2k1k2=-1 l1l2k1k2=-1 （

30、3）相交：1l到2l的角 ：21121tankkkk，),01l与2l的夹角：21121tankkkk，,201.4 点到直线的距离公式点),(00yxP到直线0CByAxl：的距离：2200BACByAxd1.5 两平行直线间的距离：两条平行直线002211CByAxlCByAxl：，：距离：2221BACCd1.6 圆的方程 四种形式（1）圆的标准方程:222()()xaybr. （2）圆的一般方程:220 xyDxEyF(224DEF0). （3）圆的参数方程:cossinxarybr.（ 4） 圆 的 直 径 式 方 程 :1212()()()()0 xxxxyyyy( 圆 的 直 径

31、 的 端 点 是11(,)A xy、22(,)B xy). 圆中有关重要结论 : (1) 若P(0 x,0y) 是 圆222xyr上 的 点 , 则 过 点P(0 x,0y) 的 切 线 方 程 为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 32 页18 200 xxyyr. (2) 若 P(0 x,0y) 是圆222()()xaybr上的点 , 则过点P(0 x,0y) 的切线方程为200()()()()xaxaybybr. (3) 若 P(0 x,0y) 是圆222xyr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切

32、点分别为A、B 则直线 AB的方程为200 xxyyr. (4) 若 P(0 x,0y) 是圆222()()xaybr外一点 , 由 P(0 x,0y) 向圆引两条切线, 切点分别为A、 B，则直线AB的方程为200()()()()xaxaybybr. 圆的切线方程(1) 已知圆220 xyDxEyF若已知切点00(,)xy在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D xxE yyx xy yF. 当00(,)xy在圆外时, 0000()()022D xxE yyx xy yF表示过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为00()yyk xx，再利用相切条件求k，这时必有两条

33、切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线斜率为 k 的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线(2) 已知圆222xyr过圆上的000(,)P xy点的切线方程为200 x xy yr; 斜率为k的圆的切线方程为21ykxrk. 1.7 直线与圆的位置关系：相离、相切和相交。判断方法（几何法） ：圆心到直线的距离相离相切相交rdrdrd过圆),(00222yxPryx上一点的切线方程是：200ryyxx弦长问题：利用垂径定理，构造直角三角形解决切线长问题：构造直角三角形解决2.圆锥曲线一、椭圆1椭圆方程的第一定义：为端点的线段以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,2,

34、2FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF平面内与两定点F1，F2的距离的和为常数 (大于21FF)的点的轨迹 。其中两定点 F1，F2叫焦点，定点间的距离叫焦距。（1）椭圆的标准方程：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 32 页19 i中心在原点，焦点在x 轴上：)0( 12222babyaxii中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12222babxay一般方程：)0, 0( 122BAByAx椭圆的标准参数方程：12222byax的参数方程为sincosbyax（一象限应是属于20） 几何性质顶点：),0)(0,(

35、ba或)0,)(,0(ba轴：对称轴：x 轴， y 轴；长轴长a2 ，短轴长b2 焦点：)0,)(0 ,(cc或),0)(, 0(cc焦距：2221,2baccFF准线：cax2或cay2离心率：)10(eace焦半径：1020,PFaexPFaex1020,PFaeyPFaey由椭圆第二定义可知：2210002000()(0),()(0)aapFe xa ex xpFexex a xccpf归结起来为 “ 左加右减 ” 通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经坐标：),(2abc和),(2abc（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆)0(12222babyax的离心率是)(22bacace，方程t

36、tbyax(2222是大于 0 的参数，)0ba的离心率也是ace，我们称此方程为共离心率的椭圆系方程（4）若 P 是椭圆：12222byax上的点21,FF为焦点，若21PFF，则21FPF的面积为2tan2b（用余弦定理与aPFPF221可得）若是双曲线，则面积为2cot2b二、双曲线1双曲线的第一定义：的一个端点的一条射线以无轨迹方程为双曲线21212121212121,222FFFFaPFPFFFaPFPFFFaPFPF平面内与两个定点21, FF距离的差的绝对值等于|)|2(221FFaa的点的轨迹。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -

37、- -第 19 页，共 32 页20 （1）双曲线标准方程：)0,(1),0,(122222222babxaybabyax一般方程：)0(122ACCyAx（2） i焦点在 x 轴上：顶点：)0,(),0,(aa，焦点：)0,(),0,(cc，准线方程cax2，渐近线方程：0byax或02222byaxii焦点在 y 轴上：顶点：),0(),0(aa 焦点：),0(),0(cc准线方程：cay2渐近线方程：0bxay或02222bxay，参数方程：tansecbyax或sectanaybx轴yx,为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距 2c离心率ace准线距ca22（两准线的距离） ；通

38、径ab22参数关系acebac,222焦半径公式：对于双曲线方程12222byax（21,FF分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“ 长加短减 ” 原则：aexMFaexMF0201构成满足aMFMF221aexFMaexFM0201（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aeyFMaeyFMaeyMFaeyMF02010201（3）等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e（4）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同

39、的渐近线：02222byaxyxMMF1F2yxMMF1F2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 32 页21 （5）共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时，它的双曲线方程可设为)0(2222byax例如：若双曲线一条渐近线为xy21且过)21,3(p，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：)0(422yx，代入)21,3(得12822yx（6）直线与双曲线的位置关系：区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即定点在双曲线上，1 条切线，

40、 2 条与渐近线平行的直线，合计3 条；区域： 2 条切线， 2 条与渐近线平行的直线，合计4 条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1 条切线， 1 条与渐近线平行的直线，合计2 条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入”“法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号（7）若 P 在双曲线12222byax，则常用结论1：P 到焦点的距离为m ：n，则 P 到两准线的距离比为mn简证：ePFePFdd2121= nm常用结论2：从双曲线一个焦点到

41、另一条渐近线的距离等于b三、抛物线设0p，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxOyxOyxOyxO焦点)0,2(pF)0 ,2(pF)2, 0(pF)2,0(pFyxF1F21234533精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 32 页22 准线2px2px2py2py范围Ryx,0Ryx,00,yRx0, yRx对称轴x轴y 轴顶点（0，0）离心率1e焦半径12xpPF12xpPF12ypPF12ypPF注：xcbyay2顶点)244(2ababac，)0(22ppxy则焦半径

42、2PxPF;)0(22ppyx则焦点半径为2PyPF通径为 2p，这是过焦点的所有弦中最短的pxy22（或pyx22）的参数方程为ptyptx222（或222ptyptx） （t为参数）直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）判定方法：联立直线与圆锥曲线方程，消元得关于x（或 y）的一元二次方程，求出，根据判定直线与圆锥曲线的位置关系（ 2）弦长公式：直线y=kx+b 和圆锥曲线f(x,y)=0 交于两点P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) 则弦长 P1P2=|1212xxk4)(1(212212xxxxk命题：经过圆锥曲线焦点弦的端点的两条切线相交于准线上。经过椭圆12222byax（a b0

43、）上一点P(x0，y0) 的切线方程为12020byyaxx。经过双曲线12222byax上一点 P(x0，y0) 的切线方程为12020byyaxx。经过抛物线y2=2Px（P0）上一点P(x0，y0) 的切线方程为y0y=P(x0+x) 。“四线”一方程对于一般的二次曲线220AxBxyCyDxEyF， 用0 x x代2x， 用0y y代2y，用002x yxy代xy，用02xx代x，用02yy代y即得方程0000000222x yxyxxyyAx xBCy yDEF，曲线的 切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到 . 第八章不等式1、不等式的基本性质：此类选择题多采用取特殊值法处

44、理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 32 页23 2、均值不等式：若Rba,，则abba222（当且仅当ba时取等号）若0,ba，则abba2（当且仅当ba时取等号）基本变形：ba；2)2(ba；若Rba,，则abba222，222)2(2baba应用条件：“一正二定三取等；积定和小，和定积大”。3、绝对值不等式：bababa4、证明不等式常用方法：（1）比较法：步骤：作差；变形（对差进行因式分解或配方变成几个数（或式）的完全平方和）。判断差的符号（2）综合法：由因导果。（3）分析法：执果索因。基本步骤：要证只需证，只需

45、证5、不等式的解法：注意“系数化正”（1）一元一次不等式：)0(abax；)0(abax（2）一元二次不等式：)0(02acbxax先“系数化正” ，再根据bac24的三种情况即000，写出解集，（3）绝对值不等式：若0a，则ax |；ax |；注意： (1). 通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。(2). 含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解。（4）分式不等式的解法： 通解变形为整式不等式；0)()(xgxf；0)()(xgxf；（5）高次不等式：穿根法：）第九章数列1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的项

46、各项依次叫做这个数列的第1 项（或首项），第2 项，第 n 项，数列也可以看作一个定义域为自然数集N（或它的有限子集 1，2，3， n ）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值2. 数列的表示法数列的表示法与函数的表示法相同列表法：把数列表示成a1，a2，a3， an，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 32 页24 图象法：在直角坐标系中，数列可用一群坐标为 (1， a1) ， (2， a2)， (3， a3) ， ，(n ，an) ，分散的弧立的点表示解析法：用通项公式来表示或用递推公式来表示3. 数列的通项

47、公式如果数列 an 的第 n 项 an与 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的 通项公式 4. 数列的前 n 项和已知数列 an,Sn=a1+a2+a3+an，称为数列的前 n 项的和，注意在 SnSn-1的表达式中令 n=1 不一定与 S1相同5. 数列的分类（1）按项数分：有穷数列，无穷数列（2）按项与项之间大小关系分：递增数列，递减数列，摆动数列（3）按|an| 的取值范围分：有界数列，无界数列6. 等差数列如果一个数列从第2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做（一阶）等差数列 ，这个常数叫做等差数列的 公差，公差通常用字母 d 表示等差

48、数列的性质：等差数列任意两项间的关系：如果na是等差数列的第n项，ma是等差数列的第m项，且nm，公差为d，则有dmnaamn)(.对于等差数列na，若qpmn，则qpmnaaaa。也就是：23121nnnaaaaaa，如图所示：nnaanaannaaaaaa112,12321若数列na是等差数列，nS是其前n 项的和，*Nk，那么kS，kkSS2，kkSS23成等差数列。如下图所示：kkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221S321精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 32 页25 设数列na是等差

49、数列，奇S是奇数项的和，偶S是偶数项项的和，nS是前 n项的和，则有如下性质：(i)奇数项daaa2,531成等差数列，公差为(ii) 偶数项daaa2,642成等差数列，公差为(iii)1()1(2121121nanaaSnnn奇项，则若有奇数项nanaaSnn1222偶所以有中偶奇中偶奇aaSSannaSSnn11) 12() 12(nn1SS偶奇；12SSSSSSSnn偶奇偶奇偶奇nnannaaSn22121奇项，则若有偶数项1222nnannaaS偶所以有ndaaaaaaSSnn1223412奇偶若等差数列na的前12n项的和为12nS，等差数列nb的前12n项的和为12 nS，则12

50、12nnnnSSba。7. 等差数列的通项公式等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d 时，该数列的通项公式是an=a1+(n 1)d. 8.等差数列 an的前 n 项的和的公式等差数列 an 的首项是 a1，公差是 d 时，该数列的前 n 项的和的公式是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 32 页26 9. 等比数列如果一个数列从第2 项起，第一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列 ，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示10. 等比数列的通项公式等比数列 an 的首项是 a1，公比是 q